丁梓航， 謝軍偉， 齊 鋮

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安， 710051)

自頻控陣(frequency diverse array, FDA)這一概念被ANTONIK.P等人[1]于2006年提出，近年來(lái)許多學(xué)者對(duì)FDA雷達(dá)進(jìn)行了系統(tǒng)的綜述并提出了其發(fā)展方向[2-4]。與相控陣不同的是，F(xiàn)DA雷達(dá)在每個(gè)陣元處引入一個(gè)微小的頻偏，使得其波束方向圖具有角度-距離二維相關(guān)性，但其方向圖存在角度和距離耦合。文獻(xiàn)[5]提出了一種采用非均勻頻偏的解耦方法，文獻(xiàn)[6]提出了一種采用對(duì)數(shù)頻偏的解耦方法，文獻(xiàn)[7]提出了一種基于子陣陣列的解耦方法，文獻(xiàn)[8]提出了基于遺傳算法的解耦方法。

多輸入多輸出(multiple-input multiple-output, MIMO)雷達(dá)是一種新體制雷達(dá)，文獻(xiàn)[9]將FDA引入MIMO雷達(dá)中，產(chǎn)生了FDA-MIMO雷達(dá)信號(hào)發(fā)射和接收模型；文獻(xiàn)[10]在FDA-MIMO中引入了一種對(duì)數(shù)的非線性頻偏，文獻(xiàn)[11]引入了一種正弦頻偏，兩種方法都解決了距離的周期性問(wèn)題；文獻(xiàn)[12]提出了FDA-MIMO的波束形成算法。相比于MIMO雷達(dá)只能對(duì)角度進(jìn)行估計(jì)，F(xiàn)DA-MIMO雷達(dá)能夠?qū)臻g中目標(biāo)的角度和距離進(jìn)行二維估計(jì)。如何提高FDA-MIMO雷達(dá)對(duì)目標(biāo)角度和距離的估計(jì)精度也成為了研究的重點(diǎn)。目前大多數(shù)研究中都建立在直達(dá)波模型上的波達(dá)方向(direction of arrival，DOA)估計(jì)算法，估計(jì)的精度受信噪比影響較大。

時(shí)間反轉(zhuǎn)(time reversal, TR)技術(shù)來(lái)自于對(duì)光學(xué)相位共軛法的研究[13]。近年來(lái)很多研究人員將TR技術(shù)與雷達(dá)技術(shù)相結(jié)合[14-15]，文獻(xiàn)[16]中提出將TR技術(shù)引入了MIMO雷達(dá)，建立了TR-MIMO模型。文獻(xiàn)[17-18]將該技術(shù)運(yùn)用于MIMO雷達(dá)目標(biāo)估計(jì)領(lǐng)域，提高了目標(biāo)估計(jì)精度。文獻(xiàn)[19]將TR技術(shù)引入到FDA-MIMO中，但普通FDA-MIMO存在距離的模糊性，在對(duì)目標(biāo)距離估計(jì)時(shí)易造成距離的多值性。圖1是普通FDA的波束方向圖，可以觀察到其在距離上呈現(xiàn)周期性，造成距離模糊。圖2是sin-FDA的波束方向圖，引入sin函數(shù)的非線性頻偏，消除了波束圖在距離上的模糊，實(shí)現(xiàn)了距離的單值性。

圖1 普通FDA波束圖

圖2 sin-FDA波束圖

本文主要研究TR技術(shù)對(duì)sin-FDA-MIMO的DOA估計(jì)精度的影響。

1 sin-FDA-MIMO雷達(dá)接收信號(hào)模型

為不失一般性，假設(shè)sin-FDA-MIMO雷達(dá)發(fā)射部分與接收部分位于同一位置且都為均勻線性陣列。sin-FDA-MIMO雷達(dá)發(fā)射陣元個(gè)數(shù)為M，接收陣元個(gè)數(shù)為N，陣元間距均為d，陣元間的頻率增量為Δf。sin-FDA-MIMO雷達(dá)發(fā)射接收模型結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 sin-FDA-MIMO模型

發(fā)射陣列上第i個(gè)陣元發(fā)射的信號(hào)為:

fi(t)=si(t)ej2π[f0+sin (i-1)Δf]t

(1)

式中：si(t)為第i個(gè)發(fā)射陣元的發(fā)射波形。

假設(shè)目標(biāo)符合遠(yuǎn)場(chǎng)條件，且有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)，則sin-FDA-MIMO第j個(gè)接收陣元接收到的信號(hào)為：

(2)

(3)

式中：Rk為第k個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)與陣列的距離；θk為第k個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)與陣列的夾角；c為光速。假設(shè)陣元的發(fā)射信號(hào)為窄帶信號(hào)，則有：

(4)

假設(shè)各陣元發(fā)射信號(hào)的波形相互正交，滿足：

(5)

式中：τ表示在脈沖持續(xù)時(shí)間內(nèi)的時(shí)移。經(jīng)過(guò)接收機(jī)內(nèi)部的匹配濾波處理，可以得到接收信號(hào)導(dǎo)向矢量信息。對(duì)應(yīng)的接收導(dǎo)向矢量和發(fā)射導(dǎo)向矢量的表達(dá)式分別為：

(6)

(7)

(8)

a(θk,rk)=ar(rk)⊙a(bǔ)θ(θk)

(9)

式中：⊙表示Hardamard積。對(duì)應(yīng)目標(biāo)信號(hào)矢量表達(dá)式如下：

(10)

式中：?表示Kronecker積；N∈CMN×1，是信號(hào)的噪聲空間；b(θk)∈CN×1是信號(hào)接收矢量；a(θk,rk)∈CM×1為發(fā)射矢量。

由此，式(2)可以重新寫為:

(11)

式中：接收信號(hào)矩陣表達(dá)式為r(t)=[r1(t),r2(t),…,rN(t)]T；發(fā)射信號(hào)向量表達(dá)式為f(t)=[f1(t),f2(t),…,fM(t)]T。

2 基于TR的接收信號(hào)模型

在sin-FDA-MIMO中，將接收矩陣r(t)經(jīng)過(guò)共軛，時(shí)間反轉(zhuǎn)后再次發(fā)射，則再次發(fā)射的探測(cè)信號(hào)可以表示為:

(12)

sin-FDA-MIMO再次接收到的信號(hào)為:

aH(θk,rk)f*(-t)+v(t)

(13)

式中：w(t)是TR探測(cè)時(shí)的噪聲；v(t)是探測(cè)信號(hào)中的噪聲n(t)與w(t)的復(fù)合噪聲。將rr(t)經(jīng)過(guò)匹配濾波處理后的目標(biāo)信號(hào)矢量為:

(14)

3 基于TR的距離角度聯(lián)合估計(jì)

3.1 Capon算法

Capon算法原理是在維持期望目標(biāo)空間位置信號(hào)功率不變的基礎(chǔ)上，使得噪聲及期望目標(biāo)空間位置以外的干擾信號(hào)功率最小。Capon算法的空間譜可寫為：

(15)

通過(guò)式(14)對(duì)功率譜譜峰進(jìn)行搜索可得對(duì)應(yīng)的角度和距離。

對(duì)于sin-FDA-MIMO普通接收信號(hào)模型，式(14)中的ax=b(θk)?a(θk,rk)。

R=E[yHy]

(16)

對(duì)于TR的sin-FDA-MIMO接收信號(hào)模型，式(15)中的ax=a*(θk,rk)?a(θk,rk)。

R=E[yrHyr]

(17)

sin-FDA-MIMO雷達(dá)的DOA估計(jì)實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)角度和距離的二維估計(jì)，使得對(duì)目標(biāo)在空間中定位變?yōu)榭赡堋?/p>

TR-Capon算法較常規(guī)Capon算法，顯著提高了目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的精度。同時(shí)，該算法利用回波信號(hào)，使其在目標(biāo)處具有聚焦特性。這些表明基于TR的DOA估計(jì)算法具有良好的效果。

3.2 MUSIC算法

陣列協(xié)方差矩陣R經(jīng)過(guò)特征值分解可化為信號(hào)空間和噪聲空間兩部分。

(18)

由噪聲特征矢量與和信號(hào)特征矢量正交關(guān)系，得到空間譜表達(dá)式:

(19)

對(duì)于sin-FDA-MIMO接收信號(hào)模型，式(19)中的ax=b(θk)?a(θk,rk)，陣列協(xié)方差矩陣形如式(15)所示。

對(duì)于TR sin-FDA-MIMO接收信號(hào)模型，式(19)中的ax=a*(θk,rk)?a(θk,rk)，陣列協(xié)方差矩陣形式如(17)所示。

4 仿真試驗(yàn)

為了對(duì)比sin-FDA-MIMO與基于TR技術(shù)的sin-FDA-MIMO雷達(dá)距離角度估計(jì)特性，分別針對(duì)單目標(biāo)和雙目標(biāo)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。設(shè)發(fā)射陣列陣元數(shù)為10，接收陣列陣元數(shù)為10。陣列陣元間距d=λ/2，載頻f0=9 GHz，頻率增量Δf=10 kHz，信噪比為0 dB，快拍數(shù)L=200。

4.1 單目標(biāo)

假設(shè)目標(biāo)位置位于(30°,50 km)，圖4為sin-FDA-MIMO的Capon譜MUSIC譜、TR-Capon譜和TR-MUSIC譜。圖5為4種距離角度估計(jì)算法的均方根誤差(RMSE)比較。設(shè)置300次蒙特卡洛試驗(yàn)，信噪比間隔設(shè)置為2 dB。

圖4 單目標(biāo)距離角度估計(jì)

圖5 均方根誤差變化情況

計(jì)算角度RMSE公式如下：

(20)

計(jì)算距離RMSE公式如下：

(21)

從圖4可以看出4種DOA估計(jì)方法得到的不同樣式的空間譜，TR-Capon和TR-MUSIC得到的空間譜與常規(guī)接收信號(hào)模型下的Capon和MUSIC算法相比，具有更高的空間估計(jì)聚集性和更低的旁瓣分布。

圖5實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示TR-Capon和TR-MUSIC在角度和距離估計(jì)的RMSE都較Capon和MUSIC算法有明顯的下降，驗(yàn)證了TR技術(shù)對(duì)提高DOA估計(jì)的有效性。

4.2 空間位置接近的雙目標(biāo)

假設(shè)目標(biāo)位置位于(20°,28 km)和(23°,30 km)，圖6為處于相近空間位置的兩個(gè)目標(biāo)的空間譜估計(jì)?？梢钥闯銎胀–apon和MUSIC的空間譜分辨不出空間中的兩個(gè)目標(biāo)，而基于TR技術(shù)的Capon和MUSIC的空間譜則能夠明顯區(qū)分。

圖6 雙目標(biāo)距離角度估計(jì)

圖7為4種參數(shù)估計(jì)算法在不同信噪比條件下的均方根誤差(RMSE)比較。設(shè)置300次蒙特卡洛試驗(yàn),信噪比間隔設(shè)置為2 dB。圖7定量地說(shuō)明了TR技術(shù)對(duì)相近空間位置的兩個(gè)目標(biāo)的空間估計(jì)能力有顯著提高。

圖7 均方根誤差變化情況

5 結(jié)語(yǔ)

TR技術(shù)對(duì)于sin-FDA-MIMO的距離角度聯(lián)合估計(jì)精度有較顯著的提高，且對(duì)于空間位置相近的目標(biāo)有較強(qiáng)的分辨能力。

本文建立了sin-FDA-MIMO模型，該模型可以實(shí)現(xiàn)在距離和角度上進(jìn)行二維估計(jì)。在傳統(tǒng)Capon和MUSIC算法的基礎(chǔ)上，將TR技術(shù)分別融入這2種算法，并對(duì)這4種算法進(jìn)行了距離角度估計(jì)精度的比較，通過(guò)計(jì)算不同信噪比下各算法的RMSE，驗(yàn)證了TR技術(shù)對(duì)提高二維估計(jì)精度的有效性，為提高sin-FDA-MIMO雷達(dá)在距離和角度估計(jì)精度提供了一定的參考。