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        論任意速度下導(dǎo)彈追擊軌道的求解與條件

        2021-03-16 04:01:04高浩淵
        關(guān)鍵詞:導(dǎo)彈軌道公式

        高浩淵

        (陜西科技大學(xué),陜西 西安 710021)

        0 研究背景和研究方法

        目前,有關(guān)導(dǎo)彈追擊的研究包括多倍速導(dǎo)彈追擊軌道[1]和制導(dǎo)系統(tǒng)運(yùn)用[2]。其中,僅通過(guò)解微分方程組來(lái)求解ESR 模型[2]存在方程難以求解或者出現(xiàn)無(wú)意義解的問(wèn)題,也忽略了導(dǎo)彈速度小于目標(biāo)速度時(shí)根本不能成功攔截的情況。該文通過(guò)構(gòu)建ESR 模型中相同條件模型的理論,給出了在該模型中判定和求解任意速度下導(dǎo)彈追擊軌道方程和時(shí)間的可行方法。

        該文所使用的研究方法包括近似建模和優(yōu)化算法,這些也是在導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程中實(shí)現(xiàn)一體化優(yōu)化的關(guān)鍵要素[3-8]。求解問(wèn)題時(shí)運(yùn)用求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t、換元積分法、分離變量法和物理量綱分析;數(shù)值計(jì)算時(shí)運(yùn)用MATLAB 求解高次方程和微分方程。該文研究的重點(diǎn)是基于優(yōu)化方案合理地對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象,建立近似模型,得到有速度參數(shù)的軌道方程,并給出對(duì)速度參數(shù)賦值計(jì)算軌道方程和打擊時(shí)間的方法,從而討論所需的條件。

        ESR 模型:目標(biāo)以恒定速率v在xy平面內(nèi)沿y=xtanφ+b的直線飛行(φ 為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向與x軸方向的夾角;b為常數(shù)),當(dāng)時(shí)間t=0 時(shí),在(h′,0)點(diǎn)。導(dǎo)彈在t=0 時(shí)從原點(diǎn)出發(fā),以恒定的速率V 運(yùn)動(dòng),速度方向始終指向目標(biāo)。求導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌道和擊中目標(biāo)的時(shí)間可以轉(zhuǎn)化為以下模型進(jìn)行求解。

        1 以垂直距離為導(dǎo)彈發(fā)射條件模型

        1.1 無(wú)引力場(chǎng)的導(dǎo)彈追擊模型

        當(dāng)φ=π/2 時(shí),目標(biāo)以恒定速率v在xy平面內(nèi)沿x=h向y正半軸方向直線飛行,當(dāng)時(shí)間t=0 時(shí),在(h,0)點(diǎn)。導(dǎo)彈在t=0 時(shí)從原點(diǎn)出發(fā),以恒定的速率V運(yùn)動(dòng),速度方向始終指向目標(biāo)。根據(jù)以上初始條件便可以求出導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌道和導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間。設(shè)t時(shí)刻導(dǎo)彈位于(x,y),此時(shí)目標(biāo)位于(h,vt)點(diǎn),如公式(1)、公式(2)所示。

        用x對(duì)公式(2)的兩端求導(dǎo)得到公式(4)。

        公式(7)為導(dǎo)彈的軌道方程。

        當(dāng)導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時(shí),導(dǎo)彈與目標(biāo)同時(shí)位于(h,vt)點(diǎn),將y=vt、x=h代入公式(7)得到公式(8)。

        公式(8)為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間。

        當(dāng)V=nv(n為正整數(shù))時(shí)[1],化為多倍速導(dǎo)彈的追擊軌道方程和打擊時(shí)間,如公式(9)~公式(10)所示。

        對(duì)公式(7)~公式(8)進(jìn)行物理量綱分析發(fā)現(xiàn),該模型中的導(dǎo)彈軌道方程和打擊時(shí)間函數(shù)在物理學(xué)條件下成立。根據(jù)公式(8)可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)V<0 時(shí),t<0,即導(dǎo)彈不能成功攔截或擊中目標(biāo)。同理,當(dāng)V=0(即導(dǎo)彈沒(méi)有發(fā)射)時(shí),t=0,即意味只有目標(biāo)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)才能成功攔截目標(biāo);只有當(dāng)V>v時(shí),導(dǎo)彈才能成功攔截或擊中目標(biāo)。如果要使導(dǎo)彈在一定時(shí)間內(nèi)能成功攔截或擊中目標(biāo),即有給定時(shí)間T,根據(jù)公式(8)可以得到公式(11)。

        從公式(12)中可以發(fā)現(xiàn),在不清楚敵方目標(biāo)速度的情況下,己方的導(dǎo)彈速度自然是越高越有把握在一定時(shí)間內(nèi)擊中目標(biāo)。

        1.2 有引力場(chǎng)的導(dǎo)彈追擊模型

        目標(biāo)以恒定的水平速率v在xy平面內(nèi)向y軸正半軸方向飛行,受到沿x軸負(fù)半軸方向大小為g的重力加速度(進(jìn)行平拋運(yùn)動(dòng)),當(dāng)時(shí)間t=0 時(shí),在(h,0)點(diǎn)。導(dǎo)彈在t=0 時(shí)從原點(diǎn)出發(fā),在受到同樣的沿x軸負(fù)半軸方向大小為v的重力加速度的情況下,以初速率V運(yùn)動(dòng),速度方向始終指向目標(biāo)。根據(jù)以上初始條件便可以求出導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌道和導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間??梢宰C明的是,如果目標(biāo)與導(dǎo)彈位于相同的引力場(chǎng)下,導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間不變。

        導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時(shí)的坐標(biāo)和時(shí)間如公式(13)所示。

        2 以圓形半徑為導(dǎo)彈發(fā)射條件模型

        2.1 當(dāng)cosφ<0時(shí),轉(zhuǎn)化成求解模型

        2.1.1 導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)

        導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo),即將y=r2h2--vt、x=h代入公式(18)得到公式(19)。

        公式(19)為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間。同理,對(duì)公式(19)進(jìn)行物理量綱分析可以發(fā)現(xiàn),該模型中的打擊時(shí)間函數(shù)也在物理學(xué)條件下成立。從中可以發(fā)現(xiàn),只有當(dāng)V和v滿足公式(20)的條件時(shí),導(dǎo)彈才能夠成功攔截目標(biāo)。

        可以通過(guò)MATLAB 在給定數(shù)值的情況下進(jìn)行判定(具體方法如程序1 所示)。用MATLAB 判定是否滿足不等式的程序1(在MATLAB 中輸入以下程序)。

        >> syms V v h r H#設(shè)置變量#

        >>V=3,v=1,h=10,r=100;#給變量賦值,對(duì)其他數(shù)值的計(jì)算只需把相關(guān)數(shù)字代入即可#

        ans =

        1 #其中1 表示成立,0 表示不成立。#

        程序1 的結(jié)果意味當(dāng)V=3、v=1、h=10 且r=100 時(shí),不等式成立,導(dǎo)彈在這種條件下能成功攔截目標(biāo)。

        2.1.2 導(dǎo)彈沒(méi)有擊中目標(biāo)

        對(duì)公式(21)進(jìn)行物理量綱分析發(fā)現(xiàn),該公式有時(shí)間的量綱,因此該公式在物理學(xué)條件下成立。從中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)V=0時(shí),意味導(dǎo)彈在目標(biāo)移動(dòng)到與導(dǎo)彈的最短距離前沒(méi)有發(fā)射,即可轉(zhuǎn)化為以垂直距離為導(dǎo)彈發(fā)射條件的模型(h為導(dǎo)彈沿x軸正半軸方向與目標(biāo)的距離),如公式(22)所示。

        聯(lián)立公式(21)和公式(23)可得到關(guān)于H的方程。

        詩(shī)人感慨現(xiàn)實(shí)中缺少后羿這樣的英雄。月亮既然已經(jīng)淪沒(méi)而迷惑不清,還有什么可看的呢!可詩(shī)人心中的憂憤反而加深了,不忍一走了之,憂心如焚。

        事實(shí)上,可以通過(guò)MATLAB 來(lái)求解H的值,因?yàn)樵摲匠虨楦叽畏匠?,所以沒(méi)有通解,但可以通過(guò)給V和v賦值來(lái)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,解出H的近似值(具體方法和計(jì)算如程序2 所示)。當(dāng)H沒(méi)有非負(fù)實(shí)數(shù)解時(shí),意味導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo),從而轉(zhuǎn)化成2.1.1 節(jié)所述的方法來(lái)求解。如果H有非負(fù)實(shí)數(shù)解,則如公式(24)所示。

        公式(24)為攔截所用的總時(shí)間。值得一提的是,如果要求在時(shí)間T內(nèi)功成功攔截目標(biāo),那么在V<v且V、v滿足公式(25)時(shí)得到關(guān)于最低成本的最優(yōu)解。

        用MATLAB 為H賦值并求解的程序2(在MATLAB 中輸入以下程序)。

        -15.5367 + 2.1040i#可知此條件下H 無(wú)實(shí)數(shù)解,方程不成立,導(dǎo)彈攔截成功#

        程序2 的結(jié)果意味當(dāng)V=213.23、v=445.6、h=12 且r=57 時(shí),方程解無(wú)實(shí)數(shù),方程不成立,即H不存在,導(dǎo)彈在y=r2h2--vt之前就與目標(biāo)相撞,只有當(dāng)方程的解為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),得出的結(jié)果才為H的值。只需要再將數(shù)值代入公式(19)即可得到導(dǎo)彈擊中目標(biāo)所用的時(shí)間。當(dāng)解出的時(shí)間大于0 時(shí),得出的結(jié)果為攔截所用的時(shí)間,否則意味導(dǎo)彈不能成功攔截目標(biāo)。

        2.2 當(dāng)cos φ>0時(shí)轉(zhuǎn)化成模型的求解

        公式(31)為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)間。對(duì)公式(31)進(jìn)行物理量綱分析可知,該模型在物理學(xué)條件下成立。從中可以發(fā)現(xiàn),只有當(dāng)V、v滿足公式(32)的條件時(shí),導(dǎo)彈才能夠成功攔截目標(biāo)。

        可以在給定數(shù)值的情況下用計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行判定(具體方法如程序3 所示)。

        用MATLAB 判定是否滿足不等式的程序3(在MATLAB中輸入以下程序)。

        >> syms V v h r H#設(shè)置變量#

        >> V=3,v=1,h=10,r=100;#給變量賦值,對(duì)其他數(shù)值的計(jì)算只需把相關(guān)數(shù)字代入即可#

        >>V*(((r+(r^2-h^2)^(1/2))^2-h^2)*V+((r+(r^2-h^2)^(1/2))^2+h^2)*v)/((V^2-v^2)*(r+(r^2-h^2)^(1/2)))>2*(r^2-h^2)^(1/2)

        ans =

        1 #其中1 表示成立,0 表示不成立。#

        程序3 的結(jié)果意味當(dāng)V=3、v=1、h=10 且r=100 時(shí),不等式成立,導(dǎo)彈在這種條件下能夠成功攔截目標(biāo)。只需要將相應(yīng)的數(shù)值代入公式(31)就可以解得導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)所用的時(shí)間。

        3 結(jié)語(yǔ)

        該文通過(guò)建立以垂直距離和圓形半徑為導(dǎo)彈發(fā)射條件的模型來(lái)解決在ESR 模型中任意速度下導(dǎo)彈追擊的軌道和時(shí)間問(wèn)題,并對(duì)這些軌道方程和時(shí)間函數(shù)進(jìn)行分析,得到了導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)的必要條件和相關(guān)數(shù)值計(jì)算的方法。從工程技術(shù)的角度來(lái)看,這些模型中的導(dǎo)彈軌道公式過(guò)于理想,但是通過(guò)利用這種最優(yōu)化方案可以從復(fù)雜的物理現(xiàn)象中合理地抽象出理想的數(shù)學(xué)模型,最終運(yùn)用一系列計(jì)算手段和方法找到最優(yōu)化解。該文所論述的模型的計(jì)算方法和條件對(duì)未來(lái)我國(guó)太空反導(dǎo)防御系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有一定的實(shí)際意義。

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