楊 陽，沈 洋，王靜嬌，刁志龍

(中國船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，南京 211153)

0 引 言

由于線性調(diào)頻信號(hào)經(jīng)脈沖壓縮后僅能獲得-13.2 dB的距離旁瓣，一般需要加窗函數(shù)來抑制旁瓣，從而導(dǎo)致脈壓后的信噪比降低、主瓣展寬。非線性調(diào)頻(NLFM)信號(hào)通過對(duì)功率譜進(jìn)行加權(quán)修正避免了脈壓時(shí)加窗造成的信噪比損失，近年來獲得了大量運(yùn)用[1]，多樣的設(shè)計(jì)優(yōu)化方法也應(yīng)運(yùn)而生。

NLFM信號(hào)的產(chǎn)生比線性調(diào)頻復(fù)雜，且模板眾多，很難用單一的數(shù)學(xué)模型描述。雷達(dá)實(shí)時(shí)基帶波形產(chǎn)生常常采用基于FPGA的DDS技術(shù)，該方法不僅輸出信號(hào)形式多樣，且穩(wěn)定性高[2]。對(duì)于少量的NLFM產(chǎn)生需求，一般采用查表法和CORDIC計(jì)算法：查表法將信號(hào)所有采樣點(diǎn)信息存于ROM中，同時(shí)也快速消耗存儲(chǔ)資源，難以存放大量NLFM信號(hào)；CORDIC計(jì)算法對(duì)NLFM信號(hào)特定的調(diào)頻函數(shù)或窗函數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，定制性強(qiáng)，當(dāng)引入新的信號(hào)模型時(shí)需要進(jìn)行針對(duì)性開發(fā)，同樣難以適應(yīng)參數(shù)化的批量產(chǎn)生需求。

本文以DDS技術(shù)為基礎(chǔ)，介紹了一種基于FPGA的NLFM信號(hào)參數(shù)化產(chǎn)生方法：從調(diào)頻函數(shù)曲線切入，提出了兩種曲線的線性擬合方法，并進(jìn)行了逼近誤差比較；在此基礎(chǔ)上從工程實(shí)際出發(fā)，對(duì)基于正弦、正切模板的NLFM信號(hào)分別進(jìn)行了脈壓效果評(píng)估。

1 NLFM信號(hào)線性逼近原理

在雷達(dá)系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的NLFM波形包含基于正弦和基于正切的波形。對(duì)于基于正弦的波形，時(shí)間與頻率的關(guān)系為

(1)

式中，T為脈沖寬度；B為信號(hào)帶寬；k為副瓣電平控制因子。

對(duì)于基于正切的波形，時(shí)間與頻率的關(guān)系為

f=Btan(2βt/T)/(2tanβ),-T/2≤t≤T/2

(2)

式中，β=tan-1α,0≤α≤∞，α為時(shí)間副瓣電平控制因子[3]。

基于兩類模板的NLFM信號(hào)調(diào)頻函數(shù)如圖1所示?？梢钥闯觯泄潭０宓恼{(diào)頻曲線硬件已難以直接實(shí)現(xiàn)，對(duì)于更為復(fù)雜的超越函數(shù)只能采用近似方法實(shí)時(shí)產(chǎn)生。

圖1 NLFM信號(hào)的調(diào)頻函數(shù)

目前在FPGA中，計(jì)算超越函數(shù)一般采用查表法、級(jí)數(shù)展開法、CORDIC法和分段線性逼近法等[4-5]：查表法將波形或調(diào)頻的所有采樣點(diǎn)信息存于本地查找表中，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，但對(duì)存儲(chǔ)資源消耗極大；級(jí)數(shù)展開法將超越函數(shù)近似展開為多階泰勒級(jí)數(shù)，實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜，對(duì)DSP資源提出了很高的要求；CORDIC法通過多次迭代能夠獲得很高的計(jì)算精度，且僅涉及簡(jiǎn)單的移位、加減運(yùn)算，非常適合FPGA使用，但針對(duì)不同NLFM模板必須進(jìn)行定制化開發(fā)，難以適應(yīng)參數(shù)化批量產(chǎn)生需求；分段線性逼近融合了查表法和一階多項(xiàng)式，實(shí)現(xiàn)過程更接近LFM信號(hào)，是計(jì)算超越函數(shù)的理想選擇。分段數(shù)越多，消耗的查找表資源越多，但近似的精度越高，因此該方法的核心問題是分段算法。相比于如文獻(xiàn)[6]提出的通過調(diào)節(jié)分段數(shù)來獲得確定的計(jì)算精度，批量的NLFM實(shí)時(shí)產(chǎn)生更希望以確定的分段數(shù)獲得滿足脈壓需求的計(jì)算精度。

1.1 分段線性逼近算法原理

線性逼近算法的原理是按照一定準(zhǔn)則，將函數(shù)f(x)劃分為若干區(qū)間，每個(gè)區(qū)間內(nèi)用一條線段近似逼近f(x)曲線，原理如圖2所示。

圖2 分段線性逼近原理

不論是OED_PWL法[6]還是2k等分法[7]，本質(zhì)上都是在x軸上將f(x)等分為若干區(qū)間，即xi+1-xi=l，l為常數(shù)。這些方法原理簡(jiǎn)單，但存在兩個(gè)問題：一是當(dāng)函數(shù)非單調(diào)時(shí)，在某些單調(diào)特性變化的區(qū)間，其近似誤差會(huì)大大增加，如圖3所示；二是這些方法未考慮函數(shù)本身性質(zhì)，對(duì)于快速變化的區(qū)間，其近似精度不高。

圖3 非單調(diào)區(qū)間誤差示意

1.2 改進(jìn)的分段線性逼近

針對(duì)上述問題，本文提出兩種改進(jìn)算法，以期在確定的分段數(shù)下獲得更高的近似精度。

(1)在區(qū)間等分法基礎(chǔ)上，通過對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行劃分，避免在特定單調(diào)性變化的區(qū)間出現(xiàn)近似精度大幅下降的情況，可稱為單調(diào)法，具體算法流程如圖4所示。

圖4 單調(diào)區(qū)間分段逼近流程

值得注意的是，由于NLFM信號(hào)本身在頻率和相位上是連續(xù)的，實(shí)際應(yīng)用時(shí)可不存儲(chǔ)系數(shù)bi，以進(jìn)一步壓縮存儲(chǔ)空間。

(2)從線性逼近的原理切入，一段曲線偏離直線的程度越大，用直線逼近曲線產(chǎn)生的誤差就越大，就需要采用更多的分段進(jìn)行逼近。曲率是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率，代表了曲線偏離直線的程度。曲率K(其倒數(shù)為曲率半徑ρ)的計(jì)算公式如下：

(3)

圖5說明了該方法的分段流程：首先對(duì)輸入函數(shù)進(jìn)行凹凸性判斷，當(dāng)曲線凹凸性不一致時(shí)，則對(duì)其進(jìn)行重新分段，直到區(qū)間內(nèi)凹凸性完全一致；然后求取函數(shù)曲率，并對(duì)其進(jìn)行積分；對(duì)曲率積分進(jìn)行等區(qū)間分段，確定分段端點(diǎn)；最后完成區(qū)間劃分和參數(shù)求取。該算法對(duì)曲率積分等分，可稱為曲率法。

圖5 曲率法分段逼近流程

1.3 算法性能驗(yàn)證

仍然以上述分別基于正弦和正切模板的NLFM信號(hào)為驗(yàn)證對(duì)象，測(cè)試兩類算法與理想曲線的均方根誤差，誤差單位為kHz，其中信號(hào)帶寬B為2 MHz，脈寬T為90 μs，正弦和正切波形的副瓣電平控制因子分別為k=0.8和α=2。

表1和表2分別給出了單調(diào)法和曲率法的誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果。可以看出，由于正弦較正切模板的NLFM信號(hào)調(diào)頻函數(shù)曲率大，曲率法相對(duì)單調(diào)法在正弦NLFM信號(hào)的逼近上有較為明顯的優(yōu)勢(shì)。當(dāng)分段數(shù)為21時(shí)，其逼近誤差比單調(diào)法小25%；隨著分段數(shù)增加，兩者差距減??；當(dāng)分段數(shù)為41時(shí)，兩類算法性能基本相當(dāng)。對(duì)于正切NLFM信號(hào)，由于調(diào)頻函數(shù)本身曲率較小，兩類算法的差異并不明顯。

表1 單調(diào)法均方根誤差(RMSE)

表2 曲率法均方根誤差(RMSE)

2 FPGA實(shí)現(xiàn)過程

2.1 實(shí)現(xiàn)方法

完成逼近算法設(shè)計(jì)后，本文采用Matlab和Vivado開發(fā)套件，在XilinxVirtex-7 FPGA上實(shí)現(xiàn)了所述算法的NLFM信號(hào)實(shí)時(shí)產(chǎn)生。Matlab對(duì)輸入調(diào)頻函數(shù)依照算法分段，并給出每個(gè)子區(qū)間的線性函數(shù)參數(shù)，形成.coe文件存儲(chǔ)于FPGA本地ROM中。FPGA在時(shí)序上依次讀取分段信息，完成NLFM產(chǎn)生。FPGA實(shí)現(xiàn)流程如圖6所示。

圖6 NLFM信號(hào)FPGA實(shí)現(xiàn)流程

該流程在LFM實(shí)現(xiàn)流程的基礎(chǔ)上增加了步進(jìn)控制器和ROM表，步進(jìn)控制器從ROM中讀取各子區(qū)間的參數(shù)信息，包括區(qū)間長度和斜率，并隨時(shí)間實(shí)時(shí)調(diào)整頻率步進(jìn)控制字；最終相位信息輸入CORDIC，經(jīng)簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)后形成波形IQ信號(hào)輸出。

2.2 脈壓性能仿真

脈壓性能是雷達(dá)探測(cè)波形的一個(gè)核心指標(biāo)。下面采用線性逼近法產(chǎn)生的NLFM波形進(jìn)行脈壓，對(duì)逼近算法性能進(jìn)行評(píng)估。其中，帶寬B為2 MHz，脈寬T為90 μs，采樣率fs為100 MHz，分段數(shù)N=31，正弦和正切波形的副瓣電平控制因子分別為k=0.8和α=2。兩種方法對(duì)正弦、正切NLFM的逼近結(jié)果分別如圖7～10所示。

圖7 單調(diào)法逼近正弦NLFM波形脈壓

圖8 曲率法逼近正弦NLFM波形脈壓

圖9 單調(diào)法逼近正切NLFM波形脈壓

圖10 曲率法逼近正切NLFM波形脈壓

當(dāng)分段數(shù)N=31時(shí)，不論基于正弦或正切，采用單調(diào)法逼近的NLFM信號(hào)均表現(xiàn)出良好的脈壓特性，與理想脈壓結(jié)果幾乎完全一致；而采用曲率法逼近的正弦波形脈壓結(jié)果則在旁瓣產(chǎn)生了明顯的抬高，這是由于設(shè)計(jì)NLFM波形的窗函數(shù)在頻帶邊緣快速變化，使得邊緣頻帶在脈壓中權(quán)重較小；而曲率法則傾向在快速變化的頻段做密集的分段逼近，造成權(quán)重較高但變化緩慢的頻段逼近誤差較大。因此，調(diào)頻函數(shù)的逼近誤差并不能完全反映分段逼近算法優(yōu)劣，仍需以脈壓性能為最終考量。

3 結(jié)束語

本文介紹了NLFM波形逼近原理，并提出了基于等分法的兩種改良算法，計(jì)算了兩種算法的逼近誤差；同時(shí)闡述了基于FPGA的實(shí)時(shí)參數(shù)化產(chǎn)生流程，并以脈壓效果為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)算法進(jìn)行了評(píng)估。結(jié)果表明：雖然曲率法在逼近誤差方面性能優(yōu)于單調(diào)法，但在脈壓時(shí)曲率法會(huì)產(chǎn)生一定程度的旁瓣畸變；而單調(diào)法逼近的脈壓結(jié)果與理想結(jié)果幾乎一致，能夠應(yīng)用于工程。