宋泰宇，李國平

(1.同濟(jì)大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院(集團(tuán))有限公司，上海 200092； 2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092)

1 引 言

有限單元法是在當(dāng)今技術(shù)科學(xué)發(fā)展和工程分析中最強(qiáng)有力的數(shù)值方法[1,2]，廣泛應(yīng)用于機(jī)械、橋梁和房屋等工程分析中。梁-桿件是工程結(jié)構(gòu)的重要組成，有限元分析一般通過引入平截面假設(shè)將桿件簡化為一維問題，從而采用梁單元求解。在實(shí)際工程中，常會采用曲線形梁結(jié)構(gòu)，如橋梁工程中的彎梁和房屋工程中支撐球形網(wǎng)殼的曲梁等。由于曲梁的軸線是曲線，所以梁中的拉壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)是耦合的，梁內(nèi)存在扭矩。

有限元分析曲梁主要有兩類單元,(1) 可以考慮扭矩的空間直梁單元； (2) 由三維實(shí)體單元退化而來的空間曲梁單元?？臻g直梁單元是用折線代替曲線，優(yōu)點(diǎn)是表達(dá)格式較為簡單，但是，直梁單元中的拉壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)各自獨(dú)立，互不耦合，因此使用直梁單元模擬的曲梁在離散時(shí)較為困難，會出現(xiàn)彎矩和扭矩不連續(xù)等問題，同時(shí)劃分必須用較密集的網(wǎng)格；三維空間曲梁單元中的拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)幾種變形和應(yīng)力狀態(tài)是相互耦合的，這類單元的有限元程式是由三維實(shí)體單元推導(dǎo)而來，其位移和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度相互獨(dú)立，因此形函數(shù)只需要C0連續(xù)性[1]，可以適用于各種形狀的直、曲梁結(jié)構(gòu)。同時(shí)，這類單元構(gòu)造時(shí)考慮了橫向剪切變形，可以同時(shí)適用于淺梁和深梁的分析。因此，當(dāng)考慮計(jì)算的精確度和有限元程序的普遍適用性時(shí)，宜采用空間曲梁單元進(jìn)行曲梁結(jié)構(gòu)的分析。

2 空間曲梁單元的剪應(yīng)力

2.1 有限元程式

三維曲梁單元中任一點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的幾何位置為

(1)

在小轉(zhuǎn)動(dòng)的條件下，空間曲梁單元中任一點(diǎn)在全局坐標(biāo)系的位移場為

(2)

圖1 三維空間曲梁單元[1]

式中{δk}={uk,vk,wk,θx k,θy k,θz k}T為結(jié)點(diǎn)k在全局坐標(biāo)系下的結(jié)點(diǎn)位移向量，{uk,vk,wk}T為平動(dòng)向量，{θx k,θy k,θz k}T為轉(zhuǎn)動(dòng)向量；其余符號意義同前。在局部坐標(biāo)系中，三維空間曲梁單元的彈性本構(gòu)矩陣的表達(dá)式為

(3)

式中E和G分別為楊氏彈性模量和剪切剛度，κ為剪切校正因子。本文只列出與本文相關(guān)的方程，空間曲梁單元的完整有限元程式可參見文獻(xiàn)[14]。空間曲梁單元在梁軸線是直線時(shí)退化為 Timo -shenko 梁單元。

本有限元程式中，數(shù)值計(jì)算采用減縮積分的3結(jié)點(diǎn)二次曲梁單元(2個(gè)高斯積分點(diǎn))，可有效避免剪切鎖死和零能模式。

2.2 計(jì)算剪應(yīng)力和真實(shí)剪應(yīng)力

矩形截面梁發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)，各截面發(fā)生翹曲，不再保持平面。但是，從式(2)可以看出，扭轉(zhuǎn)角θx對軸向變形u沒有影響，即空間曲梁單元不能考慮扭轉(zhuǎn)翹曲的影響。根據(jù)理論和試驗(yàn)結(jié)果[15，16]，對于跨長大于橫截面尺寸4倍的實(shí)心截面梁來說，翹曲正應(yīng)力和翹曲剪應(yīng)力與相應(yīng)的彎曲正應(yīng)力和剛性扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力相比較小，一般不超過5%，可不考慮翹曲的影響，采用單純扭轉(zhuǎn)理論分析[15]。因此，空間曲梁單元不考慮翹曲影響所引起的誤差較小，在工程設(shè)計(jì)容許范圍內(nèi)。

將式(2)的位移場代入彈性力學(xué)的基本幾何方程，即可得到空間曲梁單元的6個(gè)應(yīng)變分量，將剪應(yīng)變代入式(3)即可得剪應(yīng)力，矩形截面空間曲梁單元上由橫向彎曲和扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的剪應(yīng)力分別如 圖2(a，c)所示。可以看出，計(jì)算的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度方向?yàn)槌Ｖ担鎸?shí)的彎曲剪應(yīng)力近似為拋物線分布(圖2(b))；計(jì)算的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力呈線性分布，在對角線頂點(diǎn)處達(dá)到最大值，而真實(shí)扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力呈非線性分布，在矩形長邊中點(diǎn)達(dá)到最大值，在對角線頂點(diǎn)處為0(圖2(d))。

3 扭轉(zhuǎn)修正系數(shù)

圖2 梁單元截面上的剪應(yīng)力分布

圖3 梁截面

利用彈性力學(xué)的應(yīng)力函數(shù)可得到截面上扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的解析解[18]為

(4)

(5)

式中αn=(2n+1)π/2a(n=0,1,2,…)。根據(jù)式(2)和幾何方程可得空間曲梁單元截面上的剪應(yīng)力

τx z 2=-θGy,τz y 2=θGx

(6,7)

(8)

(9)

4 算例驗(yàn)證分析

基于上述的空間曲梁單元模型，文獻(xiàn)[14]編制了相應(yīng)的有限元電算程序。為了驗(yàn)證上述推導(dǎo)的扭轉(zhuǎn)修正系數(shù)的正確性，以一矩形截面曲線懸臂梁為例，基于實(shí)體單元模型的結(jié)果對空間曲梁單元模型計(jì)算結(jié)果的正確性進(jìn)行驗(yàn)證和分析。

表1 扭轉(zhuǎn)剛度修正系數(shù)Tab.1 Correction factors of torsional stiffness )

曲線懸臂梁的平面布置如圖4所示，選取兩個(gè)截面尺寸分別為20cm(高)×20cm(寬)和20cm×10cm，E=3.45×107kN/m2，G=1.725×107kN/m2，在懸臂梁末端施加豎向單位力P =1kN。實(shí)體有限元模型利用有限元軟件ABAQUS[19]建立，模型采用網(wǎng)格細(xì)化的三次高階單元(C3D20R)以保證模型的計(jì)算準(zhǔn)確度(圖5)。

表2 扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力修正系數(shù)λTab.2 Correction factors of torsional shear (λ)

圖4 曲線懸臂梁平面

圖5 曲線懸臂梁的實(shí)體單元模型

圖6 曲線懸臂梁沿梁長的撓度和扭轉(zhuǎn)角的對比

5 結(jié) 論

(1) 曲梁是典型的空間結(jié)構(gòu)，具有彎扭耦合特性，受力狀態(tài)較復(fù)雜。對于曲梁結(jié)構(gòu)的分析，與解析解法、實(shí)體單元模型和直梁單元模型相比，采用空間曲梁單元模型最符合曲梁真實(shí)的幾何和受力特點(diǎn)，分析方法具有較高的準(zhǔn)確度和效率。

(6) 與本文研究內(nèi)容相關(guān)的，空間曲梁單元模型采用分層法進(jìn)行非線性受力性能分析時(shí)，單元的分層數(shù)需不少于4層(減縮積分)，每個(gè)單元對應(yīng)的圓心角不大于6°，以保證獲得準(zhǔn)確的彎剪扭受力性能。

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