德州學(xué)院能源與機(jī)械學(xué)院 孫秀云

根軌跡作為一種經(jīng)典的分析方法，經(jīng)常被用來進(jìn)行線性系統(tǒng)分析。但是對于復(fù)雜系統(tǒng)手繪根軌跡非常困難，針對這個問題，本文利用MATLAB中的GUI設(shè)計(jì)了根軌跡仿真分析平臺。線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為，一般多項(xiàng)式形式、乘積多項(xiàng)式形式和零、極點(diǎn)三種形式，本文所設(shè)計(jì)的仿真分析平臺可以繪出三種傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)根軌跡，還可以零極點(diǎn)改變對系統(tǒng)根軌跡的影響。該仿真平臺很大程度上減少了線性系統(tǒng)根軌跡分析的工作量，也使根軌跡的分析結(jié)果變得更加直觀。

線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征根決定系統(tǒng)性能，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，閉環(huán)特征根也會生成相應(yīng)的根軌跡，所以根軌跡與系統(tǒng)性能之間也有著比較密切的聯(lián)系。根軌跡是經(jīng)典控制理論中，分析和設(shè)計(jì)線性定常系統(tǒng)最常用的圖解方法，特別在進(jìn)行多回路高階系統(tǒng)的分析時(shí)，應(yīng)用根軌跡法比用其他方法更加方便，因此，根軌跡在工程實(shí)踐中獲得了廣泛的應(yīng)用。

對于低階的系統(tǒng)，我們可以利用解析的方法直接求出閉環(huán)特征根隨系統(tǒng)參數(shù)變化的曲線，但是對于高階系統(tǒng)，我們很難手繪出其根軌跡，尤其是在課堂上講解時(shí)，更是不可能短時(shí)間繪出一個復(fù)雜系統(tǒng)的根軌跡。為了便于在課堂上快速繪制出系統(tǒng)根軌跡，便于講解根軌跡對系統(tǒng)性能的影響，本文設(shè)計(jì)了線性系統(tǒng)根軌跡仿真分析平臺。

1 系統(tǒng)設(shè)計(jì)

本文所設(shè)計(jì)的根軌跡仿真分析平臺，根據(jù)設(shè)定的線性系統(tǒng)模型，可以快速地繪制出該系統(tǒng)的根軌跡曲線。這樣學(xué)生在課堂上就可以方便地根據(jù)根軌跡曲線分析系統(tǒng)的性能，從而對系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型有多種表達(dá)形式，一般包括：分子和分母為s一般多項(xiàng)式形式、分子和分母為s乘積多項(xiàng)式形式和零、極點(diǎn)形式這三種。該仿真平臺對于每一種形式都可以任意設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)，從而確定出不同系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，而且對于傳遞函數(shù)的每一種形式均可以快速地繪制出根軌跡。這就在很大程度上減少了線性系統(tǒng)根軌跡分析的工作量，也使課堂上根軌跡的分析變的更加直觀。本仿真平臺總體主界面如圖1所示。

1.1 一般多項(xiàng)式傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)根軌跡

對于分子分母為s一般多項(xiàng)式的傳遞函數(shù)，按照分子分母多項(xiàng)式的形式進(jìn)行程序的編程和根軌跡的繪制。在界面中設(shè)置四個可編輯文本框，程序加在所放置的繪圖按鈕的回調(diào)函數(shù)callback下，且必須在句柄后輸入根軌跡所顯示的軸位置即axes。首先在該子界面的可編輯文本框中輸入所要繪制的開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母的系數(shù)，輸入后在可選擇按鈕中選擇所需繪制根軌跡圖形樣式，操作完成就會在右邊軸中顯示出所要求的根軌跡圖形。隨著光標(biāo)移動可以顯示出所指該點(diǎn)的開環(huán)增益、閉環(huán)極點(diǎn)、最大超調(diào)量和自然振蕩角頻率。

圖1 根軌跡仿真平臺主界面

圖2 一般多項(xiàng)式形式繪制根軌跡界面

輸入傳遞函數(shù)參數(shù)，程序運(yùn)行后的效果圖2所示。圖中根軌跡上黑點(diǎn)處的開環(huán)增益為54，閉環(huán)極點(diǎn)是-0.0674+2.971i，最大超調(diào)量為107，自然振蕩角頻率為2.97rad/s。因此，可以得出系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)開環(huán)增益Kg<53。

繪制根軌跡按鈕的回調(diào)函數(shù)編寫如下：

圖3 零、極點(diǎn)形式繪制根軌跡界面

圖4 乘積多項(xiàng)式形式繪制根軌跡界面

1.2 零極點(diǎn)描述的系統(tǒng)根軌跡分析

零極點(diǎn)形式傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)可以根據(jù)繪制根軌跡規(guī)則手繪出近似根軌跡曲線，但是不能繪制出精確根軌跡，尤其是對于高階系統(tǒng)很難手繪出其精確根軌跡曲線。本文設(shè)計(jì)了根據(jù)零極點(diǎn)形式快速繪出根軌跡的仿真程序，實(shí)現(xiàn)程序和一般多項(xiàng)式形式類似，程序界面如圖3所示。運(yùn)行該程序時(shí)，只要輸入系統(tǒng)的零極點(diǎn)，仿真程序就會快速繪制出根軌跡曲線，運(yùn)行效果如圖3所示。

1.3 乘積多項(xiàng)式傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)根軌跡

傳遞函數(shù)的分子和分母均為多項(xiàng)式乘積表達(dá)式時(shí)，且多項(xiàng)式不是零極點(diǎn)形式，這樣的傳遞函數(shù)稱為乘積多項(xiàng)式的傳遞函數(shù)。這種表達(dá)形式和零極點(diǎn)繪制方法有所不同，所以本文又設(shè)計(jì)了按照乘積多項(xiàng)式形式繪制根軌跡曲線的仿真程序，實(shí)現(xiàn)方法也是和一般多項(xiàng)式設(shè)計(jì)方法一樣，最終仿真界面如圖4所示。輸入傳遞函數(shù)參數(shù)，運(yùn)行結(jié)果如圖4所示，從圖4中可以看出該系統(tǒng)的根軌跡為一個圓。

2 零極點(diǎn)變化對系統(tǒng)根軌跡的影響

在經(jīng)典控制理論中，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要評價(jià)取決于系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，由階躍響應(yīng)可以很容易地求出系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。但是，在系統(tǒng)初步設(shè)計(jì)過程中，重要的方面往往不是如何求出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，而是如何根據(jù)已知的閉環(huán)零極點(diǎn)去定性地分析系統(tǒng)的性能。根據(jù)根軌跡就可以得到系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，那么當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)變化的時(shí)候，閉環(huán)系統(tǒng)零極點(diǎn)如何變化，對系統(tǒng)性能分析有著重要作用。利用該仿真系統(tǒng)，可以很容易分析開環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)對根軌跡的影響。

2.1 增加開環(huán)零點(diǎn)對根軌跡的影響

如果給定的原線性控制系統(tǒng)函數(shù)為G(s)=k/s(s^2+4s+5)，用我們設(shè)計(jì)的圖形用戶界面進(jìn)行MATLAB仿真，繪制該線性系統(tǒng)的根軌跡。過程如圖5所示。

（1）打開GUI設(shè)計(jì)的主界面，根據(jù)傳遞函數(shù)形式選擇“乘積多項(xiàng)式形式”按鈕，單擊進(jìn)入“乘積多項(xiàng)式形式”子界面。

（2）按照所給定的傳遞函數(shù)參數(shù)，在子界面可編輯文本框中填入數(shù)據(jù)。

（3）選擇所要繪制根軌跡圖形樣式，單擊“根軌跡繪圖”按鈕。

（4）在s平面中畫阻尼比0.707線和振蕩角頻率為1.5rad/s的圓的根軌跡圖。選擇根軌跡2后，總體運(yùn)行界面如圖5所示。

如果在原線性控制系統(tǒng)上增加一個開環(huán)零點(diǎn)后的線性控制系統(tǒng)函數(shù)為G(s)=k(s+1)/s(s^2+4s+5)，用圖形用戶界面進(jìn)行MATLAB仿真，在s平面中畫阻尼比0.707線和振蕩角頻率為1.5rad/s的圓的根軌跡圖。選擇根軌跡2后，總體運(yùn)行界面如圖6所示。

通過原線性控制系統(tǒng)與增加零點(diǎn)后的系統(tǒng)根軌跡圖形的仿真結(jié)果可以看出：

圖5 原線性控制系統(tǒng)函數(shù)根軌跡

圖6 增加零點(diǎn)后的控制系統(tǒng)根軌跡

圖7 增加零點(diǎn)后的系統(tǒng)根軌跡

增加開環(huán)零點(diǎn)后，在實(shí)軸上的根軌跡的分布發(fā)生變化。

在增加開環(huán)零點(diǎn)后，根軌跡漸近線的條數(shù)發(fā)生變化。

增加開環(huán)零點(diǎn)后，若系統(tǒng)的某個開環(huán)極點(diǎn)和增加的開環(huán)零點(diǎn)重合或者相近，那么它們就構(gòu)成了一對開環(huán)偶極子，可以相互抵消。于是，可以給系統(tǒng)添加一個零點(diǎn)以抵消損失系統(tǒng)性能的極點(diǎn)。

在開環(huán)零點(diǎn)增加以后，系統(tǒng)根軌跡圖將向左移動，這對于系統(tǒng)的動態(tài)性能來說很有利。并且系統(tǒng)所加的零點(diǎn)離虛軸越近，它對整個系統(tǒng)的影響就越大。

2.2 增加開環(huán)極點(diǎn)對根軌跡的影響

如果在原線性控制系統(tǒng)上增加一個開環(huán)極點(diǎn)后的線性控制系統(tǒng)函數(shù)為G(s)=k/s(s-1)(s^2+4s+5)，用圖形用戶界面進(jìn)行MATLAB仿真，在s平面中畫阻尼比0.707線和振蕩角頻率為1.5rad/s的圓的根軌跡圖。選擇根軌跡2后，總體運(yùn)行結(jié)果如圖7所示。

通過原線性控制系統(tǒng)與增加極點(diǎn)后的線性控制系統(tǒng)根軌跡圖形的仿真結(jié)果比較可以得出：

（1）增加開環(huán)極點(diǎn)后，在實(shí)軸上的根軌跡的分布發(fā)生變化。

（2）增加開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)量會改變系統(tǒng)根軌跡的漸近線。增加開環(huán)極點(diǎn)將改變根軌跡的分支數(shù)。

（3）在開環(huán)極點(diǎn)增加以后，系統(tǒng)根軌跡圖將向右挪動，這對于系統(tǒng)的動態(tài)性能來說是不利的。因此，系統(tǒng)所加的極點(diǎn)離虛軸越近，它對整個系統(tǒng)的影響就越大。

總結(jié)：本文主要應(yīng)用MATLAB的GUI設(shè)計(jì)了根軌跡仿真平臺，該平臺可以讓用戶在實(shí)際操作中更直觀，更高效地繪制出系統(tǒng)的根軌跡。在主界面中設(shè)置3個按鈕，分別是一般多項(xiàng)式形式、乘積多項(xiàng)式形式和零、極點(diǎn)形式三種按鈕，運(yùn)用MATLAB中的函數(shù)對每一個主界面按鈕進(jìn)行函數(shù)編程，這樣在運(yùn)行時(shí)點(diǎn)擊相關(guān)按鈕就可以跳轉(zhuǎn)至對應(yīng)的子界面；然后再分別在每個子界面中根據(jù)所需要的內(nèi)容進(jìn)行界面設(shè)計(jì)和相應(yīng)的程序編輯。該仿真平臺人機(jī)交互界面簡潔，操作方便，使根軌跡繪制不再那么復(fù)雜繁瑣，便于對線性控制系統(tǒng)的性能分析研究，也會大大提高課堂效率。