張樹義，張芯語

（渤海大學數(shù)理學院，遼寧 錦州 121013）

1 預備知識

Istratescu 等[1]引入并研究了非阿基米德Menger概率度量空間和一些拓補性質。隨后許多人在非阿基米德Menger 概率度量空間建立了一些不動點存在性定理[2?18]。文獻[12,19 ? 20]研究了概率度量空間的度量化問題。文獻[21]在度量空間引入集值映象與單值映象對的調和概念，證明了一類調和映象對的公共不動點以及隨機不動點的存在性定理。本文的目的是在非阿基米德概率度量空間中建立一類積分型調和映象對公共不動點的存在性定理，從而改進和推廣以往的研究結果。

定義1[9]映象f:R=(?∞,+∞)→R+=[0,+∞)稱為分布函數(shù)，如果它是不減的，左連續(xù)的，

定義2[7 ? 8]設X是非空集，D為全體分布函數(shù)，F(xiàn):X×X→D,稱(X,F)為非阿基米德概率度量空間，若滿足下面條件（對x,y∈X,分布函數(shù)F(x,y)記為Fx,y，F(xiàn)x,y(t)表示Fx,y在t∈R的 值)：

1）Fx,y(t)=1,?t＞0,當且僅當x=y；

2）Fx,y=Fy,x,?x,y∈X；

3）Fx,y(0)=0,?x,y∈X；

4）若Fx,y(t)=1,Fy,z(s)=1，則Fx,z(max{t,s})=1,?x,y,z∈X。

定義3[9]映象?:[0,1]×[0,1]→[0,1]稱為三角范數(shù)，如果滿足以下條件：

1）?a∈[0,1],?(a,1)=a；

2）?a,b∈[0,1],?(a,b)=?(b,a)；

3）?a,b,c,d∈[0,1],若a≥b,c≥d,有?(a,c)≥?(b,d)；

4）?a,b,c∈[0,1],?(a,?(b,c))=?(?(a,b),c)。

定義4[7 ? 8]三元組(X,F,?)稱為非阿基米德Menger 概率度量空間，若(X,F)是一非阿基米德概率度量空間，?是滿足下列條件的 ??范數(shù)：

5）Fx,z(max{t,s})≥?,?t,s∈[0,+∞),?x,y,z∈X。

定義5[10]連續(xù)的三角范數(shù) ?稱為阿基米德的，如果?(t,t)＜t,?t∈(0,1)。

引理1[11]?為嚴格遞增的阿基米德三角范數(shù)的充分必要條件是

其中g:[0,1]→[0,+∞)連續(xù)，嚴格遞減，且g(1)=0,g(0)=+∞，g?1為g的偽逆，即g?g?1(t)=t，?t∈[0,+∞)。

引理2[12,13]設(X,F,?)為非阿基米德Menger概率度量空間，?為嚴格增的阿基米德三角范數(shù)，則?x,y,z∈X,?t＞0，有gFx,y(t)≤gFx,z(t)+gFz,y(t)，其中g滿 足引理1。

定義6[14]設(X,F,?)是具有連續(xù)三角范數(shù)的非阿基米德Menger 概率度量空間，(X,F,?)中序列{xn}收斂于x當且僅當對?ε ＞0,λ ＞0，存在N(ε,λ)∈N(正整數(shù)集)，使得n≥N，有gFxn,x(ε)＜g(1?λ)。

定義7[15]設(X,F,?)是具有連續(xù)三角范數(shù)的非阿基米德Menger 概率度量空間，(X,F,?)中序列{xn}稱為Cauchy 序列當且僅當對?ε ＞0,λ ＞0，存在N(ε,λ)∈N(正整數(shù)集)，使得?n,m≥N，有gFxn,xm(ε)＜g(1?λ)。(X,F,?)稱為完備的，如果每一Cauchy 序列{xn}在X中收斂。

設(X,d)是一度量空間，用CB(X)表示X的一切非空有界閉集的集合族，H表示CB(X)上的由度量d導出的Hausdorff 度量：

映象T:X→CB(X)稱為是連續(xù)的，如果xn→x時，有。由文獻[9]知，若(X,d)完備，則(CB(X),H)也是完備度量空間。

定義8[21]設(X,d)是一度量空間，映象f:X→X和T:X→CB(X)稱為調和的，如果對?x∈X，fT x∈CB(X)且當X中序列{xn}使得T xn→M∈CB(X)及f xn→ξ ∈M時，下面各極限存在且滿足：1）若存在N＞0，使得當n＞N時有d(f xn,f xn+1)≤H(T xn,T xn?1)，那么

定義9[19]設(X,F)是PM 空間，A是X中非空子集，則稱為A的 概率直徑，若，則稱A是概率有界的。

設(X,F,?)是非阿基米德Menger 概率度量空間，用W(X)表示X中一切非空閉的概率有界集合。表示由F導出的Hausdorff 概率度量

引理3[19]設(X,F,?)是Menger 概率度量空間，?連續(xù)，則W(X),F?,?是Menger 概率度量空間。

將引理3 證明稍做修改，易知下面引理4 成立。

引理4設(X,F,?)非阿基米德Menger 概率度量空間，?連續(xù)，則W(X),F?,?也是非阿基米德Menger 概率度量空間。

若(X,F,?)是非阿基米德Menger 概率度量空間，映象T:X→W稱為連續(xù)的，如果xn→x時，有

定義10設(X,F,?)是非阿基米德Menger 概率度量空間，映象f:X→X和T:X→W(X)稱為調和的，如果對?x∈X，fT x∈W(X)且當X中序列{xn}使得T xn→M∈W(X)及f xn→ξ ∈M時，下面各極限存在且滿足：1）=0；2）若存在N＞0，使得當n＞N時有那么

注1設(X,d)是一度量空間，對?x,y∈X,t＞0，在定義10 中取?1,?x∈(0,1]，則g(1)=0,g(0)=+∞，于是可得定義8。且(X,F,?)是完備的當且僅當(X,d)是完備的。若(X,d)是度量空間,則易知(X,F,?)是非阿基米德Menger 概率度量空間，其中?≥?1=min{a+b?1,0}，特別地可取?=min{a,b}，此時?≥?1=min{a+b?1,0}。是完備的當且僅當(CB(X),H)是完備的。又(X,d)是完備的，則(CB(X),H)也是完備的，于是由(X,d)完備性，則可推出(X,F,?)與W(X),,?是都完備的。

設h1={h|h:[0,+∞)→[0,+∞)，?t≥0，其中hn(t)表h(t)的n次 迭代函數(shù)}。

Φ1=Φ|Φ:[0,∞)5→[0,∞)對每一變量是非減連續(xù)的函數(shù)，?t∈[0,+∞),max{Φ(t,t,t,a1t,a2t)|a1,a2∈Z+,a1+a2=2}=h(t)滿足(h1)，其中 Z+表示非負整數(shù)集。

例1定義函數(shù)H:[0,∞)5→[0,∞)為H(t1,t2,t3,t4,t5)=kt1(0 ＜k＜1)，則H對每一變量是非減的函數(shù)，h(t)=kt，易知h∈h1，因此H∈H1。

引理5[21]設h∈h1，則h(t)＜t，?t＞0。

2 主要結果

定理1設(X,F,?)是完備的非阿基米德Menger 概率度量空間，?為嚴格增的阿基米德三角范數(shù)，f:X→X和T:X→W(X)是調和的連續(xù)映象，使得T(X)?f(X)，并且對?x,y∈X，t＞0，有

其中Φ ∈Φ1，ψ:R+=[0,+∞)→R+是勒貝格可積與可和的:?a,b∈R+，且,ε ＞0，再設對?x∈X，u∈T x，存在v∈Tu，使得

注2文中附加完備性是可以滿足的，例如當取注1 中的分布函數(shù)時,由(X,d)完備性,則可推出是完備的。又如由文獻[20]或文獻[19]定理4 知Menger 概率度量空間(X,F,?)，當?≥?1=min{a+b?1,0}可在X上定義度量d

使得(X,d)成為度量空間，且(X,F,?)是完備的(X,d)是完備的，進一步若(X,F,?)是完備Menger 概率度量空間，?≥?1=min{a+b?1,0}，由文獻[19]定理6 的推論知與(CB(X),H)均是完備的。

推論1設(X,F,?)是完備的非阿基米德Menger 概率度量空間，?為嚴格增的阿基米德三角范數(shù)，f:X→X和T:X→W(X)是調和的連續(xù)映象，使得T(X)?f(X)，并且對?x,y∈X，t＞0，有

其中是從[0,+∞)到自身的遞增函數(shù)且再設?x∈X，u∈T x，存在v∈Tu，使得,?t＞0f,T，則有公共不動點。

證明在定理1 中取ψ(t)=1,Φ(t1,t2,t3,t4,t5)=

設(X,d)是完備度量空間，對?x,y∈X，t＞0，在定理1 中取?1,?x∈(0,1]，?=min{a,b}，則g(1)=0,g(0)=+∞，由注1 易知(X,F,?)是完備非阿基米德Menger 概率度量空間，于是由定理1 可推出如下推論2 成立。

推論2設(X,d)是完備度量空間，f:X→X和T:X→W(X)是調和的連續(xù)映象，使得T(X)?f(X)，并且對?x,y∈X，滿足

其中Φ ∈Φ1，ψ:R+=[0,+∞)→R+是勒貝格可積與可和的：?a,b∈R+，，再設對?x∈X，?u∈T x，存在v∈Tu，使，則f,T有公共不動點。

下面我們對推論2 隨機化，得到積分型調和映象的隨機不動點定理。

設(?,A)是可測空間，A為 ?上的 σ?代數(shù)，B(X)表示度量空間X的一切Borel 子集的 σ?代數(shù)，φ:? →X稱為可測映象,若對X中任意開集B，φ?1(B)∈A。映象J:? →2X稱為可測映象，若對X中任意開集B，J?1(B)={ω ∈?;J(ω)∩B≠?}∈A。T:?×X→2X稱為隨機映象,若對任x∈X，T(·,x)是可測映象。

定理2設(X,d)是完備可分的度量空間，(?,A)是完全的可測空間，f:?×X→X，T:?×X→W(X)是兩連續(xù)隨機映象，對?ω ∈?，下列條件成立：(i)f(ω,·),T(ω,·)是調和的；(ii)T(ω,X)?f(ω,X)；(iii)對?x,y∈X，有