王許煜，胡敏，趙玉龍，張學(xué)陽，李玖陽

航天工程大學(xué)，北京 101400

導(dǎo)航星座為了滿足系統(tǒng)對可用性、連續(xù)性和完整性的嚴(yán)格要求，通常會在空間部署若干顆備份衛(wèi)星。若星座中有衛(wèi)星失效，則通過在軌備份衛(wèi)星變軌對其進(jìn)行替換。如GPS(global positioning system)星座將備份衛(wèi)星部署在故障概率最大的衛(wèi)星附近形成“衛(wèi)星對”[1]，以便其中的一顆衛(wèi)星發(fā)生故障時，備份衛(wèi)星能夠在較短時間內(nèi)通過軌道機動來實現(xiàn)對故障衛(wèi)星的快速替換[2]，從而降低對用戶的影響。在軌備份方案的優(yōu)化設(shè)計關(guān)系到整個導(dǎo)航星座運行期間的服務(wù)性能，同時還涉及到空間軌道資源的維護(hù)利用等問題[3]，因此必須對在軌備份方案進(jìn)行合理設(shè)計。

目前，與導(dǎo)航星座在軌備份方案優(yōu)化設(shè)計相關(guān)的研究較少。文獻(xiàn)[3]基于系統(tǒng)服務(wù)性能提升，從PDOP(position dilution of precision)值、地面可見星數(shù)和地面對新增衛(wèi)星可視情況3個方面對比分析了北斗衛(wèi)星導(dǎo)航(區(qū)域)系統(tǒng)中GEO和IGSO備份星在不同軌位時，對現(xiàn)有系統(tǒng)服務(wù)性能的影響。文獻(xiàn)[4]基于5GEO/5IGSO/4MEO區(qū)域?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)，在僅有2顆備份衛(wèi)星的條件下利用星座的幾何關(guān)系給出了同軌道面?zhèn)浞莺彤愜壍烂鎮(zhèn)浞輹r，備份星IGSO的最優(yōu)相位分布，從而有效地保證了系統(tǒng)的連續(xù)性和可用性。上述文獻(xiàn)只對GEO和IGSO備份星軌位進(jìn)行了分析，而沒有考慮MEO備份星軌位的設(shè)計，同時由于GEO和IGSO軌道面內(nèi)衛(wèi)星數(shù)量較少，且備份星軌位相對固定，因此也都未涉及到在軌備份星替換的優(yōu)化設(shè)計。

本文以中軌道Walker導(dǎo)航星座為研究對象，首先針對星座運行期間在軌備份星與工作衛(wèi)星存在共同提供服務(wù)的情況，通過建立軌位優(yōu)化模型，以PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，利用NSGA-Ⅱ(non-dominated sorting genetic algorithm)算法分析在軌備份星在不同軌位下對系統(tǒng)服務(wù)性能的影響。其次，基于在軌備份星軌位的優(yōu)化結(jié)果，建立在軌備份星替換的軌道機動模型，分別以替換所需的速度增量最少和替換時間最少為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行在軌備份星替換方案的優(yōu)化設(shè)計，并分析比較兩種替換方案。

1 在軌備份星軌位優(yōu)化設(shè)計

1.1 軌位優(yōu)化模型

在軌備份星的軌位直接決定了備份星對系統(tǒng)服務(wù)性能的增強效果，與星座優(yōu)化設(shè)計一樣，在軌備份星軌位的設(shè)計同樣屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題。本文以中軌道Walker導(dǎo)航星座為分析對象，該星座由24顆衛(wèi)星組成，星座參數(shù)為24/3/1，軌道高度為21 528 km，傾角為55°，同時，模型中每個軌道面上分別部署2顆在軌備份星。

(1) 優(yōu)化變量

在軌備份星軌位優(yōu)化設(shè)計中，模型優(yōu)化變量為每個軌道面上在軌備份星的軌位fi,j，i∈(1,2,3)，j∈(1,2)，其中i為軌道面編號，j為在軌備份星編號。如f1,2表示第1個軌道面上的第2個在軌備份星的軌位。

(2) 目標(biāo)函數(shù)

在導(dǎo)航星座中，定位精度是其性能評估的重要指標(biāo)，而該指標(biāo)除了受到各偽距測量值的影響,還與星座的幾何構(gòu)型有關(guān)[5]，通過計算星座位置精度衰減因子(PDOP)值可以對構(gòu)型進(jìn)行量化評估[6]。因此，本文選取PDOP值作為備份星軌位優(yōu)化的評價指標(biāo)之一，其計算如下[7]。

假設(shè)用戶坐標(biāo)為(X0,Y0,Z0)，此時在用戶本地坐標(biāo)系中，滿足最小觀測仰角α的N顆衛(wèi)星坐標(biāo)可表示為：

ri=[Xi,Yi,Zi],i=1,2,…,N

(1)

則相應(yīng)的系數(shù)矩陣H為：

(2)

記矩陣Q為：

(3)

最終用戶坐標(biāo)的PDOP值為：

(4)

同時，導(dǎo)航星座除了定位精度要求外，還有其它的性能要求，本文選取可見衛(wèi)星數(shù)作為另一個備份星軌位優(yōu)化的評價指標(biāo)?？梢娦l(wèi)星數(shù)是指在一定的仰角范圍內(nèi)，用戶能接收到衛(wèi)星導(dǎo)航信號的衛(wèi)星數(shù)目，其值的大小不僅決定精度因子計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，還與星座對地面的覆蓋特性密切相關(guān)，因此同樣是衡量導(dǎo)航星座性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)。

為了更全面地評價導(dǎo)航星座服務(wù)區(qū)域的性能，本文采取網(wǎng)格分析法，對導(dǎo)航星座的服務(wù)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并統(tǒng)計在每一時刻所有網(wǎng)格點的PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)，從而獲得仿真時間內(nèi)每個網(wǎng)格點的平均PDOP值和平均可見衛(wèi)星數(shù)，最終對所有網(wǎng)格點的數(shù)值求平均，得到服務(wù)區(qū)域內(nèi)PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)的平均值，分別用FP(X)和FM(X)表示。綜上可得，導(dǎo)航星座在軌備份星軌位優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型為：

(5)

(3) 約束條件

在軌備份星軌位優(yōu)化設(shè)計中，模型的約束條件為在軌備份星的軌位fi,j∈[0°,360°]，同時，由于工作衛(wèi)星的存在，在軌備份星的軌位不能取值為同一軌道面中已有工作衛(wèi)星的軌位。

1.2 基于NSGA-Ⅱ算法的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

(1) 軌位優(yōu)化變量的編碼方式

在軌備份星軌位優(yōu)化變量屬于連續(xù)型變量，要利用NSGA-Ⅱ算法對其進(jìn)行求解，必須對優(yōu)化變量進(jìn)行編碼。變量編碼有多種編碼方式，其中應(yīng)用最廣泛的為二進(jìn)編碼方式，然而當(dāng)模型優(yōu)化變量取值范圍較大時，為了保證優(yōu)化變量具有較高的精度，需要增大二進(jìn)制字符串位數(shù)，這會導(dǎo)致染色體基因過長，從而降低搜索效率，影響算法的收斂速度。因此，本文采用浮點數(shù)編碼方法，染色體中每個基因代表一個變量，該編碼方法能夠有效降低染色體編碼長度，提高運算效率，同時能確保變量具有較高的精度。對每個變量進(jìn)行編碼后，將它們串聯(lián)成一個染色體，從而完成對一個個體的編碼，如圖1所示。

圖1 染色體編碼示意Fig.1 Chromosome coding diagram

(2) 基于Pareto占優(yōu)的選擇機制

與單目標(biāo)優(yōu)化問題不同的是，由于在求解過程中難以獲得一個能使所有目標(biāo)函數(shù)都達(dá)到最優(yōu)值的理想解，當(dāng)進(jìn)一步優(yōu)化一個目標(biāo)時通常會引起其他目標(biāo)的劣化，因此多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解是一組最優(yōu)解集。已有大量學(xué)者對多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解展開了研究并提出相應(yīng)的求解思路，其中應(yīng)用較為廣泛的是基于Pareto 占優(yōu)思想的優(yōu)化方法[8]。

假設(shè)多目標(biāo)優(yōu)化是求解目標(biāo)函數(shù)的最小值，若可行解x1所對應(yīng)的任意一個目標(biāo)函數(shù)值fk(x1)都小于等于可行解x2對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值fk(x2)，并且存在一個目標(biāo)函數(shù)值fl(x1)小于x2對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值fl(x2)，則稱可行解x1相比于x2占優(yōu)或x1支配x2。

(6)

如果可行解x不被其他任一解所支配，則該可行解稱為非支配解，經(jīng)過算法迭代進(jìn)化，可以得到所有非支配解，并組成非支配解集，稱為Pareto前沿[9]。在NSGA-Ⅱ算法中采取Pareto占優(yōu)的選擇機制來獲得Pareto前沿，其公式為[10]：

(7)

式中：μi,g為試驗向量，Xi,g為目標(biāo)向量。

(3) NSGA-Ⅱ算法的優(yōu)化流程

非支配排序遺傳算法(NSGA)是Srinivas和Deb于1994年提出的基于Pareto占優(yōu)選擇的多目標(biāo)優(yōu)化算法[11]。在此基礎(chǔ)上，Deb等人于2002年進(jìn)一步提出了NSGA的改進(jìn)算法NSGA-Ⅱ[12]，該算法較上一代算法的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在NSGA-Ⅱ算法采取快速非支配排序法，從而降低了搜索非支配解的復(fù)雜度，并定義擁擠距離來計算各層中點之間的擁擠度，代替了NSGA算法中共享函數(shù)的使用，避免了人為確定共享參數(shù)對解空間分布的影響，保持了種群的多樣性，同時還引入精英策略，通過對解空間進(jìn)行分層確定非支配序列，保留了種群中解的優(yōu)越性，也擴大了采樣空間[13]。NSGA-Ⅱ算法主要包括初始化、選擇、交叉和變異等步驟，其具體流程如圖2所示。

圖2 NSGA-Ⅱ算法流程框圖Fig.2 NSGA-Ⅱ algorithm flow chart

1.3 仿真分析

依據(jù)上述模型及優(yōu)化算法對在軌備份星軌位進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，中軌道Walker導(dǎo)航星座的服務(wù)區(qū)域為全球區(qū)域，并按5°×5°的經(jīng)緯線對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，仿真時間為一個星座回歸周期，用戶最小觀測仰角α為5°，數(shù)據(jù)統(tǒng)計步長為600 s。優(yōu)化算法的初始參數(shù)為：種群個數(shù)N為50，最大進(jìn)化代數(shù)G為50，交叉因子為1，變異因子為0.16。在軌備份星軌位優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

圖3 在軌備份星軌位優(yōu)化結(jié)果Fig.3 Optimization results of in-orbit backup satellite orbital position

從圖3可得，算法迭代獲得的優(yōu)化解集中可見衛(wèi)星數(shù)對應(yīng)的區(qū)間為[10.330 3，10.330 6]，PDOP值對應(yīng)的區(qū)間為[1.665，1.695]。同時，對于優(yōu)化解集中不同的解，其可見衛(wèi)星數(shù)的變化范圍較小，而且在這小范圍內(nèi)，不同解所對應(yīng)的PDOP值呈現(xiàn)出隨著可見衛(wèi)星數(shù)增大而增大的趨勢。最終，從優(yōu)化解集中篩選出非支配解集，即圖3中的Pareto等級1，并按照PDOP值進(jìn)行升序排列，如表1所示。

表1 在軌備份星軌位的非支配解集

從表1中的非支配解集可得，可見衛(wèi)星數(shù)變化范圍較小，因此本文將選擇非支配解集中PDOP值最小的解作為最優(yōu)解，即f1,1=202.9°，f1,2=247.9°，f2,1=263.4°，f2,2=306.6°，f3,1=142.5°，f3,2=97.5°，并對其進(jìn)行優(yōu)化結(jié)果分析。最優(yōu)解的在軌備份星軌位如圖4所示，圖4(b)中M11表示第1個軌道面上編號為1的衛(wèi)星。

圖4 在軌備份星軌位示意Fig.4 Schematic diagram of in-orbit backup satellite orbital position

針對最優(yōu)解的在軌備份星軌位，對全球區(qū)域內(nèi)中軌道Walker導(dǎo)航星座與加入在軌備份星后的星座PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)進(jìn)行對比分析，圖5和圖6所示的是在每個統(tǒng)計時刻下，全球區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點的PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)的平均值。可以看出，在星座回歸周期內(nèi)，中軌道Walker導(dǎo)航星座在不同時刻下PDOP平均值的最大值為1.888 9，最小值為1.875 9，平均值為1.882 4。加入在軌備份星后星座PDOP平均值的最大值降至1.6797，降低幅度為11.1%；最小值降至1.661 8，降低幅度為11.4%；平均值降至1.669 7，降低幅度為11.3%。同理，中軌道Walker導(dǎo)航星座在不同時刻下可見衛(wèi)星數(shù)平均值的最大值為8.284 5，最小值為8.247 6，平均值為8.264 2。加入在軌備份星后可見衛(wèi)星數(shù)平均值的最大值升至10.352 9，增大幅度為24.9%；最小值升至10.307 5，增大幅度為24.9%；平均值升至10.330 4，增大幅度為25%。由此可得，按照優(yōu)化所得的軌位進(jìn)行在軌備份星的部署，可以顯著提高導(dǎo)航星座的服務(wù)性能。

圖5 星座PDOP值比較Fig.5 Comparison of PDOP values of constellation

圖 6 星座可見衛(wèi)星數(shù)比較Fig.6 Comparison of the number of visible satellites in constellation

2 在軌備份星替換方案優(yōu)化設(shè)計

在軌備份星替換方案優(yōu)化設(shè)計問題不僅關(guān)系到衛(wèi)星故障后導(dǎo)航星座服務(wù)性能的恢復(fù)，還涉及到在軌備份星替換故障衛(wèi)星過程中的軌道機動問題。目前，針對軌道機動問題通常以軌道機動所需的能量和機動所持續(xù)的時間為評價指標(biāo)[14]。由于衛(wèi)星燃料的消耗會縮短衛(wèi)星的工作壽命，而單顆衛(wèi)星的壽命會極大地影響整個星座的運行周期，因此，為了最大限度延長衛(wèi)星的工作壽命，保證星座的預(yù)期運行周期，應(yīng)盡量減少在軌備份星燃料的消耗。同時，考慮到衛(wèi)星發(fā)生故障后會導(dǎo)致導(dǎo)航星座性能的下降，從而造成相應(yīng)的損失，所以，應(yīng)使在軌備份星替換時間盡可能短，以確保星座服務(wù)性能盡快恢復(fù)。

本文基于在軌備份星軌位優(yōu)化結(jié)果，考慮在軌備份星替換故障衛(wèi)星時軌道機動所需的速度增量以及替換時間，對在軌備份星替換方案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

2.1 軌道機動模型

根據(jù)衛(wèi)星相位調(diào)整過程中是否涉及軌道面的變化，衛(wèi)星相位的調(diào)整方式可以分為同軌道面相位調(diào)整和異軌道面相位調(diào)整[15]。由于異面軌道調(diào)整所消耗的燃料較大，因此在軌備份星通常只對同一軌道面內(nèi)的故障衛(wèi)星進(jìn)行替換。根據(jù)故障衛(wèi)星相位和在軌備份星相位的關(guān)系，備份星同軌道面的替換又可以分為相位超前和相位滯后兩種情況。

(1) 相位超前

相位超前時，在軌備份星沿著運行方向到故障衛(wèi)星之間的地心角θ∈[180°,360°)。此時，在軌備份星可以通過抬升軌道高度，在初始位置施加一次沖量進(jìn)入高軌過渡橢圓軌道，該過渡軌道的半長軸a須滿足：

a0

(8)

式中：a0為原始軌道半長軸。

當(dāng)在軌備份星在過渡軌道上運行若干圈后，故障衛(wèi)星位置正好運行到在軌備份星的初始位置，此時，再對在軌備份星施加一次沖量，使其從過渡軌道進(jìn)入原始軌道，即可完成對故障衛(wèi)星的替換，如圖7所示。

(2) 相位滯后

相位滯后時，在軌備份星沿著運行方向到故障衛(wèi)星之間的地心角θ∈(0°,180°)。此時，在軌備份星可以通過降低軌道高度，在初始位置施加一次沖量進(jìn)入低軌過渡橢圓軌道，該過渡軌道的半長軸a須滿足：

(9)

式中：R為地球半徑。

圖7 相位超前替換示意Fig.7 Schematic diagram of phase ahead replacement

當(dāng)在軌備份星在過渡軌道上運行若干圈后，故障衛(wèi)星正好運行到在軌備份星的初始位置，此時，再對在軌備份星施加一次沖量，使其從過渡軌道進(jìn)入原始軌道，即可完成對故障衛(wèi)星的替換，如圖8所示。

圖 8 相位滯后替換示意Fig.8 Schematic diagram of phase lag replacement

依據(jù)上述的軌道機動模型，可以獲得在軌備份星替換故障衛(wèi)星的數(shù)學(xué)模型，在軌備份星在原始軌道上的速度為v1，在過渡軌道上變軌點處的速度為v2，由于經(jīng)過2次變軌，因此替換所需的總能量ΔV為2倍的速度增量。

(10)

(11)

ΔV=2|v2-v1|

(12)

式中：μ為地球引力常數(shù)。

假設(shè)在軌備份星替換過程中，在軌備份星在過渡軌道上運行的圈數(shù)為n，故障衛(wèi)星在原始軌道上運行的圈數(shù)為m，若不到1圈則為0。在軌備份星完成替換所需的時間為ΔT，則有：

(13)

(14)

2.2 以速度增量最少為優(yōu)化目標(biāo)

以在軌備份星替換故障衛(wèi)星時所需的速度增量最少為優(yōu)化目標(biāo)，分析各在軌備份星對同一軌道面上的8顆工作衛(wèi)星的替換結(jié)果。由于中軌道Walker導(dǎo)航星座中每個軌道面分別部署了2顆在軌備份星，因此，比較2顆在軌備份星的替換結(jié)果，可以得到每個軌道面內(nèi)替換不同故障衛(wèi)星時所需的最少速度增量。模型目標(biāo)函數(shù)為：

F=min(ΔVx,y,z),x∈(1,2,3),

y∈(1,2),z∈(1,2,…8)

(15)

式中：ΔVx,y,z為第x個軌道面中編號為y的在軌備份星替換編號為z的故障衛(wèi)星所需的速度增量。

模型約束條件為：在軌備份星相位超前時采取高軌變相，相位滯后時采取低軌變相，同時，針對實際情況，假設(shè)在軌備份星在過渡軌道上運行的圈數(shù)n和故障衛(wèi)星位置在原始軌道上運行的圈數(shù)m都小于等于10。

最終以速度增量最少為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果如圖9所示，圖9(a)為每個軌道面上替換不同衛(wèi)星時所需的最少速度增量，圖9(b)為該替換方案所對應(yīng)的替換時間。從圖中可以看出，速度增量的最大值為0.106 2 km/s，最小值為0.015 km/s。雖然替換所需的速度增量較小，但是替換所需的時間較長，最短的替換時間需要126.4 h，最長的替換時間則需要134.5 h。

圖9 以速度增量最少為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果Fig.9 Optimization results with the minimum increment of velocity as the optimization objective

2.3 以替換時間最少為優(yōu)化目標(biāo)

以在軌備份星替換故障衛(wèi)星時所需的替換時間最少為優(yōu)化目標(biāo)，再次對在軌備份星替換軌道面內(nèi)的8顆工作衛(wèi)星的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析。根據(jù)比較每個軌道面中2顆在軌備份星的替換結(jié)果，從而得到每個軌道面內(nèi)替換不同故障衛(wèi)星時所需的最少替換時間。模型目標(biāo)函數(shù)為：

F=min(ΔTx,y,z),x∈(1,2,3),

y∈(1,2),z∈(1,2,…8)

(16)

式中：ΔTx,y,z為第x個軌道面中編號為y的在軌備份星替換編號為z的故障衛(wèi)星所需的替換時間。

模型約束條件為：在軌備份星相位超前時采取高軌變相，相位滯后時采取低軌變相，同時，在軌備份星在過渡軌道上運行的圈數(shù)n和故障衛(wèi)星在原始軌道上運行的圈數(shù)m都小于等于10。

最終以替換時間最少為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果如圖10所示，圖10(a)為每個軌道面上替換不同衛(wèi)星時所需的最少替換時間，圖10(b)為該替換方案所對應(yīng)的替換速度增量。從圖中可以看出，以替換時間最少為優(yōu)化目標(biāo)時，替換衛(wèi)星所需的最短時間為8.8 h，最長替換時間為18.5 h，極大地縮短了替換所需的時間。同時，替換所需的速度增量雖然比以速度增量最小為優(yōu)化目標(biāo)時的大，但速度增量最大值為1.16 km/s，最小值為0.14 km/s，仍處于較低水平。

圖10 以替換時間最少為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果Fig.10 Optimization results with the minimum replacement time as the optimization objective

2.4 結(jié)果分析

基于上述對兩種替換方案的分析可得，以速度增量最少為優(yōu)化目標(biāo)的軌道機動方案，雖然所需的能量較少，但是替換所需的時間較長，適用于主要考慮節(jié)省能量的星座；而對于需要快速恢復(fù)服務(wù)性能的導(dǎo)航星座而言，該替換方案并不十分合適。而以替換時間最少為優(yōu)化目標(biāo)的軌道機動方案，其最長的替換時間和最短的替換時間分別降低了86.25%和93.04%，因此該方案能夠在很大程度上減少替換時間；同時，速度增量較以速度增量最小為優(yōu)化目標(biāo)的替換方案有所增加，備份星單次機動的速度增量最大值為0.58 km/s，最小值為0.07 km/s，而對于衛(wèi)星軌道機動而言，該值仍保持在較低水平。綜合兩種替換方案，本文選用以替換時間最少為優(yōu)化目標(biāo)的替換方案作為在軌備份星替換的最終方案。

3 結(jié)束語

本文對中軌道Walker導(dǎo)航星座在軌備份方案進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，得到以下結(jié)論：

1)NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法能夠有效實現(xiàn)在軌備份星軌位最優(yōu)解的快速求解，最終在軌備份星軌位的最優(yōu)解為：f1,1=202.9°，f1,2=247.9°，f2,1=263.4°，f2,2=306.6°，f3,1=142.5°，f3,2=97.5°。

2)按照本文所得的軌位設(shè)計方案進(jìn)行在軌備份星的部署，可以顯著提高導(dǎo)航星座的服務(wù)性能，在回歸周期內(nèi)，導(dǎo)航星座在全球服務(wù)區(qū)域上的PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)的平均值分別降低了11.3%和提高了25%。

3)通過分析比較以速度增量最少和以替換時間最少為優(yōu)化目標(biāo)的替換方案，可得以替換時間最少為優(yōu)化目標(biāo)的替換方案能夠在短時間內(nèi)以較低的能量完成衛(wèi)星的替換，更符合導(dǎo)航星座的需求。