劉文霞,王榮杰,2,韓 冉,郜懷通

1(集美大學 輪機工程學院,廈門 361021)

2(福建省船舶與海洋重點實驗室,廈門 361021)

非線性科學是近些年來研究的熱點之一,Wang 等[1]將非線性系統(tǒng)應用于伺服電機的控制中,Zhang 等[2]應用超諧波響應分析法測試旋轉(zhuǎn)葉片受氣壓影響的形變程度,Zheng 等[3]運用非線性系統(tǒng)到分子動力學,充分說明了對非線性系統(tǒng)研究的重要性.自1963年Lorenz提出了第一個具有非線性動力學特性的混沌吸引子,即Lorenz 系統(tǒng).此后,學術界對混沌系統(tǒng)的研究逐漸深入.2020年,Peng 等將改進的返回結(jié)果映射法應用于混沌系統(tǒng)的參數(shù)估計,與經(jīng)典返回結(jié)果映射法相比節(jié)省了大量的運算時間[4].Zhuang 等[5]應用Jaya-Powell 算法估計Lorenz 混沌系統(tǒng)的參數(shù),為邊緣計算提供了便利.國外研究員用改進的粒子群算法估計基于混沌響應的永磁同步電動機模型參數(shù),并取得了良好的效果[6].

混沌是非線性系統(tǒng)中普遍存在的一種現(xiàn)象,它作為非線性動力系統(tǒng)的固有特性引起了極大的關注[7],尤其是混沌系統(tǒng)在生物醫(yī)學、保密通信以及信息科學等領域需求的推動下,致使許多國內(nèi)外研究者加入研究,并提出了大量的研究方法[8-10],但這些研究方法大多以參數(shù)已知為前提.在許多實際應用中,由于系統(tǒng)的復雜性等因素,導致系統(tǒng)參數(shù)在大多數(shù)情況下是無法確定的,為了降低在參數(shù)尋優(yōu)過程中的難度,需要對未知參數(shù)設置一定的范圍,所以對混沌系統(tǒng)中的未知參數(shù)進行有效評估成為混沌系統(tǒng)中的關鍵問題[11].對混沌系統(tǒng)中的未知參數(shù)進行有效評估實質(zhì)是多維復雜函數(shù)優(yōu)化問題,群體智能優(yōu)化算法對解決復雜函數(shù)優(yōu)化問題提出了有效的方案.例如:人工蜂群算法[12]、螢火蟲算法[13]、差分進化算法[14]、花朵授粉算法[15]、粒子群算法[16]等相繼被用于對混沌系統(tǒng)的參數(shù)估計,具有比傳統(tǒng)優(yōu)化算法更好的效果.

人工蜂群算法是仿生智能計算領域中一種十分典型的群體智能優(yōu)化算法,它是通過模仿蜜蜂的采蜜過程而得到的,主要特點是可以直接通過對局部候選解的優(yōu)劣進行比較,選出全局最優(yōu)值[17].相比其他群智能優(yōu)化算法,人工蜂群算法在處理多維問題及全局搜索方面所需參數(shù)較少,計算簡單,易于實現(xiàn)等優(yōu)點[18,19].故本文利用人工蜂群算法解決混沌系統(tǒng)中參數(shù)估計的問題.

1 混沌系統(tǒng)參數(shù)估計

定義m個參數(shù)的n維混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量估計值如式(1):

式(1)中,X=(x1,x2,···,xn)T∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量;θ=(θ1,θ2,···,θm)T∈Rm是系統(tǒng)未知參數(shù)向量;X0是系統(tǒng)的初始狀態(tài);F:Rn×Rm→Rn是給定的非線性向量函數(shù).

假設系統(tǒng)結(jié)構已知,當對系統(tǒng)參數(shù)進行估計時被估計系統(tǒng)可定義為式(2):

式(2)中,Y=(y1,y2,···,yn)T∈Rn是被估計系統(tǒng)中的狀態(tài)向量是系統(tǒng)估計參數(shù).

參數(shù)估計問題也可轉(zhuǎn)化為式(3):

式(3)中,N表示用于狀態(tài)變量的數(shù)據(jù)長度,xi和yi分別表示在其狀態(tài)變量下系統(tǒng)的真值和估計值.顯然,J(θ)是多維和多模非線性函數(shù),混沌系統(tǒng)具有動態(tài)不穩(wěn)定且對初始參數(shù)敏感的特性.因此,難以有效且準確地估計出混沌系統(tǒng)的參數(shù).而人工蜂群算法在處理多維問題上易于實現(xiàn),故本文采用人工蜂群算法并以式(3)為目標函數(shù)進行求解.基于人工蜂群算法的混沌系統(tǒng)參數(shù)估計框圖如圖1所示.首先,將原系統(tǒng)輸出的值x1,x2,···,xn和待估計系統(tǒng)輸出的值y1,y2,···,yn進行計算得到參數(shù)估計的誤差平方和J(θ);然后,將得到的J(θ)反饋到人工蜂群算法中生成新的估計值;最后,通過多次迭代調(diào)整估計值θ ?使優(yōu)化函數(shù)J最小.

圖1 混沌系統(tǒng)參數(shù)估計框圖

2 基于人工蜂群算法的混沌系統(tǒng)參數(shù)估計

2.1 人工蜂群算法

人工蜂群算法(Artificial Bee Colony algorithm,ABC)是一種通過模仿蜜蜂的采蜜過程而得到的優(yōu)化算法,它是由土耳其學者Karaboga 于2005年提出的用來解決多變量函數(shù)的優(yōu)化問題[20].通過對問題的局部尋優(yōu)行為,找到全局最優(yōu)值的過程.ABC 算法主要有初始化、雇傭蜂、觀察蜂和偵查蜂4 個階段.

初始化階段:ABC 算法在初始化階段,每只雇傭蜂會隨機產(chǎn)生一個食物源,每個食物源與待優(yōu)化解的個數(shù)SN一一對應,SN為蜂群規(guī)模,而每個待優(yōu)化解V(i)是一個n維的向量.即初始值生成公式如式(4):

式(4)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.Vmin(j)和Vmax(j)分別是第n維的最小值和最大值.rand表示0和1 之間的隨機數(shù).

雇傭蜂階段:在此階段,每只雇傭蜂通過搜索方程在其當前位置的附近生成新的食物源VEB(i),其搜索方程如式(5):

式(5)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.λ是?1 到1 之間的隨機數(shù),r是1 到SN之 間的任意整數(shù)且r≠i.

當?shù)玫叫碌氖澄镌碫EB(i),便對其進行評估且與舊的食物源V(i)進行比較.如果VEB(i)的適用性優(yōu)于V(i),則將VEB(i)替換V(i);否則保留V(i).

觀察蜂階段:當所有雇傭蜂搜索完成后,它們通過舞蹈分享保存的信息給觀察蜂.觀察蜂根據(jù)相應的概率在雇傭蜂傳遞的信息基礎上更新候選解,并評估其適應度選擇食物源.更新方程如式(6):

式(6)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.β是?1 到1 之間的隨機數(shù),k是1 到SN之間的任意整數(shù)且k≠i.

當?shù)玫叫碌氖澄镌碫OB(i),便對其進行評估且與更新的食物源V(i)進行比較.如果VOB(i)的適用性優(yōu)于V(i),則將VOB(i)替換V(i);否則保留V(i).

偵查蜂階段:為了防止陷入局部最優(yōu),對于連續(xù)klimit次沒更新的解由式(4)重新生成新的候選解代替它.

當?shù)玫叫碌暮蜻x解VSB(i),便對其進行評估且與原候選解V(i)進行比較.如果新候選解的適用性優(yōu)于原候選解,則替換它;否則保留原候選解.

ABC 算法的優(yōu)化流程圖如圖2所示.

2.2 基于人工蜂群算法的混沌系統(tǒng)參數(shù)估計法的實現(xiàn)

雖然ABC 算法在處理多維問題及全局搜索方面所需參數(shù)較少,計算簡單,易于實現(xiàn).但其收斂速度相對較慢,精度不高.

本節(jié)為充分利用搜索方程對蜂源進行搜索得到優(yōu)化解,引入了可選擇的概率p得到新的搜索機制,舍棄了概率計算和限制次數(shù)內(nèi)蜂群沒替換重新生成隨機蜂群的方法,算法的具體改進之處如下.

在雇傭蜂階段,改用搜索方程如式(7):

式(7)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.Vmin(j)和Vmax(j)分別是第n維的最小值和最大值.

在觀察蜂階段,引用了差分進化中變異[21]的方法.其搜索方程如式(8):

式(8)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.Vbest(j)是雇傭蜂求出的最優(yōu)值,r1和r2的取值范圍為1 到SN,但r1≠r2.?的取值范圍為?1 到1.

在偵查蜂階段,引用了概率p,如果p>rand,則用如下搜索方程更新如式(9):

式(9)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.k的取值范圍為1 到SN,?的取值范圍為?1 到1.

圖2 ABC 算法流程圖

本文ABC 算法的優(yōu)化步驟如算法1 所示.

算法1.本文ABC 算法1.初始化階段:設置最大迭代次數(shù)FEmax,蜜蜂個數(shù)為維度為n;由式(4)得到初始混沌系統(tǒng)的參數(shù)估計值,并通過式(3)計算得到估計參數(shù)轉(zhuǎn)化的函數(shù)值J1.While (符合終止條件)2.雇傭蜂階段:由式(7)更新參數(shù)估計值,并通過式(3)計算得到目標函數(shù)值J2;將當前最優(yōu)目標函數(shù)值J1和J2 進行比較,最小值即為最優(yōu)值,選出最優(yōu)值放于J1.3.觀察蜂階段:由式(8)更新參數(shù)估計值,并通過式(3)計算得到目標函數(shù)值J3;將當前最優(yōu)目標函數(shù)值J1和J3 進行比較,最小值即為最優(yōu)值,選出最優(yōu)值放于J1.4.偵察蜂階段:S N V(i,j)

比較概率p和rand的大小,根據(jù)比較結(jié)果決定是否更新參數(shù)估計值;由式(9)更新參數(shù)估計值,并通過式(3)計算得到目標函數(shù)值J4;將當前最優(yōu)目標函數(shù)值J1和J4 進行比較,最小值即為最優(yōu)值,選出最優(yōu)值放于J1.FE=FE+1迭代次數(shù) ;End

3 仿真分析

3.1 基準函數(shù)測試

為了驗證本文ABC 算法的有效性,將本文ABC 算法和ABC 算法及文獻[12]中的IABC 算法的優(yōu)化能力進行評估.分別采用了Sphere 函數(shù)、Griewank 函數(shù)、Ragstrigin 函數(shù)、Rosenbrock 函數(shù)、Ackley 函數(shù)、Schaffer 函數(shù)6 個標準的測試函數(shù)進行測試,測試函數(shù)的表達式、維度、搜索范圍及函數(shù)最優(yōu)值如表1所示[22].

將所有函數(shù)的最大迭代次數(shù)FEmax設置為100,各函數(shù)的收斂曲線如圖3所示.從各函數(shù)的收斂曲線圖可以看出,本文ABC 算法與ABC 算法及IABC 算法相比下降趨勢更快、坡度更陡、所用迭代次數(shù)更少,其函數(shù)f3、f5和f6尤為明顯.故本文ABC 算法相比ABC 算法和IABC 算法收斂速度更快,優(yōu)化效果更佳.這說明本文ABC 算法是可行的.

表1 標準測試函數(shù)

圖3 標準測試函數(shù)收斂曲線

3.2 Lorenz 系統(tǒng)參數(shù)估計

Lorenz 系統(tǒng)是最典型的混沌系統(tǒng)[23,24],這里以Lorenz 系統(tǒng)為例,驗證本文ABC 算法對混沌系統(tǒng)中未知參數(shù)估計的適用性.Lorenz 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如式(10):

未知參數(shù)的真實值a=10,b=28,c=8/3.以x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0為初始狀態(tài)值對系統(tǒng)進行仿真,設置采樣次數(shù)N=10 000.數(shù)值仿真采用四階Rayleigh-Benard法[25]來計算式(10)中每個整數(shù)點的變量值,步長h=0.01,混沌系統(tǒng)[26]如圖4所示.

圖4 Lorenz 混沌吸引子三維圖

在本文ABC 算法中,設置最大迭代次數(shù)FEmax=100,種群大小SN=20,混沌系統(tǒng)的未知參數(shù)范圍設置為:8 ≤a≤12,2 5 ≤b≤30和2 ≤c≤3.圖5是參數(shù)估計值在每次迭代中記錄的最優(yōu)解曲線圖.圖6是目標函數(shù)值在每次迭代中記錄的最優(yōu)解曲線圖.

圖5 參數(shù)估計值收斂曲線

圖6 目標函數(shù)值收斂曲線

由圖5和圖6仿真結(jié)果可以得出,本文ABC 算法的收斂性及穩(wěn)定性明顯優(yōu)于ABC 算法及IABC 算法.圖7、圖8和圖9分別是通過兩種算法得到的最優(yōu)估計參數(shù)值由式(10)得出的狀態(tài)變量估計值和真值之間的對比圖,其中誤差e(t)的方程如式(11).

式(11)中 δi(t)是分別是參數(shù)x(t)、y(t)、z(t)的真值,是分別是參數(shù)x(t)、y(t)、z(t)的估計值.

圖7 ABC 算法狀態(tài)變量

由圖7～圖9可見,圖9中真值和估計值曲線更趨近于重合尤其隨采樣次數(shù)的增大,重合度越高,而圖7中的真值和估計值曲線在隨采樣次數(shù)增大時有明顯的分叉現(xiàn)象,圖8的重合度相比于圖9較差,所以本文ABC 算法的趨近性明顯優(yōu)于ABC 算法和IABC 算法.參數(shù)a、b、c及目標函數(shù)的最優(yōu)值、最差值和平均值是由ABC 算法和本文ABC 算法及IABC 算法分別獨立運行30 次計算得到的平均值,記錄于表2.

圖8 IABC 算法狀態(tài)變量

由表2可以得出,在最優(yōu)值、最差值和平均值上由本文ABC 算法仿真得出的參數(shù)a趨近于10、參數(shù)b趨近于28、參數(shù)c趨近于8/3的效果明顯優(yōu)于由ABC 算法和IABC 算法仿真得出的參數(shù)趨近值.利用本文ABC 算法得出的目標函數(shù)值也明顯小于由ABC算法和IABC 算法得出的目標函數(shù)值,故本文ABC 算法在穩(wěn)定性及收斂速度上明顯優(yōu)于ABC 算法和IABC算法.

圖9 本文ABC 算法狀態(tài)變量

表2 文獻[14]ABC和本文ABC 算法參數(shù)估計結(jié)果

4 結(jié)論

針對人工蜂群算法收斂速度相對較慢,精度不高,本文首先引入了可選擇的概率p得到新的搜索機制;在此基礎上,將混沌系統(tǒng)中復雜的參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為多維問題,利用改進的人工蜂群優(yōu)化算法求解混沌系統(tǒng)的參數(shù).測試函數(shù)優(yōu)化實驗證了人工蜂群算法改進方案的有效性;Lorenz 混沌系統(tǒng)的參數(shù)辨識仿真實驗結(jié)果表明了本文的基于人工蜂群算法的混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識方法比傳統(tǒng)ABC 算法及IABC 算法具有更高的估計精度,且較快的收斂速度.