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        中軌道Walker導航星座在軌備份方案優(yōu)化設計

        2021-03-16 09:16:02王許煜胡敏趙玉龍張學陽李玖陽
        中國空間科學技術 2021年1期
        關鍵詞:軌位增量星座

        王許煜,胡敏,趙玉龍,張學陽,李玖陽

        航天工程大學,北京 101400

        導航星座為了滿足系統(tǒng)對可用性、連續(xù)性和完整性的嚴格要求,通常會在空間部署若干顆備份衛(wèi)星。若星座中有衛(wèi)星失效,則通過在軌備份衛(wèi)星變軌對其進行替換。如GPS(global positioning system)星座將備份衛(wèi)星部署在故障概率最大的衛(wèi)星附近形成“衛(wèi)星對”[1],以便其中的一顆衛(wèi)星發(fā)生故障時,備份衛(wèi)星能夠在較短時間內通過軌道機動來實現(xiàn)對故障衛(wèi)星的快速替換[2],從而降低對用戶的影響。在軌備份方案的優(yōu)化設計關系到整個導航星座運行期間的服務性能,同時還涉及到空間軌道資源的維護利用等問題[3],因此必須對在軌備份方案進行合理設計。

        目前,與導航星座在軌備份方案優(yōu)化設計相關的研究較少。文獻[3]基于系統(tǒng)服務性能提升,從PDOP(position dilution of precision)值、地面可見星數(shù)和地面對新增衛(wèi)星可視情況3個方面對比分析了北斗衛(wèi)星導航(區(qū)域)系統(tǒng)中GEO和IGSO備份星在不同軌位時,對現(xiàn)有系統(tǒng)服務性能的影響。文獻[4]基于5GEO/5IGSO/4MEO區(qū)域導航衛(wèi)星系統(tǒng),在僅有2顆備份衛(wèi)星的條件下利用星座的幾何關系給出了同軌道面?zhèn)浞莺彤愜壍烂鎮(zhèn)浞輹r,備份星IGSO的最優(yōu)相位分布,從而有效地保證了系統(tǒng)的連續(xù)性和可用性。上述文獻只對GEO和IGSO備份星軌位進行了分析,而沒有考慮MEO備份星軌位的設計,同時由于GEO和IGSO軌道面內衛(wèi)星數(shù)量較少,且備份星軌位相對固定,因此也都未涉及到在軌備份星替換的優(yōu)化設計。

        本文以中軌道Walker導航星座為研究對象,首先針對星座運行期間在軌備份星與工作衛(wèi)星存在共同提供服務的情況,通過建立軌位優(yōu)化模型,以PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)為目標函數(shù),利用NSGA-Ⅱ(non-dominated sorting genetic algorithm)算法分析在軌備份星在不同軌位下對系統(tǒng)服務性能的影響。其次,基于在軌備份星軌位的優(yōu)化結果,建立在軌備份星替換的軌道機動模型,分別以替換所需的速度增量最少和替換時間最少為優(yōu)化目標進行在軌備份星替換方案的優(yōu)化設計,并分析比較兩種替換方案。

        1 在軌備份星軌位優(yōu)化設計

        1.1 軌位優(yōu)化模型

        在軌備份星的軌位直接決定了備份星對系統(tǒng)服務性能的增強效果,與星座優(yōu)化設計一樣,在軌備份星軌位的設計同樣屬于多目標優(yōu)化問題。本文以中軌道Walker導航星座為分析對象,該星座由24顆衛(wèi)星組成,星座參數(shù)為24/3/1,軌道高度為21 528 km,傾角為55°,同時,模型中每個軌道面上分別部署2顆在軌備份星。

        (1) 優(yōu)化變量

        在軌備份星軌位優(yōu)化設計中,模型優(yōu)化變量為每個軌道面上在軌備份星的軌位fi,j,i∈(1,2,3),j∈(1,2),其中i為軌道面編號,j為在軌備份星編號。如f1,2表示第1個軌道面上的第2個在軌備份星的軌位。

        (2) 目標函數(shù)

        在導航星座中,定位精度是其性能評估的重要指標,而該指標除了受到各偽距測量值的影響,還與星座的幾何構型有關[5],通過計算星座位置精度衰減因子(PDOP)值可以對構型進行量化評估[6]。因此,本文選取PDOP值作為備份星軌位優(yōu)化的評價指標之一,其計算如下[7]。

        假設用戶坐標為(X0,Y0,Z0),此時在用戶本地坐標系中,滿足最小觀測仰角α的N顆衛(wèi)星坐標可表示為:

        ri=[Xi,Yi,Zi],i=1,2,…,N

        (1)

        則相應的系數(shù)矩陣H為:

        (2)

        記矩陣Q為:

        (3)

        最終用戶坐標的PDOP值為:

        (4)

        同時,導航星座除了定位精度要求外,還有其它的性能要求,本文選取可見衛(wèi)星數(shù)作為另一個備份星軌位優(yōu)化的評價指標。可見衛(wèi)星數(shù)是指在一定的仰角范圍內,用戶能接收到衛(wèi)星導航信號的衛(wèi)星數(shù)目,其值的大小不僅決定精度因子計算結果的準確性,還與星座對地面的覆蓋特性密切相關,因此同樣是衡量導航星座性能優(yōu)劣的重要指標。

        為了更全面地評價導航星座服務區(qū)域的性能,本文采取網(wǎng)格分析法,對導航星座的服務區(qū)域進行網(wǎng)格劃分,并統(tǒng)計在每一時刻所有網(wǎng)格點的PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù),從而獲得仿真時間內每個網(wǎng)格點的平均PDOP值和平均可見衛(wèi)星數(shù),最終對所有網(wǎng)格點的數(shù)值求平均,得到服務區(qū)域內PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)的平均值,分別用FP(X)和FM(X)表示。綜上可得,導航星座在軌備份星軌位優(yōu)化設計的數(shù)學模型為:

        (5)

        (3) 約束條件

        在軌備份星軌位優(yōu)化設計中,模型的約束條件為在軌備份星的軌位fi,j∈[0°,360°],同時,由于工作衛(wèi)星的存在,在軌備份星的軌位不能取值為同一軌道面中已有工作衛(wèi)星的軌位。

        1.2 基于NSGA-Ⅱ算法的多目標優(yōu)化設計

        (1) 軌位優(yōu)化變量的編碼方式

        在軌備份星軌位優(yōu)化變量屬于連續(xù)型變量,要利用NSGA-Ⅱ算法對其進行求解,必須對優(yōu)化變量進行編碼。變量編碼有多種編碼方式,其中應用最廣泛的為二進編碼方式,然而當模型優(yōu)化變量取值范圍較大時,為了保證優(yōu)化變量具有較高的精度,需要增大二進制字符串位數(shù),這會導致染色體基因過長,從而降低搜索效率,影響算法的收斂速度。因此,本文采用浮點數(shù)編碼方法,染色體中每個基因代表一個變量,該編碼方法能夠有效降低染色體編碼長度,提高運算效率,同時能確保變量具有較高的精度。對每個變量進行編碼后,將它們串聯(lián)成一個染色體,從而完成對一個個體的編碼,如圖1所示。

        圖1 染色體編碼示意Fig.1 Chromosome coding diagram

        (2) 基于Pareto占優(yōu)的選擇機制

        與單目標優(yōu)化問題不同的是,由于在求解過程中難以獲得一個能使所有目標函數(shù)都達到最優(yōu)值的理想解,當進一步優(yōu)化一個目標時通常會引起其他目標的劣化,因此多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)解是一組最優(yōu)解集。已有大量學者對多目標優(yōu)化問題的求解展開了研究并提出相應的求解思路,其中應用較為廣泛的是基于Pareto 占優(yōu)思想的優(yōu)化方法[8]。

        假設多目標優(yōu)化是求解目標函數(shù)的最小值,若可行解x1所對應的任意一個目標函數(shù)值fk(x1)都小于等于可行解x2對應的目標函數(shù)值fk(x2),并且存在一個目標函數(shù)值fl(x1)小于x2對應的目標函數(shù)值fl(x2),則稱可行解x1相比于x2占優(yōu)或x1支配x2。

        (6)

        如果可行解x不被其他任一解所支配,則該可行解稱為非支配解,經(jīng)過算法迭代進化,可以得到所有非支配解,并組成非支配解集,稱為Pareto前沿[9]。在NSGA-Ⅱ算法中采取Pareto占優(yōu)的選擇機制來獲得Pareto前沿,其公式為[10]:

        (7)

        式中:μi,g為試驗向量,Xi,g為目標向量。

        (3) NSGA-Ⅱ算法的優(yōu)化流程

        非支配排序遺傳算法(NSGA)是Srinivas和Deb于1994年提出的基于Pareto占優(yōu)選擇的多目標優(yōu)化算法[11]。在此基礎上,Deb等人于2002年進一步提出了NSGA的改進算法NSGA-Ⅱ[12],該算法較上一代算法的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在NSGA-Ⅱ算法采取快速非支配排序法,從而降低了搜索非支配解的復雜度,并定義擁擠距離來計算各層中點之間的擁擠度,代替了NSGA算法中共享函數(shù)的使用,避免了人為確定共享參數(shù)對解空間分布的影響,保持了種群的多樣性,同時還引入精英策略,通過對解空間進行分層確定非支配序列,保留了種群中解的優(yōu)越性,也擴大了采樣空間[13]。NSGA-Ⅱ算法主要包括初始化、選擇、交叉和變異等步驟,其具體流程如圖2所示。

        圖2 NSGA-Ⅱ算法流程框圖Fig.2 NSGA-Ⅱ algorithm flow chart

        1.3 仿真分析

        依據(jù)上述模型及優(yōu)化算法對在軌備份星軌位進行優(yōu)化設計,中軌道Walker導航星座的服務區(qū)域為全球區(qū)域,并按5°×5°的經(jīng)緯線對其進行網(wǎng)格劃分,仿真時間為一個星座回歸周期,用戶最小觀測仰角α為5°,數(shù)據(jù)統(tǒng)計步長為600 s。優(yōu)化算法的初始參數(shù)為:種群個數(shù)N為50,最大進化代數(shù)G為50,交叉因子為1,變異因子為0.16。在軌備份星軌位優(yōu)化結果如圖3所示。

        圖3 在軌備份星軌位優(yōu)化結果Fig.3 Optimization results of in-orbit backup satellite orbital position

        從圖3可得,算法迭代獲得的優(yōu)化解集中可見衛(wèi)星數(shù)對應的區(qū)間為[10.330 3,10.330 6],PDOP值對應的區(qū)間為[1.665,1.695]。同時,對于優(yōu)化解集中不同的解,其可見衛(wèi)星數(shù)的變化范圍較小,而且在這小范圍內,不同解所對應的PDOP值呈現(xiàn)出隨著可見衛(wèi)星數(shù)增大而增大的趨勢。最終,從優(yōu)化解集中篩選出非支配解集,即圖3中的Pareto等級1,并按照PDOP值進行升序排列,如表1所示。

        表1 在軌備份星軌位的非支配解集

        從表1中的非支配解集可得,可見衛(wèi)星數(shù)變化范圍較小,因此本文將選擇非支配解集中PDOP值最小的解作為最優(yōu)解,即f1,1=202.9°,f1,2=247.9°,f2,1=263.4°,f2,2=306.6°,f3,1=142.5°,f3,2=97.5°,并對其進行優(yōu)化結果分析。最優(yōu)解的在軌備份星軌位如圖4所示,圖4(b)中M11表示第1個軌道面上編號為1的衛(wèi)星。

        圖4 在軌備份星軌位示意Fig.4 Schematic diagram of in-orbit backup satellite orbital position

        針對最優(yōu)解的在軌備份星軌位,對全球區(qū)域內中軌道Walker導航星座與加入在軌備份星后的星座PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)進行對比分析,圖5和圖6所示的是在每個統(tǒng)計時刻下,全球區(qū)域內所有網(wǎng)格點的PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)的平均值??梢钥闯?,在星座回歸周期內,中軌道Walker導航星座在不同時刻下PDOP平均值的最大值為1.888 9,最小值為1.875 9,平均值為1.882 4。加入在軌備份星后星座PDOP平均值的最大值降至1.6797,降低幅度為11.1%;最小值降至1.661 8,降低幅度為11.4%;平均值降至1.669 7,降低幅度為11.3%。同理,中軌道Walker導航星座在不同時刻下可見衛(wèi)星數(shù)平均值的最大值為8.284 5,最小值為8.247 6,平均值為8.264 2。加入在軌備份星后可見衛(wèi)星數(shù)平均值的最大值升至10.352 9,增大幅度為24.9%;最小值升至10.307 5,增大幅度為24.9%;平均值升至10.330 4,增大幅度為25%。由此可得,按照優(yōu)化所得的軌位進行在軌備份星的部署,可以顯著提高導航星座的服務性能。

        圖5 星座PDOP值比較Fig.5 Comparison of PDOP values of constellation

        圖 6 星座可見衛(wèi)星數(shù)比較Fig.6 Comparison of the number of visible satellites in constellation

        2 在軌備份星替換方案優(yōu)化設計

        在軌備份星替換方案優(yōu)化設計問題不僅關系到衛(wèi)星故障后導航星座服務性能的恢復,還涉及到在軌備份星替換故障衛(wèi)星過程中的軌道機動問題。目前,針對軌道機動問題通常以軌道機動所需的能量和機動所持續(xù)的時間為評價指標[14]。由于衛(wèi)星燃料的消耗會縮短衛(wèi)星的工作壽命,而單顆衛(wèi)星的壽命會極大地影響整個星座的運行周期,因此,為了最大限度延長衛(wèi)星的工作壽命,保證星座的預期運行周期,應盡量減少在軌備份星燃料的消耗。同時,考慮到衛(wèi)星發(fā)生故障后會導致導航星座性能的下降,從而造成相應的損失,所以,應使在軌備份星替換時間盡可能短,以確保星座服務性能盡快恢復。

        本文基于在軌備份星軌位優(yōu)化結果,考慮在軌備份星替換故障衛(wèi)星時軌道機動所需的速度增量以及替換時間,對在軌備份星替換方案進行優(yōu)化設計。

        2.1 軌道機動模型

        根據(jù)衛(wèi)星相位調整過程中是否涉及軌道面的變化,衛(wèi)星相位的調整方式可以分為同軌道面相位調整和異軌道面相位調整[15]。由于異面軌道調整所消耗的燃料較大,因此在軌備份星通常只對同一軌道面內的故障衛(wèi)星進行替換。根據(jù)故障衛(wèi)星相位和在軌備份星相位的關系,備份星同軌道面的替換又可以分為相位超前和相位滯后兩種情況。

        (1) 相位超前

        相位超前時,在軌備份星沿著運行方向到故障衛(wèi)星之間的地心角θ∈[180°,360°)。此時,在軌備份星可以通過抬升軌道高度,在初始位置施加一次沖量進入高軌過渡橢圓軌道,該過渡軌道的半長軸a須滿足:

        a0

        (8)

        式中:a0為原始軌道半長軸。

        當在軌備份星在過渡軌道上運行若干圈后,故障衛(wèi)星位置正好運行到在軌備份星的初始位置,此時,再對在軌備份星施加一次沖量,使其從過渡軌道進入原始軌道,即可完成對故障衛(wèi)星的替換,如圖7所示。

        (2) 相位滯后

        相位滯后時,在軌備份星沿著運行方向到故障衛(wèi)星之間的地心角θ∈(0°,180°)。此時,在軌備份星可以通過降低軌道高度,在初始位置施加一次沖量進入低軌過渡橢圓軌道,該過渡軌道的半長軸a須滿足:

        (9)

        式中:R為地球半徑。

        圖7 相位超前替換示意Fig.7 Schematic diagram of phase ahead replacement

        當在軌備份星在過渡軌道上運行若干圈后,故障衛(wèi)星正好運行到在軌備份星的初始位置,此時,再對在軌備份星施加一次沖量,使其從過渡軌道進入原始軌道,即可完成對故障衛(wèi)星的替換,如圖8所示。

        圖 8 相位滯后替換示意Fig.8 Schematic diagram of phase lag replacement

        依據(jù)上述的軌道機動模型,可以獲得在軌備份星替換故障衛(wèi)星的數(shù)學模型,在軌備份星在原始軌道上的速度為v1,在過渡軌道上變軌點處的速度為v2,由于經(jīng)過2次變軌,因此替換所需的總能量ΔV為2倍的速度增量。

        (10)

        (11)

        ΔV=2|v2-v1|

        (12)

        式中:μ為地球引力常數(shù)。

        假設在軌備份星替換過程中,在軌備份星在過渡軌道上運行的圈數(shù)為n,故障衛(wèi)星在原始軌道上運行的圈數(shù)為m,若不到1圈則為0。在軌備份星完成替換所需的時間為ΔT,則有:

        (13)

        (14)

        2.2 以速度增量最少為優(yōu)化目標

        以在軌備份星替換故障衛(wèi)星時所需的速度增量最少為優(yōu)化目標,分析各在軌備份星對同一軌道面上的8顆工作衛(wèi)星的替換結果。由于中軌道Walker導航星座中每個軌道面分別部署了2顆在軌備份星,因此,比較2顆在軌備份星的替換結果,可以得到每個軌道面內替換不同故障衛(wèi)星時所需的最少速度增量。模型目標函數(shù)為:

        F=min(ΔVx,y,z),x∈(1,2,3),

        y∈(1,2),z∈(1,2,…8)

        (15)

        式中:ΔVx,y,z為第x個軌道面中編號為y的在軌備份星替換編號為z的故障衛(wèi)星所需的速度增量。

        模型約束條件為:在軌備份星相位超前時采取高軌變相,相位滯后時采取低軌變相,同時,針對實際情況,假設在軌備份星在過渡軌道上運行的圈數(shù)n和故障衛(wèi)星位置在原始軌道上運行的圈數(shù)m都小于等于10。

        最終以速度增量最少為優(yōu)化目標的優(yōu)化設計結果如圖9所示,圖9(a)為每個軌道面上替換不同衛(wèi)星時所需的最少速度增量,圖9(b)為該替換方案所對應的替換時間。從圖中可以看出,速度增量的最大值為0.106 2 km/s,最小值為0.015 km/s。雖然替換所需的速度增量較小,但是替換所需的時間較長,最短的替換時間需要126.4 h,最長的替換時間則需要134.5 h。

        圖9 以速度增量最少為優(yōu)化目標的優(yōu)化設計結果Fig.9 Optimization results with the minimum increment of velocity as the optimization objective

        2.3 以替換時間最少為優(yōu)化目標

        以在軌備份星替換故障衛(wèi)星時所需的替換時間最少為優(yōu)化目標,再次對在軌備份星替換軌道面內的8顆工作衛(wèi)星的優(yōu)化結果進行分析。根據(jù)比較每個軌道面中2顆在軌備份星的替換結果,從而得到每個軌道面內替換不同故障衛(wèi)星時所需的最少替換時間。模型目標函數(shù)為:

        F=min(ΔTx,y,z),x∈(1,2,3),

        y∈(1,2),z∈(1,2,…8)

        (16)

        式中:ΔTx,y,z為第x個軌道面中編號為y的在軌備份星替換編號為z的故障衛(wèi)星所需的替換時間。

        模型約束條件為:在軌備份星相位超前時采取高軌變相,相位滯后時采取低軌變相,同時,在軌備份星在過渡軌道上運行的圈數(shù)n和故障衛(wèi)星在原始軌道上運行的圈數(shù)m都小于等于10。

        最終以替換時間最少為優(yōu)化目標的優(yōu)化設計結果如圖10所示,圖10(a)為每個軌道面上替換不同衛(wèi)星時所需的最少替換時間,圖10(b)為該替換方案所對應的替換速度增量。從圖中可以看出,以替換時間最少為優(yōu)化目標時,替換衛(wèi)星所需的最短時間為8.8 h,最長替換時間為18.5 h,極大地縮短了替換所需的時間。同時,替換所需的速度增量雖然比以速度增量最小為優(yōu)化目標時的大,但速度增量最大值為1.16 km/s,最小值為0.14 km/s,仍處于較低水平。

        圖10 以替換時間最少為優(yōu)化目標的優(yōu)化設計結果Fig.10 Optimization results with the minimum replacement time as the optimization objective

        2.4 結果分析

        基于上述對兩種替換方案的分析可得,以速度增量最少為優(yōu)化目標的軌道機動方案,雖然所需的能量較少,但是替換所需的時間較長,適用于主要考慮節(jié)省能量的星座;而對于需要快速恢復服務性能的導航星座而言,該替換方案并不十分合適。而以替換時間最少為優(yōu)化目標的軌道機動方案,其最長的替換時間和最短的替換時間分別降低了86.25%和93.04%,因此該方案能夠在很大程度上減少替換時間;同時,速度增量較以速度增量最小為優(yōu)化目標的替換方案有所增加,備份星單次機動的速度增量最大值為0.58 km/s,最小值為0.07 km/s,而對于衛(wèi)星軌道機動而言,該值仍保持在較低水平。綜合兩種替換方案,本文選用以替換時間最少為優(yōu)化目標的替換方案作為在軌備份星替換的最終方案。

        3 結束語

        本文對中軌道Walker導航星座在軌備份方案進行了優(yōu)化設計,得到以下結論:

        1)NSGA-Ⅱ多目標優(yōu)化算法能夠有效實現(xiàn)在軌備份星軌位最優(yōu)解的快速求解,最終在軌備份星軌位的最優(yōu)解為:f1,1=202.9°,f1,2=247.9°,f2,1=263.4°,f2,2=306.6°,f3,1=142.5°,f3,2=97.5°。

        2)按照本文所得的軌位設計方案進行在軌備份星的部署,可以顯著提高導航星座的服務性能,在回歸周期內,導航星座在全球服務區(qū)域上的PDOP值和可見衛(wèi)星數(shù)的平均值分別降低了11.3%和提高了25%。

        3)通過分析比較以速度增量最少和以替換時間最少為優(yōu)化目標的替換方案,可得以替換時間最少為優(yōu)化目標的替換方案能夠在短時間內以較低的能量完成衛(wèi)星的替換,更符合導航星座的需求。

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