高浩淵

（陜西科技大學(xué)，陜西 西安 710021）

0 研究背景和研究方法

目前，有關(guān)導(dǎo)彈追擊的研究包括多倍速導(dǎo)彈追擊軌道[1]和制導(dǎo)系統(tǒng)運(yùn)用[2]。其中，僅通過解微分方程組來求解ESR 模型[2]存在方程難以求解或者出現(xiàn)無意義解的問題，也忽略了導(dǎo)彈速度小于目標(biāo)速度時(shí)根本不能成功攔截的情況。該文通過構(gòu)建ESR 模型中相同條件模型的理論，給出了在該模型中判定和求解任意速度下導(dǎo)彈追擊軌道方程和時(shí)間的可行方法。

該文所使用的研究方法包括近似建模和優(yōu)化算法，這些也是在導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)優(yōu)化過程中實(shí)現(xiàn)一體化優(yōu)化的關(guān)鍵要素[3-8]。求解問題時(shí)運(yùn)用求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t、換元積分法、分離變量法和物理量綱分析；數(shù)值計(jì)算時(shí)運(yùn)用MATLAB 求解高次方程和微分方程。該文研究的重點(diǎn)是基于優(yōu)化方案合理地對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，建立近似模型，得到有速度參數(shù)的軌道方程，并給出對(duì)速度參數(shù)賦值計(jì)算軌道方程和打擊時(shí)間的方法，從而討論所需的條件。

ESR 模型：目標(biāo)以恒定速率v在xy平面內(nèi)沿y=xtanφ+b的直線飛行（φ 為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向與x軸方向的夾角；b為常數(shù)），當(dāng)時(shí)間t=0 時(shí)，在（h′，0）點(diǎn)。導(dǎo)彈在t=0 時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，以恒定的速率V 運(yùn)動(dòng)，速度方向始終指向目標(biāo)。求導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌道和擊中目標(biāo)的時(shí)間可以轉(zhuǎn)化為以下模型進(jìn)行求解。

1 以垂直距離為導(dǎo)彈發(fā)射條件模型

1.1 無引力場(chǎng)的導(dǎo)彈追擊模型

當(dāng)φ=π/2 時(shí)，目標(biāo)以恒定速率v在xy平面內(nèi)沿x=h向y正半軸方向直線飛行，當(dāng)時(shí)間t=0 時(shí)，在（h，0）點(diǎn)。導(dǎo)彈在t=0 時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，以恒定的速率V運(yùn)動(dòng)，速度方向始終指向目標(biāo)。根據(jù)以上初始條件便可以求出導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌道和導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間。設(shè)t時(shí)刻導(dǎo)彈位于（x，y），此時(shí)目標(biāo)位于（h，vt）點(diǎn)，如公式（1）、公式（2）所示。

用x對(duì)公式（2）的兩端求導(dǎo)得到公式（4）。

公式（7）為導(dǎo)彈的軌道方程。

當(dāng)導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時(shí)，導(dǎo)彈與目標(biāo)同時(shí)位于（h，vt）點(diǎn)，將y=vt、x=h代入公式（7）得到公式（8）。

公式（8）為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間。

當(dāng)V=nv（n為正整數(shù)）時(shí)[1]，化為多倍速導(dǎo)彈的追擊軌道方程和打擊時(shí)間，如公式（9）～公式（10）所示。

對(duì)公式（7）～公式（8）進(jìn)行物理量綱分析發(fā)現(xiàn)，該模型中的導(dǎo)彈軌道方程和打擊時(shí)間函數(shù)在物理學(xué)條件下成立。根據(jù)公式（8）可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)V＜0 時(shí)，t＜0，即導(dǎo)彈不能成功攔截或擊中目標(biāo)。同理，當(dāng)V=0（即導(dǎo)彈沒有發(fā)射）時(shí)，t=0，即意味只有目標(biāo)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)才能成功攔截目標(biāo)；只有當(dāng)V＞v時(shí)，導(dǎo)彈才能成功攔截或擊中目標(biāo)。如果要使導(dǎo)彈在一定時(shí)間內(nèi)能成功攔截或擊中目標(biāo)，即有給定時(shí)間T，根據(jù)公式（8）可以得到公式（11）。

從公式（12）中可以發(fā)現(xiàn)，在不清楚敵方目標(biāo)速度的情況下，己方的導(dǎo)彈速度自然是越高越有把握在一定時(shí)間內(nèi)擊中目標(biāo)。

1.2 有引力場(chǎng)的導(dǎo)彈追擊模型

目標(biāo)以恒定的水平速率v在xy平面內(nèi)向y軸正半軸方向飛行，受到沿x軸負(fù)半軸方向大小為g的重力加速度（進(jìn)行平拋運(yùn)動(dòng)），當(dāng)時(shí)間t=0 時(shí)，在（h，0）點(diǎn)。導(dǎo)彈在t=0 時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，在受到同樣的沿x軸負(fù)半軸方向大小為v的重力加速度的情況下，以初速率V運(yùn)動(dòng)，速度方向始終指向目標(biāo)。根據(jù)以上初始條件便可以求出導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌道和導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間。可以證明的是，如果目標(biāo)與導(dǎo)彈位于相同的引力場(chǎng)下，導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間不變。

導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時(shí)的坐標(biāo)和時(shí)間如公式（13）所示。

2 以圓形半徑為導(dǎo)彈發(fā)射條件模型

2.1 當(dāng)cosφ＜0時(shí)，轉(zhuǎn)化成求解模型

2.1.1 導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)

導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)，即將y=r2h2--vt、x=h代入公式（18）得到公式（19）。

公式（19）為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間。同理，對(duì)公式（19）進(jìn)行物理量綱分析可以發(fā)現(xiàn)，該模型中的打擊時(shí)間函數(shù)也在物理學(xué)條件下成立。從中可以發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)V和v滿足公式（20）的條件時(shí)，導(dǎo)彈才能夠成功攔截目標(biāo)。

可以通過MATLAB 在給定數(shù)值的情況下進(jìn)行判定（具體方法如程序1 所示）。用MATLAB 判定是否滿足不等式的程序1（在MATLAB 中輸入以下程序）。

＞＞ syms V v h r H#設(shè)置變量#

＞＞V=3，v=1，h=10，r=100；#給變量賦值，對(duì)其他數(shù)值的計(jì)算只需把相關(guān)數(shù)字代入即可#

ans =

1 #其中1 表示成立，0 表示不成立。#

程序1 的結(jié)果意味當(dāng)V=3、v=1、h=10 且r=100 時(shí)，不等式成立，導(dǎo)彈在這種條件下能成功攔截目標(biāo)。

2.1.2 導(dǎo)彈沒有擊中目標(biāo)

對(duì)公式（21）進(jìn)行物理量綱分析發(fā)現(xiàn)，該公式有時(shí)間的量綱，因此該公式在物理學(xué)條件下成立。從中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)V=0時(shí)，意味導(dǎo)彈在目標(biāo)移動(dòng)到與導(dǎo)彈的最短距離前沒有發(fā)射，即可轉(zhuǎn)化為以垂直距離為導(dǎo)彈發(fā)射條件的模型（h為導(dǎo)彈沿x軸正半軸方向與目標(biāo)的距離），如公式（22）所示。

聯(lián)立公式（21）和公式（23）可得到關(guān)于H的方程。

詩人感慨現(xiàn)實(shí)中缺少后羿這樣的英雄。月亮既然已經(jīng)淪沒而迷惑不清，還有什么可看的呢！可詩人心中的憂憤反而加深了，不忍一走了之，憂心如焚。

事實(shí)上，可以通過MATLAB 來求解H的值，因?yàn)樵摲匠虨楦叽畏匠?，所以沒有通解，但可以通過給V和v賦值來進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，解出H的近似值（具體方法和計(jì)算如程序2 所示）。當(dāng)H沒有非負(fù)實(shí)數(shù)解時(shí)，意味導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化成2.1.1 節(jié)所述的方法來求解。如果H有非負(fù)實(shí)數(shù)解，則如公式（24）所示。

公式（24）為攔截所用的總時(shí)間。值得一提的是，如果要求在時(shí)間T內(nèi)功成功攔截目標(biāo)，那么在V＜v且V、v滿足公式（25）時(shí)得到關(guān)于最低成本的最優(yōu)解。

用MATLAB 為H賦值并求解的程序2（在MATLAB 中輸入以下程序）。

-15.5367 + 2.1040i#可知此條件下H 無實(shí)數(shù)解，方程不成立，導(dǎo)彈攔截成功#

程序2 的結(jié)果意味當(dāng)V=213.23、v=445.6、h=12 且r=57 時(shí)，方程解無實(shí)數(shù)，方程不成立，即H不存在，導(dǎo)彈在y=r2h2--vt之前就與目標(biāo)相撞，只有當(dāng)方程的解為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，得出的結(jié)果才為H的值。只需要再將數(shù)值代入公式（19）即可得到導(dǎo)彈擊中目標(biāo)所用的時(shí)間。當(dāng)解出的時(shí)間大于0 時(shí)，得出的結(jié)果為攔截所用的時(shí)間，否則意味導(dǎo)彈不能成功攔截目標(biāo)。

2.2 當(dāng)cos φ＞0時(shí)轉(zhuǎn)化成模型的求解

公式（31）為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間。對(duì)公式（31）進(jìn)行物理量綱分析可知，該模型在物理學(xué)條件下成立。從中可以發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)V、v滿足公式（32）的條件時(shí)，導(dǎo)彈才能夠成功攔截目標(biāo)。

可以在給定數(shù)值的情況下用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行判定（具體方法如程序3 所示）。

用MATLAB 判定是否滿足不等式的程序3（在MATLAB中輸入以下程序）。

＞＞ syms V v h r H#設(shè)置變量#

＞＞ V=3，v=1，h=10，r=100；#給變量賦值，對(duì)其他數(shù)值的計(jì)算只需把相關(guān)數(shù)字代入即可#

＞＞V*（（（r+（r^2-h^2）^（1/2））^2-h^2）*V+（（r+（r^2-h^2）^（1/2））^2+h^2）*v）/（（V^2-v^2）*（r+（r^2-h^2）^（1/2）））＞2*（r^2-h^2）^（1/2）

ans =

1 #其中1 表示成立，0 表示不成立。#

程序3 的結(jié)果意味當(dāng)V=3、v=1、h=10 且r=100 時(shí)，不等式成立，導(dǎo)彈在這種條件下能夠成功攔截目標(biāo)。只需要將相應(yīng)的數(shù)值代入公式（31）就可以解得導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)所用的時(shí)間。

3 結(jié)語

該文通過建立以垂直距離和圓形半徑為導(dǎo)彈發(fā)射條件的模型來解決在ESR 模型中任意速度下導(dǎo)彈追擊的軌道和時(shí)間問題，并對(duì)這些軌道方程和時(shí)間函數(shù)進(jìn)行分析，得到了導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)的必要條件和相關(guān)數(shù)值計(jì)算的方法。從工程技術(shù)的角度來看，這些模型中的導(dǎo)彈軌道公式過于理想，但是通過利用這種最優(yōu)化方案可以從復(fù)雜的物理現(xiàn)象中合理地抽象出理想的數(shù)學(xué)模型，最終運(yùn)用一系列計(jì)算手段和方法找到最優(yōu)化解。該文所論述的模型的計(jì)算方法和條件對(duì)未來我國太空反導(dǎo)防御系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有一定的實(shí)際意義。