楊蕾璟，趙九峰，李劍

（河南省特種設(shè)備安全檢測(cè)研究院，鄭州 450000）

引言

如果一橫向力作用在軸上（材料力學(xué)里稱為梁），橫截面上除了彎矩外，還有剪力存在，這時(shí)橫截面上不僅有彎曲正應(yīng)力，還有彎曲切應(yīng)力[1]。根據(jù)材料力學(xué)可知，細(xì)長(zhǎng)軸的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力，切應(yīng)力對(duì)于強(qiáng)度的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于正應(yīng)力，因而在強(qiáng)度計(jì)算中，一般不校核切應(yīng)力；當(dāng)橫向力靠近支座時(shí)，軸的最大彎矩減小，相應(yīng)的正應(yīng)力也比較小，由橫向力引起的彎曲切應(yīng)力增大，此時(shí)應(yīng)校核彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度。

圖1 受橫向力軸

摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的標(biāo)志性大型游樂設(shè)備，它的轉(zhuǎn)盤上吊掛著承載游客的轎廂，轉(zhuǎn)盤在驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的摩擦作用下，繞中心主軸旋轉(zhuǎn)，掛在轉(zhuǎn)盤外圈的轎廂隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，乘客可在轎廂內(nèi)俯瞰四周景色[2]。主軸作為摩天輪中最重要的零部件之一，幾乎承載著整個(gè)運(yùn)行結(jié)構(gòu)的全部重量，其力學(xué)性能決定著摩天輪的安全性[3]。

本文將從力學(xué)理論方面講解彎曲切應(yīng)力的推導(dǎo)過程，給出了彎曲切應(yīng)力的詳細(xì)推導(dǎo)公式，以42 m摩天輪為工程背景，計(jì)算摩天輪主軸的彎曲切應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力，對(duì)其進(jìn)行安全校核分析，并通過ANSYS Workbench仿真平臺(tái)對(duì)摩天輪主軸進(jìn)行有限元仿真分析。使用有限元分析和工程計(jì)算相結(jié)合的方法，為摩天輪主軸的應(yīng)力計(jì)算和安全性分析提供了理論依據(jù)[4]。

1 軸強(qiáng)度分析

1.1 彎曲切應(yīng)力解析

軸（梁）受一橫向載荷F，橫截面為矩形，寬為b，高為h。用橫截面m-m，n-n從軸中截取dx一段，如圖1所示。

兩橫截面均有剪力和彎矩，其中剪力為FS，左側(cè)截面彎矩M，右側(cè)截面彎矩M+dM，彎矩產(chǎn)生正應(yīng)力σ，剪力產(chǎn)生切應(yīng)力τ，如圖2所示。

圖2 軸微段載荷示意圖

圖3 軸微段截開

現(xiàn)假設(shè)用一水平截面將微段軸截開，并保留下部脫離體，由于脫離體側(cè)面上存在豎向切應(yīng)力τ，根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知[5]，在脫離體頂面上一定存在切應(yīng)力τ′，且τ=τ′，如圖3（a）所示。以FN1、FN2分別代表作用在脫離體左側(cè)面、右側(cè)面上法向內(nèi)力的總和，dFS代表水平截面上剪切力，如圖3（b）所示。

面積A1對(duì)中性軸z的靜矩[5]：

式中：

A1—橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積，單位：mm2。

脫離體橫截面的彎曲正應(yīng)力[5]：

式中：

M—脫離體橫截面上的彎矩，單位：N·mm；

Iz—截面對(duì)中性軸z的慣性矩，單位：mm4；

dA—脫離體橫截面上的微元面積，單位：mm2。

脫離體左側(cè)面法向力總和：

聯(lián)立公式（1）、（3）可得：

同理可得：

由于微段的長(zhǎng)度很小，脫離體水平截面上的微剪切力可認(rèn)為是均勻分布，所以有：

有軸向靜力平衡可得：

公式（4）～（6）代入公式（7）可得：

整理后，可得：

又橫截面上的剪力：

聯(lián)立公式（9）、（10），由切應(yīng)力互等定理可得彎曲切應(yīng)力[6]：

對(duì)于矩形截面，在式中截面寬度b為常數(shù)，而中性軸任一邊的半個(gè)橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩為最大，所以中性軸上各點(diǎn)處的切應(yīng)力最大[7]。

1.2 圓截面軸的彎曲切應(yīng)力

對(duì)于實(shí)心圓截面軸，由切應(yīng)力互等定理可知，在截面邊緣上各點(diǎn)處切應(yīng)力τ的方向必與圓周相切，而在與對(duì)稱軸y相交的各點(diǎn)處，由于剪力、截面圖形和材料物性均與y軸對(duì)稱，其切應(yīng)力必沿 方向，如圖4所示。

可以假設(shè)：

1）沿寬度kk'上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均交匯于o'點(diǎn)，如圖4（a）所示；

2）各點(diǎn)處切應(yīng)力沿y方向的分量沿寬度相等。

圓截面的最大切應(yīng)力τmax在中性軸的各點(diǎn)處，由于在中性軸兩端處切應(yīng)力的方向均與圓周相切與外力所在平面平行，故中性軸上各點(diǎn)處的切應(yīng)力方向均與外力所在平面平行，且中性軸上各點(diǎn)切應(yīng)力相等。

半圓截面的靜矩[8]：

圓截面慣性矩（b=d）[7]：

圓截面的面積：

由公式（11）～（14）可得圓截面內(nèi)的最大彎曲切應(yīng)力：

1.3 安全性評(píng)價(jià)

對(duì)于橫力彎曲下的軸，其橫截面上一般既有彎矩又有剪力。軸上最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，而最大的切應(yīng)力發(fā)生在剪力最大的橫截面軸上中性軸的各點(diǎn)處。因此，正應(yīng)力和切應(yīng)力無需合成計(jì)算，應(yīng)分別校核軸的正應(yīng)力σmax和切應(yīng)力τmax。

圖4 圓截面軸

根據(jù)《工程力學(xué)》中的計(jì)算公式，軸的最大彎曲正應(yīng)力為[7]：

式中：

W—橫截面上的抗彎截面系數(shù)，單位：mm3。

由GB 8408-2018《大型游樂設(shè)施安全規(guī)范》中6.2.2[9]：零部件進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算，材料的極限應(yīng)力與其承受的最大應(yīng)力的比值為安全系數(shù)，重要的軸、銷軸的安全系數(shù)n≥5.0。

切應(yīng)力安全系數(shù)：

正應(yīng)力安全系數(shù)：

2 摩天輪主軸計(jì)算

2.1 理論計(jì)算

摩天輪的總高度為42 m。輪外將裝掛24個(gè)透明吊廂，每個(gè)吊廂可乘坐4個(gè)人，可同時(shí)供96人觀光[3]。大盤的直徑為37 m，滿載總質(zhì)量m=5.0×104kg（含乘客），忽略振動(dòng)系數(shù)和沖擊系數(shù)的影響，即主軸的工作載荷F=5.0×104×9.8=4.9×105N。主軸的直徑d=200 mm（抗彎截面系數(shù)W=785 398 mm3），軸的材料為45鋼，調(diào)質(zhì)熱處理，抗拉強(qiáng)度σb=650 MPa[10]，摩天輪主軸裝配簡(jiǎn)圖如圖5所示。

由于前期的設(shè)計(jì)過程中摩天輪主軸的結(jié)構(gòu)尺寸、軸上各零件位置及外載荷和支反力作用位置均已確定，把主軸當(dāng)做置于鉸鏈支座上的梁，支反力的作用點(diǎn)即軸的支撐點(diǎn)，兩支撐點(diǎn)的距離L=2 700 mm，外載荷作用點(diǎn)間距l(xiāng)=2 400 mm。忽略沖擊系數(shù)及風(fēng)載荷的影響，軸的力學(xué)模型如圖6所示。

主軸的剪切力：

主軸的橫截面積：

由公式（15）得主軸的彎曲切應(yīng)力：

主軸的彎矩：

由公式（16）得軸的彎曲正應(yīng)力為：

由公式（17）得主軸的彎曲切應(yīng)力安全系數(shù)：

由公式（18）可得軸的彎曲應(yīng)力安全系數(shù)：

軸的應(yīng)力安全系數(shù)大于5.0，表明軸滿足使用要求。

3 有限元計(jì)算

對(duì)主軸進(jìn)行有限元靜力學(xué)分析，可以得到主軸在靜態(tài)載荷下的變形和應(yīng)力分布情況，并可預(yù)知主軸的薄弱位置[11]，利用ANSYS Workbench有限元分析軟件，采用10節(jié)點(diǎn)的實(shí)體單元（SOLIDl87），控制單元尺寸，建立的摩天輪主軸的有限元模型，主軸兩端安裝在支座上，安裝部位約束徑向位移，大盤與主軸通過軸承連接，連接部位分別施加豎向向下2.45×105N的壓力。載荷與約束如圖7所示。

圖5 摩天輪主軸裝配簡(jiǎn)圖

圖6 摩天輪主軸力學(xué)模型

在壓力作用下對(duì)主軸進(jìn)行靜力分析，求解成功后進(jìn)入后處理，得到彎曲切應(yīng)力最大值τmax=10.6 MPa，彎曲應(yīng)力最大值σmax=46.1 MPa。計(jì)算結(jié)果應(yīng)力云圖如圖8所示。

有限元計(jì)算結(jié)果與理論解的對(duì)比見表1，有限元解與理論解的誤差小于1 %，表明了載荷施加和仿真過程的可靠性和正確性。

4 結(jié)論

隨著設(shè)計(jì)水平的不斷提高，大型摩天輪的高度也從幾年前的十幾米、幾十米發(fā)展到現(xiàn)在的上百米[3]。主軸作為摩天輪中關(guān)鍵的零部件，用來承受摩天輪運(yùn)行中的重力載荷和沖擊載荷等，主軸一旦因應(yīng)力安全系數(shù)不足而發(fā)生嚴(yán)重的變形甚至斷裂，則會(huì)嚴(yán)重威脅乘人的生命安全，因此對(duì)摩天輪主軸的應(yīng)力計(jì)算和強(qiáng)度校核顯得尤為重要。

本文以42 m摩天輪為工程背景，利用分離體軸向靜力平衡推導(dǎo)縱向剖面切應(yīng)力，利用切應(yīng)力互等定理得到主軸彎曲切應(yīng)力的表達(dá)式，并對(duì)摩天輪主軸進(jìn)行力學(xué)理論計(jì)算和安全性校核分析，通過ANSYS Workbench仿真平臺(tái)對(duì)主軸進(jìn)行有限元仿真計(jì)算，仿真計(jì)算結(jié)果與力學(xué)理論計(jì)算結(jié)果一致，表明摩天輪主軸有足夠的強(qiáng)度來支撐整個(gè)轉(zhuǎn)盤，確保摩天輪安全運(yùn)行。其計(jì)算方法可為游樂設(shè)施主軸的計(jì)算分析提供參考，對(duì)提高游樂設(shè)施的設(shè)計(jì)能力和安全性具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義[12]。

圖7 摩天輪主軸載荷

圖8 計(jì)算結(jié)果

表1 摩天輪主軸有限元解與理論解對(duì)比