摘? ?要：文章以加權(quán)無(wú)向圖的連通性作為量化評(píng)價(jià)指標(biāo)，在鞏固復(fù)習(xí)階段實(shí)現(xiàn)了基于知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)內(nèi)容最優(yōu)推薦，能對(duì)全部知識(shí)點(diǎn)做整體掌控性練習(xí)。知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)具有固有權(quán)值、已練習(xí)權(quán)值和待練習(xí)權(quán)值，通過(guò)遍歷待練習(xí)知識(shí)點(diǎn)能得到待練習(xí)權(quán)值及知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)連通性指標(biāo)。文章對(duì)49個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小型Linux腳本題庫(kù)給出了求取連通性指標(biāo)的前后端兩種實(shí)現(xiàn)方法，并在應(yīng)用場(chǎng)景下實(shí)現(xiàn)了針對(duì)學(xué)生個(gè)體的一步和多步最優(yōu)推薦，以及針對(duì)班級(jí)和學(xué)習(xí)小組的最優(yōu)推薦。實(shí)踐結(jié)果表明：最優(yōu)推薦的有效性與教師的直覺(jué)相吻合，學(xué)生反映知識(shí)結(jié)構(gòu)性明顯增強(qiáng)，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性也增強(qiáng)，并獲得較好的知識(shí)遷移能力。該案例為教育信息化軟件應(yīng)用于素質(zhì)教育的內(nèi)涵式提升給出了有益的借鑒。

關(guān)鍵詞：知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò);圖的連通性;最優(yōu)推薦策略;矩陣特征值

中圖分類號(hào)：G434 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1673-8454（2021）12-0085-07

一、引言

以《國(guó)家職業(yè)教育改革實(shí)施方案》等文件作為指引，教師、教材和教法的研究已經(jīng)成為教育界各級(jí)各類教師普遍關(guān)注的熱點(diǎn)[1]，尤其在當(dāng)前線上教育蓬勃發(fā)展的大背景下，改進(jìn)線上個(gè)性化學(xué)習(xí)效果更是教法研究的重中之重。個(gè)性化學(xué)習(xí)能破解優(yōu)質(zhì)教師資源不足的難題，又能充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別是大數(shù)據(jù)和人工智能等技術(shù)，來(lái)加速推動(dòng)教育信息化，提高教育的效率和質(zhì)量，實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于用技術(shù)手段有效擴(kuò)大優(yōu)質(zhì)教師資源的影響力。

理想的個(gè)性化學(xué)習(xí)一般需要兩個(gè)前提：一是富于經(jīng)驗(yàn)的教師設(shè)計(jì)好電子題庫(kù)，庫(kù)中諸多基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和應(yīng)用類型知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密，形成關(guān)系復(fù)雜的網(wǎng)狀連接即知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò);二是有適合學(xué)生當(dāng)前學(xué)習(xí)階段的知識(shí)點(diǎn)推薦策略。知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)形式的電子題庫(kù)目前已經(jīng)有了一些研究。例如，根據(jù)所設(shè)置的題型題量、題目覆蓋次數(shù)和題目間的包含容斥關(guān)系，已有研究者構(gòu)建了基于SystemVerilog語(yǔ)言的全自動(dòng)約束隨機(jī)抽題組卷系統(tǒng)[2]。而推薦策略目前則只有隨機(jī)推薦和電商平臺(tái)中的相似推薦兩類可供借鑒，前者目標(biāo)不明確，而后者需要做大量結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)的特征相關(guān)度分析以挖掘用戶的歷史喜好信息，并不完全適合學(xué)習(xí)過(guò)程的各個(gè)階段。

學(xué)習(xí)主要分為三個(gè)階段：知識(shí)點(diǎn)識(shí)記、知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用和知識(shí)點(diǎn)創(chuàng)新。學(xué)習(xí)的前期主要涉及前兩個(gè)階段。知識(shí)點(diǎn)只有熟練才能應(yīng)用，因此需要反復(fù)“刷題”，以從不同側(cè)面理解知識(shí)點(diǎn)。一般基于教材、習(xí)題冊(cè)或電子題庫(kù)開(kāi)展練習(xí)。此外，練習(xí)的技巧與學(xué)習(xí)的階段又密切相關(guān)。例如，初次學(xué)習(xí)階段與鞏固復(fù)習(xí)階段對(duì)知識(shí)點(diǎn)的練習(xí)需求完全不同。初次學(xué)習(xí)階段一般需要臨近式學(xué)習(xí)，重在練習(xí)與當(dāng)前知識(shí)點(diǎn)關(guān)系密切的知識(shí)點(diǎn)，容易產(chǎn)生“舉一反三”的效果從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，這已是教育界的共識(shí)。而鞏固復(fù)習(xí)階段的練習(xí)策略則需要在整體框架下統(tǒng)籌設(shè)計(jì)以產(chǎn)生最好的學(xué)習(xí)效果，要在有限的學(xué)習(xí)時(shí)間內(nèi)，對(duì)所有知識(shí)點(diǎn)做整體掌控性的練習(xí)，獲得知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用能力的最大提升。

綜上所述，以優(yōu)秀教師提供的知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，需要深入研究鞏固復(fù)習(xí)階段知識(shí)點(diǎn)的最優(yōu)練習(xí)策略。既不能簡(jiǎn)單地隨機(jī)推薦知識(shí)點(diǎn)開(kāi)展“題?！笔骄毩?xí)，也不能漫無(wú)目標(biāo)地利用人工智能等先進(jìn)技術(shù)推薦知識(shí)點(diǎn)。目前尚缺少一個(gè)能夠達(dá)成共識(shí)的策略，原因在于知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的整體掌控程度缺乏量化的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

本文針對(duì)上述研究背景，提出了一種基于代數(shù)圖論中圖連通性指標(biāo)的最優(yōu)知識(shí)點(diǎn)推薦策略，在鞏固復(fù)習(xí)階段基于知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)個(gè)性化學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)過(guò)程中，記錄每個(gè)學(xué)生的練習(xí)程度，多個(gè)學(xué)生的練習(xí)程度還可以疊加。最優(yōu)知識(shí)點(diǎn)推薦的對(duì)象可以是學(xué)生個(gè)體，也可以是學(xué)習(xí)小組，還可以是班級(jí)整體，甚至可以是年級(jí)或更大規(guī)模的組。因此，這種推薦策略不但可以指導(dǎo)學(xué)生自主練習(xí)，還可以為教師推薦作業(yè)和習(xí)題課的內(nèi)容，為翻轉(zhuǎn)課堂和線上線下混合教學(xué)的開(kāi)展提供了有效的技術(shù)支撐。

二、知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的連通性指標(biāo)

如上所述，需要研究鞏固復(fù)習(xí)階段基于知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)練習(xí)策略。圖1所示的知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)由知識(shí)點(diǎn)及之間的連線組成，每條連線賦予一個(gè)非負(fù)的固有權(quán)值，表示所連接兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系緊密程度，權(quán)值越大則關(guān)系越密切，連線也越粗。每當(dāng)練習(xí)了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，則把與該知識(shí)點(diǎn)相連的所有知識(shí)點(diǎn)之間的連線權(quán)值加1，如圖1中“生成20行hi”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)練習(xí)了一次，就把圖中高亮的知識(shí)點(diǎn)與它之間連線的權(quán)值加1。因此，任何時(shí)刻知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)確定的權(quán)值由兩部分作和：一是反映知識(shí)點(diǎn)之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的固有權(quán)值;二是反映學(xué)習(xí)練習(xí)過(guò)程的已練習(xí)權(quán)值。如果是多人學(xué)習(xí)小組，則知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值就取作固有權(quán)值與所有學(xué)生已練習(xí)權(quán)值之和。

任何時(shí)刻除了確定的權(quán)值之外，知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值還有未確定的因素即待練習(xí)權(quán)值，這就是需要最優(yōu)推薦的待練習(xí)知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)權(quán)值。假設(shè)優(yōu)秀教師提供的知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)是全連通的，即在固有權(quán)值的狀態(tài)下就已經(jīng)是全連通的，那么加入已練習(xí)權(quán)值和待練習(xí)權(quán)值后連通程度更強(qiáng)，連通程度可以由代數(shù)圖論中圖的Laplacian矩陣來(lái)表征，該矩陣是半正定矩陣且最小特征值為0[3]。在無(wú)線傳感網(wǎng)和多智能體協(xié)同控制的研究領(lǐng)域中，通常選取上述矩陣的第二小特征值作為連通性指標(biāo)[4]，這對(duì)于知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)同樣適用。孤立的知識(shí)點(diǎn)越多則知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)越呈現(xiàn)出碎片化而不易學(xué)習(xí)（學(xué)習(xí)更需要強(qiáng)記）的特征，連通性越強(qiáng)則知識(shí)點(diǎn)之間不同側(cè)面串聯(lián)的應(yīng)用場(chǎng)景越多。因此，給定知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的固有權(quán)值和已練習(xí)權(quán)值，問(wèn)題歸結(jié)為再練習(xí)哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)獲得的待練習(xí)權(quán)值能讓連通性指標(biāo)最大。

三、實(shí)現(xiàn)方案與關(guān)鍵代碼

1.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

系統(tǒng)由客戶端、服務(wù)器和計(jì)算引擎三部分組成，如圖2所示。其中，計(jì)算引擎的實(shí)現(xiàn)方式具有一定的靈活性，可以在服務(wù)器實(shí)現(xiàn)，也可以在客戶端的瀏覽器上實(shí)現(xiàn)，還可以分散在服務(wù)器和客戶端實(shí)現(xiàn)，因服務(wù)器性能和計(jì)算負(fù)載而定。服務(wù)器上的JSON文件是客戶端和服務(wù)器之間數(shù)據(jù)交換的標(biāo)準(zhǔn)格式，記錄了知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的全部信息，由客戶端讀取并顯示給用戶。JSON文件由電子題庫(kù)生成，不同電子題庫(kù)格式對(duì)應(yīng)不同的生成規(guī)則?？蛻舳诉€要提交已練習(xí)的知識(shí)點(diǎn)號(hào)給服務(wù)器，生成的練習(xí)過(guò)程數(shù)據(jù)用在計(jì)算引擎中，而計(jì)算引擎的工作過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，共有三步：①由JSON文件生成節(jié)點(diǎn)度矩陣;②由三種權(quán)值和JSON文件計(jì)算出鄰接矩陣;③再遍歷待練習(xí)的知識(shí)點(diǎn)號(hào)，并通過(guò)多次計(jì)算Laplacian矩陣的第二小特征值得到最優(yōu)的連通性指標(biāo)和最優(yōu)待練習(xí)的知識(shí)點(diǎn)號(hào)。

由圖2可知，本系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)學(xué)生個(gè)體和班級(jí)整體作最優(yōu)推薦的流程完全相同，差別只在于收集一個(gè)人或所有人的練習(xí)過(guò)程文件，此類操作只引入極少的計(jì)算負(fù)荷。

2.電子題庫(kù)設(shè)計(jì)

知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)包括知識(shí)點(diǎn)本身和知識(shí)點(diǎn)之間的連線，每條連線具有不同的固有權(quán)值。知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)記錄在JSON文件中，而JSON文件則來(lái)自于電子題庫(kù)。電子題庫(kù)的格式設(shè)計(jì)重在簡(jiǎn)潔高效，既要便于生成JSON文件，也要考慮網(wǎng)頁(yè)前端顯示的易用性，又要盡量減少教師長(zhǎng)期維護(hù)的工作量。以如下格式Linux腳本電子題庫(kù)為例：

該題庫(kù)共有49個(gè)知識(shí)點(diǎn)，所有知識(shí)點(diǎn)按難度組織成level1到level5的級(jí)別，前三個(gè)級(jí)別屬于基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，后兩個(gè)級(jí)別是應(yīng)用類型的知識(shí)點(diǎn)。每個(gè)知識(shí)點(diǎn)包括三個(gè)字段：功能描述、詳細(xì)信息以及實(shí)現(xiàn)該功能的Linux腳本具體命令，字段之間用跳格隔開(kāi)。如此設(shè)計(jì)不但方便教師整理知識(shí)點(diǎn)，還方便網(wǎng)頁(yè)以“刷題”方式顯示前兩個(gè)字段，又方便用靜態(tài)隱藏且鼠標(biāo)懸停的效果顯示第三個(gè)字段（答案）。另外，教師只需關(guān)注知識(shí)點(diǎn)本身和難度分類，知識(shí)點(diǎn)之間連線的固有權(quán)值由腳本自動(dòng)生成，知識(shí)點(diǎn)號(hào)也由行號(hào)自動(dòng)生成，最大限度地降低了人工維護(hù)成本。

3.JSON格式與知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)

知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)源自電子題庫(kù)，但其載體是JSON文件，其中最重要的信息是自動(dòng)生成知識(shí)點(diǎn)之間連線的固有權(quán)值，在計(jì)算引擎中用以生成節(jié)點(diǎn)度矩陣和鄰接矩陣。眾所周知，Linux腳本命令行以管道符號(hào)“|”連接多級(jí)簡(jiǎn)單腳本命令，而簡(jiǎn)單腳本命令如echo、seq、sed、awk等一般只用到20個(gè)左右。對(duì)于這種情況，連線間固有權(quán)值（見(jiàn)下文JSON格式中的“weight”參數(shù)）就取作兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的Linux腳本具體命令中同時(shí)出現(xiàn)的簡(jiǎn)單腳本命令數(shù)目。為方便網(wǎng)頁(yè)和服務(wù)器進(jìn)行數(shù)據(jù)交換，將上述電子題庫(kù)轉(zhuǎn)換成JSON格式。其中，知識(shí)點(diǎn)的名字取作該知識(shí)點(diǎn)所在電子題庫(kù)文件中的行號(hào)，而“numOfPipes”參數(shù)則表示Linux腳本具體命令中的字符數(shù)，字符數(shù)越多則知識(shí)點(diǎn)在圖1中就顯示為越大的橢圓，代表知識(shí)點(diǎn)的難易程度。此外，JSON格式中沒(méi)有知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的答案，答案是網(wǎng)頁(yè)中某知識(shí)點(diǎn)的鼠標(biāo)點(diǎn)擊事件觸發(fā)時(shí)，用其名字在電子題庫(kù)中即時(shí)查找出來(lái)的。

以上將電子題庫(kù)轉(zhuǎn)換成JSON格式的實(shí)現(xiàn)腳本過(guò)于復(fù)雜，此處只描述其核心思想。

第1步：為電子題庫(kù)文件加行號(hào)，因此得到每個(gè)知識(shí)點(diǎn)前面的行號(hào)，并加上“pp”用作“name”參數(shù)。

第2步：用awk中的length（）函數(shù)統(tǒng)計(jì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的Linux腳本具體命令中的字符數(shù)，并把每個(gè)知識(shí)點(diǎn)整理成name、value和numOfChars格式。

第3步：將每個(gè)知識(shí)點(diǎn)中管道符號(hào)前后的基本命令提取出來(lái)，與知識(shí)點(diǎn)的“name”參數(shù)一起生成link文件，每行形如51 seq。

第4步：統(tǒng)計(jì)出任何兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間相同基本命令的總數(shù)目，所用Linux腳本如下：

其中整體分三步：①link文件與自身作信息擴(kuò)充即所有行全交叉，結(jié)果每行由2個(gè)字段變成4個(gè)字段，即兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的“name”參數(shù)和具體命令中的某個(gè)基本腳本命令。②根據(jù)源知識(shí)點(diǎn)和目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)的對(duì)稱可互換性，只需用awk過(guò)濾出源知識(shí)點(diǎn)號(hào)更小的情況，并只顯示出兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的“name”參數(shù)，表示兩者之間出現(xiàn)了一次相同的簡(jiǎn)單腳本命令。③排序并用uniq命令統(tǒng)計(jì)出所有知識(shí)點(diǎn)兩兩之間相同簡(jiǎn)單腳本命令的總數(shù)。

第5步：按JSON格式要求生成weight、source和target信息，并補(bǔ)齊所有匹配的區(qū)域定界符號(hào)。

4.生成Laplacian矩陣并求特征值

知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣定義為無(wú)向圖的節(jié)點(diǎn)度矩陣與鄰接矩陣之差，其中鄰接矩陣則由固有權(quán)值、已練習(xí)權(quán)值和待練習(xí)權(quán)值疊加生成。因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)的“name”參數(shù)取自電子題庫(kù)文件的行號(hào)，所以，諸如“l(fā)evel1”這樣的行會(huì)讓知識(shí)點(diǎn)號(hào)有跳號(hào)，生成Laplacian矩陣的第一步就需要把link文件中的知識(shí)點(diǎn)號(hào)轉(zhuǎn)換為無(wú)跳號(hào)的知識(shí)點(diǎn)號(hào)，并且得到固有權(quán)值文件zlap.2。關(guān)鍵腳本如下：

所生成的固有權(quán)值文件zlap.2格式為（第一個(gè)字段是固有權(quán)值，后兩個(gè)字段為知識(shí)點(diǎn)號(hào)）：

下一步合并反映學(xué)習(xí)過(guò)程的已練習(xí)權(quán)值和待練習(xí)權(quán)值。實(shí)現(xiàn)策略是待練習(xí)的知識(shí)點(diǎn)號(hào)寫(xiě)入zlap.input.1文件的同時(shí)，再合并上每個(gè)學(xué)生已經(jīng)練習(xí)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)文件zlap.learned，然后將這些知識(shí)點(diǎn)相關(guān)所有連線的權(quán)值依次加1，關(guān)鍵腳本如下：

其中<（xxx）是Linux腳本中不常用的嵌入輸入數(shù)據(jù)管道，功能是將命令xxx的執(zhí)行結(jié)果作為cat命令除zlap.input.1之外的那一部分輸入數(shù)據(jù)流。

至此，知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的固有權(quán)值、已練習(xí)知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值和待練習(xí)知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值已合并到總權(quán)值文件zlap.2.all中，最后即由該文件生成節(jié)點(diǎn)度矩陣和鄰接矩陣進(jìn)而得出Laplacian矩陣及其特征值。關(guān)鍵腳本如下：

其中，首先生成節(jié)點(diǎn)度矩陣，算法見(jiàn)第1行。遍歷每個(gè)節(jié)點(diǎn)并從總權(quán)值文件中取出含有該節(jié)點(diǎn)號(hào)的行，這些行的第1列之和就是此節(jié)點(diǎn)的度，所有節(jié)點(diǎn)的度組成的對(duì)角矩陣即為節(jié)點(diǎn)度矩陣。其次由總權(quán)值文件生成鄰接矩陣，即對(duì)總權(quán)值文件進(jìn)行擴(kuò)充，把沒(méi)有連接關(guān)系的節(jié)點(diǎn)對(duì)的位置寫(xiě)上數(shù)值0，見(jiàn)第3～6行，其中第3行再次應(yīng)用信息擴(kuò)充生成所有知識(shí)點(diǎn)號(hào)的全交叉。最后求取特征值用到的命令是octave，其要求的矩陣格式轉(zhuǎn)換與矩陣運(yùn)算代碼見(jiàn)第2、7、8行。

在只有固有權(quán)值的情況下，求取特征值的結(jié)果如下：

其中反映出知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的連通性指標(biāo)是1.7428，計(jì)算耗時(shí)不足1秒（配置為Intel 酷睿i5-3230M、內(nèi)存4GB、Ubuntu x64、octave版本4.0.0）。當(dāng)存在已練習(xí)權(quán)值和待練習(xí)權(quán)值時(shí)，連通性指標(biāo)必將增加，關(guān)鍵是要找到讓增加量最大的情況：自變量是待練習(xí)的知識(shí)點(diǎn)號(hào)，因變量是知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的連通性指標(biāo)。

四、應(yīng)用場(chǎng)景與性能測(cè)試

本文列舉典型應(yīng)用場(chǎng)景的功能需求及其實(shí)現(xiàn)方法，并對(duì)所得結(jié)果做了相應(yīng)的對(duì)比分析。其中，針對(duì)學(xué)生個(gè)體的一步最優(yōu)推薦是學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)時(shí)最常用的場(chǎng)景，針對(duì)班級(jí)整體的最優(yōu)推薦則是為教師推薦作業(yè)和習(xí)題課內(nèi)容的場(chǎng)景。

1.針對(duì)學(xué)生個(gè)體的一步最優(yōu)推薦

學(xué)生基于知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過(guò)程就是反復(fù)練習(xí)所關(guān)注的知識(shí)點(diǎn)，每當(dāng)練習(xí)完某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，該知識(shí)點(diǎn)號(hào)被存入服務(wù)器上每個(gè)學(xué)生已經(jīng)練習(xí)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)文件zlap.learned中。在求取知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的連通性指標(biāo)時(shí)，與文件zlap.learned中知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)之間連線的權(quán)值就會(huì)加1。根據(jù)代數(shù)圖論中圖的疊加理論可知，鄰接矩陣中的權(quán)值變大則Laplacian矩陣相應(yīng)的特征值均變大[3]，特別地，Laplacian的第二小特征值即連通性指標(biāo)必將增加，反映出知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)更強(qiáng)的連通性，符合常識(shí)。由此，只要遍歷所有待練習(xí)的知識(shí)點(diǎn)、相應(yīng)地改變鄰接矩陣的權(quán)值并多次求取Laplacian矩陣的特征值就能斷定應(yīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)。用到的腳本如下：

其中的zlaplacian.cmd是求取一次連通性指標(biāo)的腳本，其內(nèi)容前已述及。

在只有固有權(quán)值而沒(méi)有已練習(xí)知識(shí)點(diǎn)的情況下，求取的最優(yōu)推薦知識(shí)點(diǎn)及其連通性指標(biāo)如表1所示。表1中的結(jié)果說(shuō)明，學(xué)習(xí)者與固有權(quán)值情況下1.7428的連通性指標(biāo)相對(duì)照，按最優(yōu)推薦的知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)，則連通性指標(biāo)有約50%的提升，而第6個(gè)最優(yōu)推薦知識(shí)點(diǎn)的連通性指標(biāo)則改進(jìn)甚微。由此可見(jiàn)，此49個(gè)知識(shí)點(diǎn)的電子題庫(kù)中只有5個(gè)知識(shí)點(diǎn)能讓連通性指標(biāo)有較為顯著的改進(jìn)，因此最優(yōu)知識(shí)點(diǎn)推薦策略相比隨機(jī)推薦有相當(dāng)大的優(yōu)勢(shì)。

值得一提的是，針對(duì)學(xué)生個(gè)體的一步最優(yōu)推薦知識(shí)點(diǎn)是“統(tǒng)計(jì)詞頻”，這與筆者基于此電子題庫(kù)的教學(xué)實(shí)踐相吻合。該知識(shí)點(diǎn)一般都在前幾次課引入，而且大多數(shù)學(xué)生都在學(xué)習(xí)完此知識(shí)點(diǎn)之后感覺(jué)對(duì)Linux腳本的理解程度有了一定的質(zhì)變。此外，前5個(gè)最優(yōu)推薦的知識(shí)點(diǎn)都是關(guān)于echo命令的，而且其中3個(gè)知識(shí)點(diǎn)還十分基礎(chǔ)，這符合Linux腳本中“一門深入”的練習(xí)策略。實(shí)際上，echo確實(shí)是表面上很簡(jiǎn)單但實(shí)際上很難的命令，它串起了Linux腳本中幾乎所有的功能點(diǎn)，通過(guò)反復(fù)練習(xí)和試錯(cuò)可以發(fā)現(xiàn)它的諸多疑難功能點(diǎn)，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。另外，還可以不斷強(qiáng)化這些功能點(diǎn)：命令和參數(shù)的不同、不使用輸入數(shù)據(jù)流、回車符是否存在的驗(yàn)證方法、命令管道中的信息放入數(shù)據(jù)管道中、回顯二進(jìn)制數(shù)據(jù)以及生成一行數(shù)據(jù)和多行數(shù)據(jù)。

2.一步最優(yōu)推薦代碼的性能測(cè)試

以上實(shí)現(xiàn)的一步最優(yōu)推薦計(jì)算引擎位于服務(wù)器上，為降低服務(wù)器并發(fā)處理的負(fù)荷，計(jì)算引擎還可以用JavaScript實(shí)現(xiàn)在前端瀏覽器上?，F(xiàn)代瀏覽器運(yùn)行高性能矩陣運(yùn)算庫(kù)Math.js時(shí)可以用GPU加速，對(duì)于一般配置的計(jì)算機(jī)在性能上可能不輸于多人共用的服務(wù)器[5]。利用Math.js庫(kù)在瀏覽器端作矩陣運(yùn)算，實(shí)測(cè)性能大約7秒遍歷所有49個(gè)知識(shí)點(diǎn)，即完成一步最優(yōu)推薦（配置：Intel 酷睿i5-3230M、內(nèi)存4GB、64位Chrome瀏覽器），能夠滿足學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)推薦的實(shí)時(shí)性要求。關(guān)鍵JavaScript代碼如下：

以上代碼中的輸入文件links是Ajax異步訪問(wèn)固有權(quán)值文件zlap.2的結(jié)果，節(jié)點(diǎn)度矩陣與鄰接矩陣的算法與之前Linux腳本的實(shí)現(xiàn)完全相同，最終求取矩陣特征值時(shí)調(diào)用的不再是Linux服務(wù)器上的octave命令，而是Math.js庫(kù)提供的函數(shù)。代碼的難點(diǎn)在于“（a-0）”和“（b-0）”使用了JavaScript的弱類型特性將字符串轉(zhuǎn)為數(shù)值，另外，定制的函數(shù)arrTrans將一維數(shù)組轉(zhuǎn)換成二維數(shù)組，類似Linux腳本中的xargs -n功能。

通過(guò)在教學(xué)中著重對(duì)比引入同一功能的Linux腳本實(shí)現(xiàn)和JavaScript語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生從常見(jiàn)功能上獲取了從Linux腳本語(yǔ)言向JavaScript語(yǔ)言的自主學(xué)習(xí)遷移能力：map類似xargs–i、filter類似grep、push相當(dāng)于sed–i、concat相當(dāng)于cat、reduce相當(dāng)于tr? '＼n' ' '? |?; bc。學(xué)生在對(duì)比Linux腳本語(yǔ)言和JavaScript語(yǔ)言的過(guò)程中，以很小的學(xué)習(xí)成本從頂層上掌握了JavaScript語(yǔ)言，創(chuàng)造力得到了極大鍛煉，對(duì)編程語(yǔ)言類課程實(shí)現(xiàn)了一定程度的融會(huì)貫通。

3.針對(duì)學(xué)生個(gè)體的多步最優(yōu)推薦

以學(xué)生個(gè)體的一步最優(yōu)推薦為基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)多步最優(yōu)推薦只需要將待練習(xí)的知識(shí)點(diǎn)號(hào)寫(xiě)入zlap.input.1文件，不同僅在于前者只寫(xiě)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)號(hào)而后者寫(xiě)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)號(hào)。例如，基于49個(gè)知識(shí)點(diǎn)號(hào)的信息擴(kuò)充，即得到2401種兩步學(xué)習(xí)的可能性，要在這里找學(xué)生個(gè)體的兩步最優(yōu)推薦，關(guān)鍵代碼如下：

其中，第1行代碼再次用到知識(shí)點(diǎn)號(hào)的信息擴(kuò)充策略生成所有學(xué)習(xí)方案;第2行把每個(gè)兩步學(xué)習(xí)可能方案的知識(shí)點(diǎn)號(hào)寫(xiě)入zlap.input.1文件，然后顯示此學(xué)習(xí)方案并求取連通性指標(biāo)。

代碼的運(yùn)行結(jié)果如表2所示，可見(jiàn)兩步最優(yōu)推薦的知識(shí)點(diǎn)就是前幾個(gè)一步最優(yōu)推薦知識(shí)點(diǎn)的組合。因此，針對(duì)此題庫(kù)兩步最優(yōu)推薦完全可以拆分成兩次一步最優(yōu)推薦。此外，遍歷2401種兩步學(xué)習(xí)方案耗時(shí)也超過(guò)5分鐘，目前尚不適合作實(shí)時(shí)推薦。

4.針對(duì)班級(jí)或?qū)W習(xí)小組的最優(yōu)推薦

針對(duì)班級(jí)或?qū)W習(xí)小組作最優(yōu)推薦僅是針對(duì)學(xué)生個(gè)體最優(yōu)推薦的簡(jiǎn)單擴(kuò)展。學(xué)生個(gè)體練習(xí)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)存放在其單獨(dú)的zlap.learned文件中，每行有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，只要求取這些知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的已練習(xí)權(quán)值并全合并到總的權(quán)值文件zlap.2.all即可，其余的工作完全等同于針對(duì)學(xué)生個(gè)體推薦的情況，實(shí)現(xiàn)過(guò)程不存在任何技術(shù)難度，性能上也沒(méi)有引入任何瓶頸，不再贅述。

五、教學(xué)實(shí)踐分析

筆者在2019年春季學(xué)期、2019年秋季學(xué)期和2020年春季學(xué)期試用了Linux腳本的知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)電子題庫(kù)。人數(shù)和班級(jí)數(shù)依次是3個(gè)班級(jí)共70人、6個(gè)班級(jí)共244人和4個(gè)班級(jí)共173人，大約按1∶1的人數(shù)比組織對(duì)比教學(xué)。結(jié)合教師的統(tǒng)一授課，學(xué)生在課堂上用一半時(shí)間鞏固復(fù)習(xí)，按隨機(jī)推薦知識(shí)點(diǎn)練習(xí)或基于一步最優(yōu)推薦的最優(yōu)知識(shí)點(diǎn)開(kāi)展練習(xí)。實(shí)際測(cè)試結(jié)果表明，按最優(yōu)推薦知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)的學(xué)生有很強(qiáng)的主動(dòng)性，課堂學(xué)習(xí)效果如圖3所示，學(xué)習(xí)的目標(biāo)也更明確。師生問(wèn)答法測(cè)試結(jié)果表明，學(xué)生掌握整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的速度明顯更快，學(xué)生反映“很快能看懂并能略微修改多級(jí)組合的復(fù)雜Linux腳本”并且“能簡(jiǎn)單創(chuàng)造兩三級(jí)腳本的組合”。由此可見(jiàn)，基于知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)時(shí)一步最優(yōu)推薦系統(tǒng)，可以很好地滿足鞏固復(fù)習(xí)階段對(duì)知識(shí)點(diǎn)的最優(yōu)練習(xí)策略。

圖3還反映出學(xué)生喜歡使用手勢(shì)來(lái)分析知識(shí)點(diǎn)之間的連接關(guān)系。實(shí)際上，多使用手勢(shì)這種具像的動(dòng)作有助于引導(dǎo)大腦內(nèi)部強(qiáng)化特定知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，手勢(shì)可以提高創(chuàng)造力是心理學(xué)界近年的研究成果[6]。在細(xì)節(jié)方面，學(xué)生喜歡用手指類似走迷宮的方式探索低級(jí)知識(shí)點(diǎn)向高級(jí)知識(shí)點(diǎn)的進(jìn)化過(guò)程，厘清相似知識(shí)點(diǎn)的差異和應(yīng)用場(chǎng)合的區(qū)別。學(xué)生整體上喜歡在小組學(xué)習(xí)時(shí)用雙手的不同手勢(shì)向同伴展示某些知識(shí)點(diǎn)的類別劃分，加速小組的互學(xué)互助。小組討論和創(chuàng)造的氛圍很好，自我認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力得到極大增強(qiáng)。例如，針對(duì)“生成兩列數(shù)1到5”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，明顯不滿足于電子題庫(kù)中的一種實(shí)現(xiàn)方法，并在教師的引導(dǎo)下得到了以下多種解法（此處略去簡(jiǎn)單的變體）：

六、結(jié)語(yǔ)

全面應(yīng)用信息技術(shù)推動(dòng)教育信息化是“三教”改革的研究重點(diǎn)。本文基于知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)形式的電子題庫(kù)，研究了待學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的最優(yōu)推薦策略，為鞏固復(fù)習(xí)階段進(jìn)行個(gè)性化練習(xí)提供了最優(yōu)指引。此外，本文在學(xué)生創(chuàng)造力培養(yǎng)方面做了積極有益的探索。學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)了功能塊對(duì)編程語(yǔ)言的細(xì)節(jié)屏蔽性、功能塊少而精和復(fù)雜算法靠人來(lái)創(chuàng)造的學(xué)習(xí)策略。強(qiáng)化練習(xí)少數(shù)編程語(yǔ)言細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)的功能塊，并以此創(chuàng)造問(wèn)題的多種解法，而不同編程語(yǔ)言的差別只在于用該編程語(yǔ)言相關(guān)的細(xì)節(jié)實(shí)現(xiàn)這些功能塊。

事實(shí)上，使用任何編程語(yǔ)言，在功能塊層面上組合創(chuàng)造的思路都是一樣的。因此，功能性編程作為L(zhǎng)inux腳本語(yǔ)言和大數(shù)據(jù)Spark環(huán)境原生Scala語(yǔ)言的最大優(yōu)勢(shì)，逐漸也引入到JavaScript語(yǔ)言和Java語(yǔ)言中，優(yōu)勢(shì)在于程序易測(cè)試、易掌控和易并行化，算法實(shí)現(xiàn)上需要對(duì)功能塊作創(chuàng)造性組合，而對(duì)語(yǔ)言細(xì)節(jié)的依賴程度更低。學(xué)生在對(duì)比Linux腳本語(yǔ)言和JavaScript語(yǔ)言的過(guò)程中，以很小的學(xué)習(xí)成本從頂層上掌握了JavaScript語(yǔ)言，創(chuàng)造力得到了極大鍛煉，對(duì)編程語(yǔ)言類課程實(shí)現(xiàn)了一定程度的融會(huì)貫通。

本文所述的最優(yōu)知識(shí)點(diǎn)推薦策略尚有幾個(gè)值得深入研究的方向。一是類似英語(yǔ)這種大型的知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，例如，基于Oxford 3000單詞表及例句庫(kù)作最優(yōu)推薦算法的耗時(shí)太長(zhǎng)，不但要研究知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)切分，還需要用Scala/Spark在服務(wù)器上開(kāi)展多機(jī)并行計(jì)算，甚至還要性能更強(qiáng)的芯片時(shí)序分析軟件（PrimeTime）實(shí)現(xiàn)全路徑的學(xué)習(xí)過(guò)程分析。芯片中各級(jí)觸發(fā)器之間的時(shí)序路徑類似知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)中的連線路徑，值得深入研究。二是在關(guān)鍵代碼之上擴(kuò)展更多的實(shí)用功能，例如，與個(gè)人的遺忘曲線聯(lián)系起來(lái)以全面記錄學(xué)生的練習(xí)過(guò)程，還要與人工智能技術(shù)相結(jié)合，讓集體學(xué)習(xí)過(guò)程歷史大數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的規(guī)則推薦和知識(shí)推薦更有益于學(xué)生個(gè)體的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓班級(jí)整體學(xué)習(xí)力更有效地推動(dòng)個(gè)體學(xué)習(xí)。實(shí)現(xiàn)更加符合學(xué)生個(gè)體學(xué)習(xí)力的定制化最優(yōu)知識(shí)點(diǎn)推薦。三是研究固有權(quán)值可動(dòng)態(tài)改變并反映知識(shí)點(diǎn)創(chuàng)造過(guò)程的知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)前電子題庫(kù)中每個(gè)知識(shí)點(diǎn)只提供了一種解決方法，實(shí)際上，一個(gè)問(wèn)題可以有很多解決方法。另外，好的學(xué)生可以邊學(xué)習(xí)“舊”方法，邊創(chuàng)造“新”方法，更難的情況是尚不明確如何設(shè)定知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的固有權(quán)值，可能需要借鑒異步電子設(shè)計(jì)中組合邏輯環(huán)的破環(huán)技術(shù)或者控制理論中的多步動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題[7]。

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（編輯：王曉明）

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