宋泰宇,李國(guó)平
(1.同濟(jì)大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院(集團(tuán))有限公司,上海 200092; 2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院,上海 200092)
有限單元法是在當(dāng)今技術(shù)科學(xué)發(fā)展和工程分析中最強(qiáng)有力的數(shù)值方法[1,2],廣泛應(yīng)用于機(jī)械、橋梁和房屋等工程分析中。梁-桿件是工程結(jié)構(gòu)的重要組成,有限元分析一般通過(guò)引入平截面假設(shè)將桿件簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題,從而采用梁?jiǎn)卧蠼狻T趯?shí)際工程中,常會(huì)采用曲線形梁結(jié)構(gòu),如橋梁工程中的彎梁和房屋工程中支撐球形網(wǎng)殼的曲梁等。由于曲梁的軸線是曲線,所以梁中的拉壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)是耦合的,梁內(nèi)存在扭矩。
有限元分析曲梁主要有兩類(lèi)單元,(1) 可以考慮扭矩的空間直梁?jiǎn)卧?(2) 由三維實(shí)體單元退化而來(lái)的空間曲梁?jiǎn)卧?。空間直梁?jiǎn)卧怯谜劬€代替曲線,優(yōu)點(diǎn)是表達(dá)格式較為簡(jiǎn)單,但是,直梁?jiǎn)卧械睦瓑骸澢团まD(zhuǎn)各自獨(dú)立,互不耦合,因此使用直梁?jiǎn)卧M的曲梁在離散時(shí)較為困難,會(huì)出現(xiàn)彎矩和扭矩不連續(xù)等問(wèn)題,同時(shí)劃分必須用較密集的網(wǎng)格;三維空間曲梁?jiǎn)卧械睦瓑?、彎曲、扭轉(zhuǎn)幾種變形和應(yīng)力狀態(tài)是相互耦合的,這類(lèi)單元的有限元程式是由三維實(shí)體單元推導(dǎo)而來(lái),其位移和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度相互獨(dú)立,因此形函數(shù)只需要C0連續(xù)性[1],可以適用于各種形狀的直、曲梁結(jié)構(gòu)。同時(shí),這類(lèi)單元構(gòu)造時(shí)考慮了橫向剪切變形,可以同時(shí)適用于淺梁和深梁的分析。因此,當(dāng)考慮計(jì)算的精確度和有限元程序的普遍適用性時(shí),宜采用空間曲梁?jiǎn)卧M(jìn)行曲梁結(jié)構(gòu)的分析。
三維曲梁?jiǎn)卧腥我稽c(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的幾何位置為
(1)
在小轉(zhuǎn)動(dòng)的條件下,空間曲梁?jiǎn)卧腥我稽c(diǎn)在全局坐標(biāo)系的位移場(chǎng)為
(2)
圖1 三維空間曲梁?jiǎn)卧猍1]
式中{δk}={uk,vk,wk,θx k,θy k,θz k}T為結(jié)點(diǎn)k在全局坐標(biāo)系下的結(jié)點(diǎn)位移向量,{uk,vk,wk}T為平動(dòng)向量,{θx k,θy k,θz k}T為轉(zhuǎn)動(dòng)向量;其余符號(hào)意義同前。在局部坐標(biāo)系中,三維空間曲梁?jiǎn)卧膹椥员緲?gòu)矩陣的表達(dá)式為
(3)
式中E和G分別為楊氏彈性模量和剪切剛度,κ為剪切校正因子。本文只列出與本文相關(guān)的方程,空間曲梁?jiǎn)卧耐暾邢拊淌娇蓞⒁?jiàn)文獻(xiàn)[14]??臻g曲梁?jiǎn)卧诹狠S線是直線時(shí)退化為 Timo -shenko 梁?jiǎn)卧?/p>
本有限元程式中,數(shù)值計(jì)算采用減縮積分的3結(jié)點(diǎn)二次曲梁?jiǎn)卧?2個(gè)高斯積分點(diǎn)),可有效避免剪切鎖死和零能模式。
矩形截面梁發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí),各截面發(fā)生翹曲,不再保持平面。但是,從式(2)可以看出,扭轉(zhuǎn)角θx對(duì)軸向變形u沒(méi)有影響,即空間曲梁?jiǎn)卧荒芸紤]扭轉(zhuǎn)翹曲的影響。根據(jù)理論和試驗(yàn)結(jié)果[15,16],對(duì)于跨長(zhǎng)大于橫截面尺寸4倍的實(shí)心截面梁來(lái)說(shuō),翹曲正應(yīng)力和翹曲剪應(yīng)力與相應(yīng)的彎曲正應(yīng)力和剛性扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力相比較小,一般不超過(guò)5%,可不考慮翹曲的影響,采用單純扭轉(zhuǎn)理論分析[15]。因此,空間曲梁?jiǎn)卧豢紤]翹曲影響所引起的誤差較小,在工程設(shè)計(jì)容許范圍內(nèi)。
將式(2)的位移場(chǎng)代入彈性力學(xué)的基本幾何方程,即可得到空間曲梁?jiǎn)卧?個(gè)應(yīng)變分量,將剪應(yīng)變代入式(3)即可得剪應(yīng)力,矩形截面空間曲梁?jiǎn)卧嫌蓹M向彎曲和扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的剪應(yīng)力分別如 圖2(a,c)所示??梢钥闯觯?jì)算的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度方向?yàn)槌V?,而真?shí)的彎曲剪應(yīng)力近似為拋物線分布(圖2(b));計(jì)算的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力呈線性分布,在對(duì)角線頂點(diǎn)處達(dá)到最大值,而真實(shí)扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力呈非線性分布,在矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)達(dá)到最大值,在對(duì)角線頂點(diǎn)處為0(圖2(d))。
圖2 梁?jiǎn)卧孛嫔系募魬?yīng)力分布
圖3 梁截面
利用彈性力學(xué)的應(yīng)力函數(shù)可得到截面上扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的解析解[18]為
(4)
(5)
式中αn=(2n+1)π/2a(n=0,1,2,…)。根據(jù)式(2)和幾何方程可得空間曲梁?jiǎn)卧孛嫔系募魬?yīng)力
τx z 2=-θGy,τz y 2=θGx
(6,7)
(8)
(9)
基于上述的空間曲梁?jiǎn)卧P?,文獻(xiàn)[14]編制了相應(yīng)的有限元電算程序。為了驗(yàn)證上述推導(dǎo)的扭轉(zhuǎn)修正系數(shù)的正確性,以一矩形截面曲線懸臂梁為例,基于實(shí)體單元模型的結(jié)果對(duì)空間曲梁?jiǎn)卧P陀?jì)算結(jié)果的正確性進(jìn)行驗(yàn)證和分析。
表1 扭轉(zhuǎn)剛度修正系數(shù)Tab.1 Correction factors of torsional stiffness )
曲線懸臂梁的平面布置如圖4所示,選取兩個(gè)截面尺寸分別為20cm(高)×20cm(寬)和20cm×10cm,E=3.45×107kN/m2,G=1.725×107kN/m2,在懸臂梁末端施加豎向單位力P =1kN。實(shí)體有限元模型利用有限元軟件ABAQUS[19]建立,模型采用網(wǎng)格細(xì)化的三次高階單元(C3D20R)以保證模型的計(jì)算準(zhǔn)確度(圖5)。
表2 扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力修正系數(shù)λTab.2 Correction factors of torsional shear (λ)
圖4 曲線懸臂梁平面
圖5 曲線懸臂梁的實(shí)體單元模型
圖6 曲線懸臂梁沿梁長(zhǎng)的撓度和扭轉(zhuǎn)角的對(duì)比
(1) 曲梁是典型的空間結(jié)構(gòu),具有彎扭耦合特性,受力狀態(tài)較復(fù)雜。對(duì)于曲梁結(jié)構(gòu)的分析,與解析解法、實(shí)體單元模型和直梁?jiǎn)卧P拖啾?,采用空間曲梁?jiǎn)卧P妥罘锨赫鎸?shí)的幾何和受力特點(diǎn),分析方法具有較高的準(zhǔn)確度和效率。
(6) 與本文研究?jī)?nèi)容相關(guān)的,空間曲梁?jiǎn)卧P筒捎梅謱臃ㄟM(jìn)行非線性受力性能分析時(shí),單元的分層數(shù)需不少于4層(減縮積分),每個(gè)單元對(duì)應(yīng)的圓心角不大于6°,以保證獲得準(zhǔn)確的彎剪扭受力性能。
[1] 王勖成.有限單元法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2003.(WANG Xu-cheng.FiniteElementMethod[M].Beijing:Tsinghua University Press,2003.(in Chinese))
[2] 朱伯芳.有限單元法原理與應(yīng)用(第三版)[M].北京:中國(guó)水利水電出版社,2009.(ZHU Bo -fang.PrincipleandApplicationofFiniteElementMethod(3r dEdition) [M].Beijing:China Water & Power Press,2009.(in Chinese))
[3] Kwon Y W,Bang H.TheFiniteElementMethodUsingMATLAB [M].CRC Press,2000.
[4] 石志源.橋梁結(jié)構(gòu)電算(第二版)[M].北京:人民交通出版社,2010.(SHI Zhi-yuna.ComputingforBridgeStructures(2n dEdition) [M].Beijing:China Communications Press,2010.(in Chinese))
[5] Cowper G R.The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory[J].JournalofAppliedMechanics,1966,33(2):335-340.
[6] Whitney J M.The effect of transverse shear deformation on the bending of laminated plates[J].JournalofCompositeMaterials,1969,3(3),534-547.
[7] Shabana A A,Yakoub R Y.Three dimensional abso -lute nodal coordinate formulation for beam elements:Theory [J].JournalofMechanicalDesign,2001,123(4):606-613.
[8] Murín J,Aminbaghai M,Kuti? V,et al.A new 3D Timoshenko finite beam element including non-uniform torsion of open and closed cross sections [J].EngineeringStructures,2014,59:153-160.
[9] 張永信.計(jì)及彎扭耦合效應(yīng)的空間梁桿結(jié)構(gòu)計(jì)算分析方法[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué),2017.(ZHANG Yong-xin.The Calculation and Analysis Method of Spatial Beam Structure Considering Bending and Torsion Coupling Effect [D].Harbin Institute of Technology,2017.(in Chinese))
[10] 宋子康,蔡文安.材料力學(xué)[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2005.(SONG Zi-kang,CAI Wen-an.MechanicsofMaterials[M].Shanghai:Tongji University Press,2005.
[11] Ferguson G H,Clark R D.A variable thickness,curved beam and shell stiffening element with shear deformations [J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,1979,14(4):581-592.
[12] 何 志,陳建芳,李 偉,等.考慮剪切變形的開(kāi)口薄壁桿單元扭轉(zhuǎn)剛度矩陣[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,38(4):795-800.(HE Zhi,CHEN Jian-fang,LI Wei,et al.Torsional stiffness matrix of open thin-walled beam element considering torsional shear deformation [J].JournalofGuangXiUniveristy(NaturalScienceEdition),2013,38(4):795-800.(in Chinese))
[13] 劉 建,陳 勇,曹 洲,等.基于一階薄壁梁理論的開(kāi)口截面剪應(yīng)力不均勻系數(shù)的精確計(jì)算[J].工業(yè)建筑,2015,45(10):155-160.(LIU Jian,CHEN Yong,CAO Zhou,et al.Accurate calculation of the shear stress non-uniform coefficient on the open section based on the first-order thin-walled beam theory [J].IndustrialConstruction,2015,45(10):155-160.(in Chinese))
[14] 宋泰宇.混凝土曲線箱梁橋極限狀態(tài)分析理論及方法 [D].同濟(jì)大學(xué),2019.(SONG Tai-yu.Analysis and Calculation Methods of Curved Reinforced and Prestressed Concrete Box-section Girder Bridges [D].Tongji University,2019.(in Chinese))
[15] 邵容光,夏 淦.混凝土彎梁橋[M].北京:人民交通出版社,1994.(SHAO Rong-guang,XIA Gan.CurvedConcreteGirderBridge[M].Beijing:China Communications Press,1994.(in Chinese))
[16] 孫光華.曲線橋梁計(jì)算[M].北京:人民交通出版社,1995.(SUN Guang-hua.CalculationsofCurvedBridges[M].Beijing:China Communications Press,1995.(in Chinese))
[17] 于海祥,武建華,李仁佩.對(duì)矩形截面桿彈性自由扭轉(zhuǎn)的探討[J].力學(xué)與實(shí)踐,2007,29(2):73-74.(YU Hai-xiang,WU Jian-hua,LI Ren-pei.Discussions of elastic torsion in rectangular section beam [J].Me-chanicsinEngineering,2007,29(2):73-74.(in Chinese))
[18] 程昌鈞.彈性力學(xué)[M].蘭州:蘭州大學(xué)出版社,1996.(CHENG Chang-jun.Elasticity[M].Lanzhou:Lanzhou University Press,1996.(in Chinese))
[19] SIMULIA.Abaqus User’s Manual 6.11 [S].Providence,RI,2011.