閔光云，劉小會*,，孫測世，蔡萌琦

(1.重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074；2.重慶交通大學 省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶 400074；3.成都大學 建筑與土木工程學院，成都 610106)

1 引 言

隨著我國電網(wǎng)的快速發(fā)展，輸電線的舞動已經(jīng)引起很多學者的關注，實際上輸電線的跨徑遠大于其直徑，因此其屬于柔性索結構。Irvine[1]首先對懸索結構的靜力學、線性和非線性動力學進行了研究，并提出了重要的Irvine參數(shù)。Perkins[2]將外部激勵分為兩種，即參數(shù)激勵和周期激勵，并研究了兩自由度彈性懸索模態(tài)之間的相互作用。Rega[3]首先從理論方面系統(tǒng)地闡述了懸索的力學建模、響應和非線性現(xiàn)象，接著從實驗方面進行驗證，證明了其研究成果的正確性，給予實際工程一些參考。Lilien等[4]分析了單導線、二分裂導線、三分裂導線和四分裂導線的實測舞動數(shù)據(jù)，得到一些有價值的成果。

針對懸索結構的研究，國內學者也做出許多貢獻。晏致濤等[5]基于空間曲梁理論建立了節(jié)點6自由度導線有限元模型，并采用Newton-Raphson迭代法進行靜力非線性求解，得到一些很有意義的結論。肖一等[6]在已有的研究基礎上，考慮了彎曲剛度對懸索的影響，并修改了已有文獻中沒有考慮抗彎剛度的誤差。趙躍宇等[7]根據(jù)Hamilton變分原理，推導了考慮抗彎剛度的三維非線性動力學方程，然后利用多尺度法分析了斜拉索可能的內共振模式，并用數(shù)值方法研究了彎曲剛度對內共振的影響。呂建根等[8]基于拉索和橋梁連接處的變形協(xié)調條件，采用Hamilton變分原理建立了索-梁結構耦合的非線性偏微分方程，運用Galerkin離散法和多尺度法研究了梁主共振情形下索-梁結構的 1∶1相互作用。

本文首先建立了覆冰導線三自由度動力學方程，接著應用兩種不同的方法離散動張力應變，最后利用Galerkin法將非線性偏微分方程轉化為常微分方程。通過風洞試驗測得四分裂導線的氣動力系數(shù)，并得到了四分裂導線中心軸處的氣動力系數(shù)，最后系統(tǒng)地研究了導線的舞動特性，并考察了兩種不同的離散方法對覆冰導線舞動特征的影響。

2 三自由度舞動方程

2.1 單檔導線數(shù)學模型

建立圖1所示的單檔導線數(shù)學模型，導線兩端用固定鉸鏈約束，選取左端懸掛點為坐標原點建立笛卡爾空間坐標系O-x-y-z。圖中u1,u2和u3分別為x，y和z軸方向的動態(tài)位移。

由于覆冰的作用，導線的橫截面不再是規(guī)則的圓形，因此其質心不再是圓心。哈密頓變分原理隸屬于能量法，其本質是系統(tǒng)能量的守恒，盡管導線由于覆冰的影響會發(fā)生偏心轉動，但是哈密頓原理亦非常適用于舞動方程的推導。由哈密頓變分原理可得

(1)

式中kv為系統(tǒng)的動能，Π為系統(tǒng)的勢能，w為系統(tǒng)非保守力做功。

動能、勢能以及非保守力做功分別為

(2)

式中 圓點為對時間t求導，Sz和Sy為靜矩，EI為抗彎剛度，EA為抗拉剛度，GIP為扭轉剛度，ε為拉應變，J為轉動慣量，θ為扭轉角，ui為動態(tài)位移，εθ為扭轉應變，pi和pθ為外部激勵力，ci和cθ為阻尼系數(shù)，T為靜態(tài)張力，l為跨徑。

圖1 單檔導線數(shù)學模型

將式(2)代入式(1)，且只考慮導線豎向、橫向和扭轉方向的耦合振動，則可得

(3a)

(3b)

(3c)

2.2 直接離散法

針對動張力應變的處理，不同的學者有不同的習慣。文獻[9-12]選擇直接離散法，即直接應用一階模態(tài)截斷法與Galerkin法將偏微分方程轉化為常微分方程。詳細步驟如下。

首先將動態(tài)位移表示為振動函數(shù)與模態(tài)函數(shù)的乘積，即

u2(x,t)=Ψ2(x)q2(t)

(4a)

u3(x,t)=Ψ3(x)q3(t)

(4b)

θ(x,t)=Ψθ(x)qθ(t)

(4c)

式中Ψ2，Ψ3和Ψθ為模態(tài)函數(shù)，q2，q3和qθ為振動函數(shù)。

接著將式(4)代入式(3)，可得

(5a)

(5b)

(5c)

式(5)中一瞥表示對位移x求導，且其中

(6)

對式(5a)使用Galerkin法可得

(7a)

對式(5b)使用Galerkin法可得

(7b)

對式(5c)使用Galerkin法可得

(7c)

式(7)即為直接離散法所得的覆冰導線三自由度耦合舞動方程。

2.3 間接離散法

文獻[13-15]認為覆冰導線x軸方向的振動比較微弱，因此可忽略覆冰導線x軸方向所受慣性力，基于這種思想可以將式(3)的動張力應變等效處理，等效后的應變?yōu)?/p>

(8)

接著可將式(3)轉變?yōu)?/p>

(9a)

(9b)

(9c)

將式(4)代入式(9a)，使用Galerkin法可得

(10a)

將式(4)代入式(9b)，使用Galerkin法可得

(10b)

將式(4)代入式(9c)，使用Galerkin法可得

(10c)

式(10)為間接離散法所得覆冰導線的三自由度耦合舞動方程。

2.4 氣動荷載數(shù)學模型

建立氣動載荷分析數(shù)學模型如圖2所示，覆冰冰型為新月形，F(xiàn)L為氣動升力，F(xiàn)D為氣動阻尼，U為平均風速，Ur為相對風速，D為導線直徑。

P2為使用Galerkin法后豎向的氣動載荷，P3為使用Galerkin法后橫向的氣動載荷，Pθ為使用Galerkin法后扭轉方向上的氣動載荷，且

(11a)

(11b)

(11c)

Cy(α)=α1α+α2α2+α3α3

(12a)

Cz(α)=β1α+β2α2+β3α3

(12b)

CM(α)=γ1α+γ2α2+γ3α3

(12c)

圖2 覆冰導線橫截面及相對流場

αi,βi以及γi可通過風洞試驗測得，與初始轉角、扭轉角以及相對風速有關。

聯(lián)立式(11,12)得

(13a)

(13b)

(13c)

將式(13)代入式(7)可得直接離散法下新的覆冰導線三自由度舞動方程為

(14)

同理，將式(13)代入式(10)可得間接離散法下新的覆冰導線三自由度舞動方程為

(15)

3 數(shù)值算例

覆冰導線的氣動力系數(shù)是分析覆冰導線舞動特征的重要參數(shù)，式(12)也驗證了這一點。為了獲取新月型覆冰導線的氣動力系數(shù)，進行了風洞試驗。試驗的主要對象是覆冰四分裂導線，通過試驗可測得覆冰四分裂導線每一根子導線的氣動力系數(shù)，接著采用合適的方法可得到覆冰四分裂導線中心軸處的等效氣動力系數(shù)，如圖3所示。

可以看出，當攻角α在40°～120°以及160°～180°時覆冰四分裂導線的等效氣動升力系數(shù)曲線具有負斜率，此時導線極易發(fā)生舞動[16，17]。選取攻角為55°時的三分力氣動系數(shù)，并將其α=0處進行泰勒展開，可得到三次擬合曲線，即

Cy=-0.96060α-1.40716α2+97.62315α3

(16a)

Cz=2.39795α-7.00826α2-119.95612α3

(16b)

CM=2.6744α+22.30868α2-132.0081α3

(16c)

覆冰物理參數(shù)列入表1。將表1的物理參數(shù)代入覆冰導線的三自由度舞動方程，結合氣動力系數(shù)與Runge -Kutta法可得到直接離散法與間接離散法下覆冰導線的位移響應曲線，如圖4和圖5所示。

可以看出，兩種離散方法所得的位移響應曲線有一定程度的區(qū)別，其中扭轉方向的位移響應曲線區(qū)別最為明顯。覆冰導線主要的位移響應表現(xiàn)為面內的豎向位移，即面外的位移很小，這與已有文獻的研究結果一致。

圖3 氣動力系數(shù)

表1 導線的物理參數(shù)

圖4 直接離散法下的位移響應

圖5 間接離散法下的位移響應

為了更清楚地比較兩種離散方法下位移響應曲線的區(qū)別，選取覆冰導線處于穩(wěn)態(tài)狀態(tài)時的數(shù)據(jù)得到局部位移響應曲線，如圖6所示。

圖6 局部位移響應

可以看出，在面內、面外以及扭轉這三個方向上，間接離散法所得的位移響應皆比直接離散法所得的位移響應大，扭轉方向的差異尤為明顯；兩種離散方法下所得的頻率、相位以及振幅都有一定的差別。因此針對具體的覆冰導線進行舞動特征分析時，選擇哪一種離散方法較切合實際情況值得考究，離散方法的不同可能導致理論結果與實際工況存在一定的誤差，這是一個值得注意的現(xiàn)象。

4 結 論

(1) 直接離散法與間接離散法所得的舞動方程的系數(shù)表達式存在一定的差異，系數(shù)存在差異會導致位移響應存在區(qū)別。

(2) 直接離散法與間接離散法對覆冰導線的頻率、相位以及幅值都有一定程度的影響，且在扭轉方向上，選擇不同的離散方法所得的幅值差別較大。

(3) 針對具體的覆冰導線進行舞動特征分析時，離散方法的不同可能會導致理論結果與實際工況存在差異，這是一個值得注意的現(xiàn)象。