盧克東 徐良驥 牛亞超

（安徽理工大學(xué)空間信息與測繪工程學(xué)院，安徽 淮南 232001）

現(xiàn)有研究表明，地表沉陷與地下土壤成分、巖石結(jié)構(gòu)、應(yīng)力變化等諸多因素有關(guān)［1-4］。為了更加精確地掌握地表下沉規(guī)律、地表形變狀態(tài)，并進(jìn)行精確預(yù)計(jì)，不少學(xué)者通過對礦區(qū)開采沉陷規(guī)律的研究提出了多種預(yù)計(jì)模型，其中主體模型可分為力學(xué)解析模型和時(shí)間函數(shù)模型。時(shí)間函數(shù)模型是礦區(qū)地表在資源開采之后下沉值隨時(shí)間變化而形成的“S”型模型，其下沉值隨時(shí)間的變化而變化，可以有效模擬地表下沉的最終狀態(tài)。能夠擬合礦區(qū)資源開采后地表下沉的曲線方程有多種，如Knothe函數(shù)、Logistic曲線、Richards曲線等。學(xué)者們研究發(fā)現(xiàn)，Knothe，Logistic等模型各有優(yōu)缺點(diǎn)，這些模型在礦區(qū)開采沉陷方面具有較好的適應(yīng)性［5-10］，但這些模型都具有固定的拐點(diǎn)，都只能準(zhǔn)確描述“S”曲線的某一部分，不能完整模擬地表沉降的全過程，與之相比，Richards模型具有4個(gè)參數(shù)，通過改變其中一個(gè)參數(shù)，能演化成上述所有模型方程或其過渡方程。文獻(xiàn)［11］研究表明，Richards曲線模型對實(shí)際地表下沉規(guī)律的擬合效果最好，預(yù)計(jì)精度最高［11］。

為了更加精確求解地表下沉值，建立更加符合地表下沉規(guī)律的動態(tài)預(yù)計(jì)模型，本研究提出了一種基于遺傳-粒子群算法（GA-PSO）［12-15］的Richards采煤工作面地表沉降動態(tài)預(yù)計(jì)模型，通過對其參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提高預(yù)計(jì)精度，并結(jié)合工程實(shí)例比較分析GA-PSO算法優(yōu)化Richards時(shí)間函數(shù)模型的精度及其適應(yīng)性。

1 Richards模型及參數(shù)估計(jì)

1.1 Richards函數(shù)模型

Richards函數(shù)增長模型最早用于描述生物數(shù)量的增長狀況，對于準(zhǔn)確反映生物數(shù)量的增長具有很強(qiáng)的適應(yīng)性［16］。Richards函數(shù)模型表達(dá)式為

式中，y(t)為地表某點(diǎn)在t時(shí)刻的下沉量，m；A為地表某點(diǎn)下沉的最大值，m；B為與初始值有關(guān)的參數(shù)；K為描述地表下沉快慢的參數(shù)；δ決定著曲線圖的走勢及拐點(diǎn)的位置；ε為隨機(jī)誤差。通常將式（1）、式（2）式稱為Richards生長曲線方程。

對（1）式求一階導(dǎo)數(shù)即為地表某點(diǎn)t時(shí)刻的下沉速度，可得，即y(t)為自變量t的增函數(shù)；對式（1）求二階導(dǎo)數(shù)即為地表某點(diǎn)t時(shí)刻的下沉加速度，令其二階導(dǎo)數(shù)為0，可得Richards曲線唯一一個(gè)拐點(diǎn)坐標(biāo)，即，y(t)=Am-1/δ。

1.2 Richards模型參數(shù)估計(jì)

由式（1）可以看出，Richards函數(shù)模型是一個(gè)具有4個(gè)參數(shù)的復(fù)雜非線性生長曲線方程。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及大量實(shí)測資料分析表明，Richards函數(shù)模型4個(gè)參數(shù)與礦區(qū)地質(zhì)條件密切相關(guān)。由文獻(xiàn)［11］可知，根據(jù)模型參數(shù)與礦區(qū)地質(zhì)條件的相關(guān)關(guān)系，作回歸分析可得：

式中，y(0)為初始時(shí)刻沉降值，m；c為工作面推進(jìn)速度，m/d；tanβ為主要影響角正切；m為采厚，m；H為采深，m；q為下沉系數(shù)；α為煤層傾角，（°）；d1、d2分別為沿走向和傾向的充分采動系數(shù)；k為系數(shù)，取值范圍為 2～3［17］。

Richards函數(shù)模型中表征地表下沉快慢的參數(shù)K、地表下沉曲線形狀參數(shù)δ及任意點(diǎn)最大下沉值A(chǔ)與煤層深厚比、覆巖軟硬程度、工作面推進(jìn)速度以及工作面是否重復(fù)采動等條件密切相關(guān)，可以結(jié)合礦區(qū)已知的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)或相鄰工作面的概率積分參數(shù)求出，再代入式（1），即可求得參數(shù)B。

上述Richards函數(shù)模型的3個(gè)預(yù)計(jì)參數(shù)根據(jù)礦區(qū)地質(zhì)條件的實(shí)測資料，通過式（3）求取一個(gè)相對值，雖然根據(jù)求取的相對值能夠大致符合地表下沉規(guī)律，但精度還有進(jìn)一步提高的空間。值得注意的是，礦區(qū)開采地表下沉初始時(shí)刻的臨界下沉值難以確定，根據(jù)《建筑物、水體、鐵路及主要井巷煤柱留設(shè)與壓煤開采規(guī)程》［18］，通常以10 mm作為初始時(shí)刻下沉值。時(shí)間基線的相對增加可以使初始時(shí)間段的下沉速度曲線相對平緩，為體現(xiàn)地表下沉全過程，避免初始時(shí)刻下沉臨界值設(shè)定過大而造成細(xì)節(jié)缺失，誤差增大，故選取零時(shí)刻下沉值為0.01 mm。最終下沉值A(chǔ)可以通過概率積分法或者實(shí)際測量值得到，至此Richards函數(shù)模型中的4個(gè)參數(shù)全部得出。

2 GA-PSO優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

遺傳算法（GA）具有全局搜索能力強(qiáng)、內(nèi)在隱并行性等特點(diǎn)，但容易早熟收斂，陷入局部最優(yōu)［19］。粒子群算法（PSO）是通過模擬鳥群覓食而發(fā)展起來的一種智能隨機(jī)搜索算法。與遺傳算法相比，多數(shù)情況下，PSO中的粒子能夠更快地搜索目標(biāo)，具有更快的收斂速度，但PSO又具有易發(fā)散、種群粒子多樣性差的不足。

GA和PSO具有共同之處，也有不同之處［20］，兩者都可隨機(jī)初始化種群，都使用適應(yīng)度值來評價(jià)系統(tǒng)，并且都可根據(jù)適應(yīng)度值來進(jìn)行一定的隨機(jī)搜索，但二者都不能保證一定得到最優(yōu)解。因此本研究將GA算法與PSO算法相結(jié)合，在GA算法中引入具有粒子群算法特征的參數(shù)，使具有優(yōu)良變化能力的GA加入PSO的記憶能力，改進(jìn)種群變異，使得整個(gè)種群向著全局最優(yōu)的方向快速收斂。

2.1 算法原理

在遺傳粒子群融合算法的粒子群算法模塊中，每個(gè)粒子都會具有速度和位置兩個(gè)基本特性。粒子會按照自身當(dāng)前最優(yōu)狀態(tài)和群體最優(yōu)狀態(tài)等因素的影響來調(diào)整自身參數(shù)。假設(shè)D維空間中每個(gè)粒子i第d次迭代后的更新速度和位置分別由表示，則每個(gè)粒子速度和位置迭代可分別由式（3）和式（4）實(shí)現(xiàn)：

式中，ω為慣性權(quán)重；c1和c2為加速度常數(shù)，分別表示個(gè)體學(xué)習(xí)因子和全局學(xué)習(xí)因子，是反映當(dāng)前粒子間相互學(xué)習(xí)與信息交流的因子，數(shù)值設(shè)定大小關(guān)系到粒子尋優(yōu)進(jìn)程的時(shí)間長短，一般設(shè)置范圍為c1=c2∈[1,2.5 ]，本研究設(shè)定c1=c2=1.35；pBesti表示粒子i的個(gè)體極值；gBest表示整個(gè)粒子群的全局極值。

慣性權(quán)重ω是PSO算法中另一個(gè)重要參數(shù)，體現(xiàn)了粒子改變前后階段迭代速度的能力。ω取值較大，有利于全局尋優(yōu)；取值較小，則有利于局部尋優(yōu)。典型的慣性權(quán)重選擇是慣性權(quán)重遞減策略，該策略可以簡便高效地提高算法的全局收斂性和收斂速度，并且具有較好的穩(wěn)定性。為平衡全局搜索能力和局部搜索能力，借鑒文獻(xiàn)［21］的研究方法引入權(quán)重：

式中，ωmax為最大慣性權(quán)重值；ωmin為最小慣性權(quán)重值；tmax為最大迭代次數(shù)；t為當(dāng)前迭代次數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)［21］，本研究ωmin=0.4，ωmax=0.95。

遺傳算法的主要特點(diǎn)是直接對結(jié)構(gòu)對象進(jìn)行操作，對于求解某些全局最優(yōu)的問題具有良好的魯棒性。本研究遺傳算法主要將表示模型參數(shù)的粒子作為基因遺傳的載體，即“染色體”。將“染色體”經(jīng)過一系列選擇，交叉、變異處理之后，從中選擇出符合約束條件的最優(yōu)個(gè)體，在滿足條件下更新個(gè)體與種群，從而得出最優(yōu)解。

2.2 初始種群的產(chǎn)生和編碼

隨機(jī)生成一個(gè)種群pop=100，并初始化速度Vmax=1，Vmin=-1，其中變量取值范圍自定義。為方便編碼，提高GA-PSO優(yōu)化解的精度，本研究直接將各個(gè)待優(yōu)化參數(shù)以實(shí)數(shù)形式編碼生成種群。設(shè)置染色體長度為4，交叉概率為0.6，變異概率為0.35，并根據(jù)需求確定Richards模型中各參數(shù)組成的適應(yīng)度函數(shù)。

2.3 GA和PSO融合執(zhí)行

遺傳粒子群融合算法是將需要優(yōu)化的參數(shù)作為要優(yōu)化的對象，需要優(yōu)化的粒子數(shù)目即參數(shù)個(gè)數(shù)。利用PSO算法的深度尋優(yōu)特性不斷更新粒子，并經(jīng)過速度更新、種群更新，選出相對較優(yōu)的種群，再使用遺傳算法對種群進(jìn)行處理。設(shè)置染色體的數(shù)量長度等于最終需要求取的優(yōu)化參數(shù)個(gè)數(shù)，對種群進(jìn)行交叉、變異處理，并計(jì)算適應(yīng)度值是否滿足條件，最終得出較為理想的結(jié)果。本研究遺傳算法與粒子群算法相結(jié)合的融合優(yōu)化算法流程如圖1所示。

3 模型精度評定

實(shí)踐證明，工作面上方某監(jiān)測點(diǎn)的下沉規(guī)律按照下沉速度與加速度可分為3個(gè)階段，分別為初始階段、活躍階段和衰退階段。為驗(yàn)證GA-PSO算法優(yōu)化的Richards模型在工程中的應(yīng)用效果，選取淮南某礦某一采煤工作面地表實(shí)際變形數(shù)據(jù)分析該模型的地表動態(tài)預(yù)計(jì)精度。

該工作面由于地下煤層開采而引起了煤層上方的厚松散層產(chǎn)生移動變形。工作面走向長1 336 m，傾向長230 m，地面標(biāo)高為22.3～23.1 m，工作面平均采深為959.7 m，煤層傾角約3°，煤層厚度約1.8 m。為研究工作面上方地表沉降變形規(guī)律，分別布設(shè)了一條走向線和一條傾向線，其中走向線長約2 986 m，傾向線長約1 919 m。

3.1 實(shí)例應(yīng)用與分析

試驗(yàn)中取工作面上方靠近邊緣走向線其中一點(diǎn)的各期下沉值進(jìn)行驗(yàn)證，經(jīng)過篩選以ml44號監(jiān)測點(diǎn)為例，該點(diǎn)位在不同開采時(shí)間下的地表下沉觀測值、GA-PSO優(yōu)化算法獲得的預(yù)計(jì)值及各期殘差值如表1所示。

由表1可知：m144號點(diǎn)的最大預(yù)計(jì)誤差出現(xiàn)在工作面推進(jìn)第195 d，最大殘差值為-8.4 mm，最小殘差為0.2 mm，平均誤差為3.4 mm，中誤差為4.31 mm。

ml44號點(diǎn)的實(shí)測值曲線與預(yù)計(jì)值曲線如圖2所示，該點(diǎn)的下沉速度和加速度預(yù)計(jì)值如圖3所示。

由圖2和圖3可知：基于遺傳粒子群算法優(yōu)化的Richards模型的下沉擬合曲線與實(shí)測值曲線基本重合，預(yù)計(jì)值與實(shí)測值的誤差較小，說明GA-PSO融合算法參數(shù)優(yōu)化擬合效果良好；預(yù)計(jì)下沉速度和加速度基本符合開采沉陷地表下沉規(guī)律，表明預(yù)計(jì)值有效。圖2和圖3中初始下沉速度和加速度均不為0，是初始時(shí)刻下沉值不為0所致。

3.2 有效性驗(yàn)證

為驗(yàn)證遺傳粒子群算法對參數(shù)優(yōu)化的有效性，將基于GA-PSO參數(shù)優(yōu)化得到的預(yù)計(jì)結(jié)果分別與工作面地表監(jiān)測點(diǎn)的實(shí)測值以及傳統(tǒng)遺傳算法、基于變步長FOA擬合法得到的預(yù)計(jì)值進(jìn)行了比較（表2），結(jié)果見表2。

由表2可知：基于GA-PSO參數(shù)優(yōu)化法得到的預(yù)計(jì)結(jié)果的相對誤差整體較小，其中最大相對誤差為6.42%，最小相對誤差為0.05%，小于其他兩種方法，表明GA-PSO參數(shù)優(yōu)化后的Richards模型預(yù)計(jì)精度較高。

模型參數(shù)的擬合誤差可進(jìn)行如下計(jì)算

式中，y(t) 為實(shí)測值；(t)為預(yù)計(jì)值；n為觀測期數(shù)。

經(jīng)計(jì)算，上述3種模型的擬合誤差及其中誤差見表3。

分析表3可知：基于GA-PSO參數(shù)優(yōu)化所構(gòu)建的模型預(yù)計(jì)誤差和中誤差均小于其余兩類方法，表明本研究構(gòu)建的Richards模型適應(yīng)度良好，非線性擬合相關(guān)性較高。

為進(jìn)一步分析新模型對本研究工作面地表其余觀測點(diǎn)的適用性，選擇了走向線和傾向線上分別位于工作面邊界附近、拐點(diǎn)附近、盆地中心部位數(shù)組質(zhì)量較好的監(jiān)測點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。模型預(yù)計(jì)值與相應(yīng)點(diǎn)位實(shí)測值的差值分布如圖4所示。

由圖4可知：當(dāng)開采時(shí)間進(jìn)入到150～350 d，開采工作面對觀測站監(jiān)測點(diǎn)影響較大，預(yù)計(jì)誤差增大。其中最大誤差出現(xiàn)在開采時(shí)間進(jìn)度為257 d時(shí)ml41號點(diǎn)，最大誤差為3.26 cm，主要是由于工作面推進(jìn)速度不一導(dǎo)致地表下沉速度增大發(fā)生突變所致。當(dāng)開采時(shí)間在350 d之后，監(jiān)測點(diǎn)數(shù)據(jù)受開采影響逐漸減小，觀測站趨于穩(wěn)定，后期觀測時(shí)間長，誤差有所減小。在觀測時(shí)間進(jìn)度為665 d時(shí)，實(shí)測值與預(yù)計(jì)值的最大誤差為2.95 mm，最小誤差為0.1 mm，中誤差為1.48 mm。各監(jiān)測點(diǎn)各期的預(yù)計(jì)誤差見表4。

綜上所述，基于GA-PSO參數(shù)優(yōu)化法所構(gòu)建Richards函數(shù)模型能夠反映出采動區(qū)地表沉陷規(guī)律，對于精確預(yù)計(jì)礦區(qū)地表沉陷有一定的作用。

4 結(jié)論

（1）Richards函數(shù)模型能夠有效擬合礦區(qū)開采地表沉陷規(guī)律，但擬合精度仍具有較大提升空間。本研究融合GA與PSO算法優(yōu)勢，提出了GA-PSO融合算法，對Richards函數(shù)模型進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化。實(shí)際工程案例分析表明，GA-PSO融合算法優(yōu)化后的模型擬合誤差達(dá)到0.025 8，中誤差達(dá)到4.31 mm，實(shí)現(xiàn)了對模型預(yù)計(jì)精度的提升，適應(yīng)性更好。

（2）GA-PSO融合算法具有全局尋優(yōu)、自動獲取和指導(dǎo)優(yōu)化搜索空間的優(yōu)點(diǎn)，有利于得出更加精確的預(yù)計(jì)模型參數(shù)，使得預(yù)計(jì)結(jié)果更加符合礦區(qū)實(shí)際開采地表下沉規(guī)律。但GA-PSO融合算法的引入勢必會增加算法的復(fù)雜度，確保在預(yù)計(jì)精度不變的情況下提高算法的收斂速度和運(yùn)行效率是下一步的研究重點(diǎn)。