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        分裂四元數(shù)的偽相似性

        2021-03-17 05:33:46唐哲曹文勝
        關(guān)鍵詞:行列式相似性代數(shù)

        唐哲,曹文勝

        (五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣東 江門(mén) 529020)

        1 引言及預(yù)備知識(shí)

        四元數(shù)是Hamilton 在1843 年提出的數(shù)學(xué)概念[1]. 記R 和C 分別表示實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域,則四元數(shù)可表示為:

        其乘法規(guī)則如下:

        分裂四元數(shù)分析學(xué)和表示論在物理學(xué)里有重要的地位[2-4]. 1849 年,James Cockle[5]引入了分裂四元數(shù)其中一般地,認(rèn)為 R=span {1}和 C=span {1 ,i} . 根據(jù)分裂四元數(shù)乘法規(guī)則,一個(gè)分裂四元數(shù)可以寫(xiě)成:

        分裂四元數(shù)的I(q)可為正數(shù),負(fù)數(shù),也可以為零. 這與四元數(shù)的模長(zhǎng)非負(fù)不同[6]. 此外,分裂四元數(shù)q的實(shí)部為: Re(q)=q0;分裂四元數(shù)q的虛部為:通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算,得出I(pq)=I(p)I(q).另外,定義q′:

        很顯然,I(q′ )=I(q). 與四元數(shù)類似,得到

        定義1兩個(gè)分裂四元數(shù)a,b∈Hs是偽相似的,當(dāng)且僅當(dāng)存在使得

        文獻(xiàn)[1-7]研究了四元數(shù)、分裂四元數(shù)、分裂四元數(shù)的相似性,其中,曹文勝等[6]研究了分裂四元數(shù)a,b∈ Hs-R 是相似的充要條件. 本文將在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上討論分裂四元數(shù)的偽相似性.

        2 分裂四元數(shù)的相關(guān)性質(zhì)

        分裂四元數(shù)代數(shù) Hs通過(guò)下面的雙射映射,可同構(gòu)到矩陣代數(shù) R4×4中.

        稱L(q)為左乘矩陣,R(q)為右乘矩陣. 通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得:

        另外,F(xiàn)=FT=F-1.

        3 分裂四元數(shù)的偽相似性

        分裂四元數(shù)a,b∈ Hs是相似的,當(dāng)且僅當(dāng)存在q∈ Hs-Z(Hs),使得qa=bq. 分裂四元數(shù)a,b∈ Hs-R 是相似的充要條件[6]是:

        由定義1 可知分裂四元數(shù)a,b∈ Hs是偽相似的,當(dāng)且僅當(dāng)存在q∈ Hs-Z(Hs),使得aq=q′b. 因?yàn)镠s不是一個(gè)除環(huán),因此找到逆元來(lái)解方程ax=x′b就變得非常困難,故要先保證它存在非零解. 因?yàn)?/p>

        所以方程aq=q′b等價(jià)于其中F=diag {1, -1,1,1}.

        通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證下面命題.

        命題1令S(a,b)=L(a)-R(b)F,其中

        由此可知矩陣S(a,b)的特征值是:

        和矩陣S(a,b)的行列式是:

        進(jìn)一步, det (S(a,b))=0當(dāng)且僅 當(dāng)如下的情形成立:

        下面列 舉幾個(gè)行列式 det (S(a,b))=0的例子.

        1)a=2+3i+4j +5 k,b=2 - 3i+4j+5k,a-b′=0.

        定理1分裂四元數(shù)a,b∈ Hs-{0}是偽相似的充要條件是下面二個(gè)條件之一成立:

        證明令并且a,b不為零.如果a,b是偽相似,那么存在一個(gè)滿足有所以,故因?yàn)檫@表明:

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