劉彧奇，譚雨莎，韋先濤，張 權(quán)，趙 偉，朱 玲

(1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 地球和空間科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230026；2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院，安徽 合肥 230026)

單擺實(shí)驗(yàn)是一個(gè)非常經(jīng)典的物理實(shí)驗(yàn)，根據(jù)擺的等時(shí)性原理制造的機(jī)械鐘將人類的計(jì)時(shí)精度提高了近100倍[1-2]. 在用單擺測(cè)量重力加速度實(shí)驗(yàn)中，由于擺長(zhǎng)不易準(zhǔn)確測(cè)得，導(dǎo)致重力加速度的測(cè)量精度無法做到很高，一般只能達(dá)到1%左右.

本實(shí)驗(yàn)希望通過對(duì)實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行改進(jìn)，將直接測(cè)量單擺擺長(zhǎng)改進(jìn)為測(cè)量擺長(zhǎng)的改變量，提高長(zhǎng)度的測(cè)量精度；通過擬合擺長(zhǎng)改變量(ΔL)與單擺周期平方(T2)之間的線性關(guān)系，獲得重力加速度，并探討改進(jìn)擺線材料、測(cè)量方法、計(jì)算方法，使實(shí)驗(yàn)誤差進(jìn)一步減小，實(shí)際的實(shí)驗(yàn)誤差可控制在0.1%以內(nèi).

1 實(shí)驗(yàn)部分

1.1 實(shí)驗(yàn)器材

在傳統(tǒng)單擺實(shí)驗(yàn)裝置的基礎(chǔ)上，添加了游標(biāo)卡尺和光電門，分別測(cè)量單擺擺長(zhǎng)的改變量和單擺周期.同時(shí)考慮到實(shí)驗(yàn)中需要改變擺線的長(zhǎng)度、光電門的位置，本文設(shè)計(jì)了擺長(zhǎng)調(diào)節(jié)裝置和配套的可移動(dòng)光電門，用于追蹤擺球的移動(dòng). 實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示. 擺線通過固定旋鈕后與游標(biāo)卡尺的游標(biāo)連接在一起.

圖1 改進(jìn)后的單擺實(shí)驗(yàn)裝置圖

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)采用不同材質(zhì)、直徑的擺線對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大影響，主要是由于擺線的質(zhì)量不可忽略，并且擺線并非完全無彈性，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)過程中擺線的改變量并不完全等于兩次游標(biāo)卡尺的讀數(shù)之差. 因此本文對(duì)不同材質(zhì)、不同直徑的擺線進(jìn)行了多次重復(fù)測(cè)量. 采用的擺線共有5種，如表1所示.

表1 擺線的材料和直徑D

1.2 長(zhǎng)度測(cè)量

直接測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)由于采用毫米刻度尺，且擺長(zhǎng)的起止位置難以精確確定，其測(cè)量精度較低. 因此本實(shí)驗(yàn)的測(cè)量方案改為用游標(biāo)卡尺精確測(cè)量每次擺長(zhǎng)的改變量.

實(shí)驗(yàn)中擺線長(zhǎng)度的變化范圍在32 cm～62 cm.確定擺長(zhǎng)范圍后，受擺球直徑和光電門尺寸的限制，每次實(shí)驗(yàn)中，使振幅約為2.7 cm，這樣可以保證擺動(dòng)的最大角度小于5°.

由于擺長(zhǎng)固定時(shí)，連接處細(xì)線的靜摩擦力向上. 在改變擺長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)使連接處的滑動(dòng)摩擦力也向上，和靜摩擦力保持同一方向，故采取逐步增大擺長(zhǎng)的方式測(cè)量.

1.3 時(shí)間測(cè)量

實(shí)驗(yàn)中用光電門測(cè)單擺擺動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)和周期數(shù)，采用的數(shù)字計(jì)時(shí)器是4位數(shù)顯.實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在不同擺長(zhǎng)下測(cè)單擺擺動(dòng)10個(gè)周期的時(shí)長(zhǎng)時(shí)，擺長(zhǎng)較短測(cè)得的時(shí)間不足10 s，因而光電門的測(cè)量數(shù)據(jù)可以精確到0.001 s；而擺長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)測(cè)得的時(shí)間超過10 s，光電門的測(cè)量數(shù)據(jù)只能精確到0.01 s. 為了保證實(shí)驗(yàn)的較高精度，應(yīng)使得在擺長(zhǎng)較短或較長(zhǎng)時(shí)光電門的測(cè)量數(shù)據(jù)都可以精確到0.001 s(時(shí)長(zhǎng)小于10 s)，故單擺周期的選擇受到了一定限制. 進(jìn)一步考慮到為了減小實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偶然性，實(shí)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)多次重復(fù)測(cè)量，單擺周期數(shù)選在4～8個(gè)周期內(nèi)可以滿足上述要求. 通過控制變量，對(duì)于每一個(gè)擺長(zhǎng)分別取測(cè)量4、6、8個(gè)周期的時(shí)長(zhǎng)，記為4T、6T和8T.擺動(dòng)周期的平均值(nT)/n(n=4, 6, 8)如表2所示，其中L為游標(biāo)卡尺的讀數(shù). 綜合三組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)周期測(cè)量的偏差都小于0.1%，在后續(xù)的實(shí)驗(yàn)中都統(tǒng)一測(cè)量6個(gè)周期的時(shí)長(zhǎng).

表2 在同一擺長(zhǎng)處取不同周期數(shù)時(shí)的平均擺動(dòng)周期

2 計(jì)算方法

從單擺測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)原理出發(fā)，擺球的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

得到單擺周期為[3-5]

(2)

(3)

在本實(shí)驗(yàn)中，通過多次改變擺長(zhǎng)測(cè)量重力加速度g. 設(shè)單擺初始擺長(zhǎng)為L(zhǎng)0，擺長(zhǎng)改變量為ΔL

(4)

(5)

推出

(6)

多次改變?chǔ)的大小，測(cè)出對(duì)應(yīng)的T. 如對(duì)ΔL(或L0+ΔL)和T2做直線擬合可得到斜率k，則可得重力加速度g為

g=4π2k

(7)

3 結(jié)果與討論

3.1 兩種改變擺長(zhǎng)方式的對(duì)比分析

用同一種魚線分別采取擺長(zhǎng)逐漸增大和逐漸減小的方式，對(duì)重力加速度進(jìn)行測(cè)量，每個(gè)擺長(zhǎng)下重復(fù)測(cè)量周期5次，測(cè)量得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(游標(biāo)卡尺讀數(shù)L及6個(gè)擺動(dòng)周期的時(shí)長(zhǎng)6T)分別記錄在表3和表4中. 通過對(duì)數(shù)據(jù)擬合處理，可以得到重力加速度g.

表3 擺長(zhǎng)逐漸增大的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表4 擺長(zhǎng)逐漸減小的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

從魚線測(cè)量的數(shù)據(jù)可以看出，擺長(zhǎng)逐漸增大比擺長(zhǎng)逐漸減小時(shí)測(cè)得的重力加速度值更加接近公認(rèn)值，誤差更小. 此實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了先前在長(zhǎng)度測(cè)量部分的設(shè)想，即在改變擺長(zhǎng)時(shí)應(yīng)使連接處的滑動(dòng)摩擦力也向上，和擺長(zhǎng)不變時(shí)的靜摩擦力保持同一方向. 因而采取擺長(zhǎng)逐漸增大的方式測(cè)量.

3.2 不同直徑、不同材質(zhì)的擺線的比較

實(shí)驗(yàn)中選取了不同直徑不同材質(zhì)的線共5種，分別將其作為擺線，進(jìn)行多次測(cè)量，每一種線測(cè)量5次，得到重力加速度g值，比較擺線的質(zhì)量和彈性對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響.

這5種線分別為：直徑0.20 mm 魚線、直徑0.25 mm魚線、直徑0.30 mm魚線、直徑0.25 mm尼龍線、直徑0.30 mm尼龍線.

以直徑0.30 mm尼龍線的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，表5是實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的原始數(shù)據(jù). 對(duì)ΔL和T2線性擬合，所得結(jié)果如圖2所示，得到斜率k=249.8 mm/s2，置信概率為0.95時(shí)的誤差uk=0.5 mm/s2，則重力加速度g=9.862 m/s2，測(cè)量誤差ug=0.020 m/s2，相對(duì)誤差ug/g=0.0020. 查得合肥地區(qū)的重力加速度為9.7947 m/s2，因此可算得測(cè)量結(jié)果與公認(rèn)值之間的相對(duì)偏差ur為6.9×10-3. 表6列出了直徑分別為0.25 mm、0.30 mm的尼龍線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果、測(cè)量的相對(duì)誤差以及測(cè)量值與公認(rèn)值之間的相對(duì)偏差. 圖3是直徑分別為0.25 mm、0.30 mm的尼龍線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果分布圖.

表5 直徑0.30 mm尼龍線的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖2 直徑0.30 mm尼龍線的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合圖

表6 不同直徑(D)尼龍線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果、測(cè)量的相對(duì)誤差ug/g，以及測(cè)量值與公認(rèn)值之間的相對(duì)偏差ur

圖3 直徑分別為0.25 mm、0.30 mm的尼龍線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖中實(shí)心三角形、空心正方形分別對(duì)應(yīng)直徑0.25 mm尼龍線、直徑0.30 mm尼龍線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，長(zhǎng)虛線是理論重力加速度值，兩條短虛線是理論重力加速度值的千分之一誤差的上下限)

表7列出了直徑分別為0.20 mm、0.25 mm、0.30 mm的魚線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果、測(cè)量的相對(duì)誤差以及測(cè)量值與公認(rèn)值之間的相對(duì)偏差，圖4為直徑分別為0.20 mm、0.25 mm、0.30 mm的魚線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果分布圖.

表7 不同直徑(D)魚線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果、測(cè)量的相對(duì)誤差ug/g以及測(cè)量值與公認(rèn)值之間的相對(duì)偏差ur

圖4 直徑分別為0.20 mm、0.25 mm、0.30 mm的魚線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖中空心正方形、實(shí)心圓圈、實(shí)心三角形分別對(duì)應(yīng)直徑0.25 mm魚線、直徑0.30 mm魚線、直徑0.20 mm魚線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，三條虛線的物理含義同圖3)

在兩種不同直徑的尼龍線中，直徑0.30 mm的尼龍線測(cè)得的重力加速度g值更接近準(zhǔn)確值. 在三種不同直徑的魚線中，直徑0.20 mm的魚線測(cè)得的重力加速度g值最接近準(zhǔn)確值，直徑0.30 mm的魚線次之，直徑0.25 mm的魚線測(cè)得的重力加速度g值誤差最大. 其中以直徑0.20 mm的魚線為擺線所測(cè)得的重力加速度g與公認(rèn)值之間的偏差都在0.1%左右，其中80%測(cè)量值的偏差在0.1%以內(nèi)，獲得了較高的測(cè)量精度.

表8列出了直徑同為0.25 mm的尼龍線和魚線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果、測(cè)量的相對(duì)誤差以及測(cè)量值與公認(rèn)值之間的相對(duì)偏差，圖5為直徑同為0.25 mm的尼龍線和魚線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果分布圖.

表8 直徑為0.25 mm的尼龍線和魚線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果、測(cè)量的相對(duì)誤差ug/g以及測(cè)量值與公認(rèn)值之間的相對(duì)偏差ur

圖5 直徑為0.25 mm的尼龍線和魚線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖中實(shí)心三角形、空心正方形分別對(duì)應(yīng)直徑0.25 mm尼龍線、直徑0.25 mm魚線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，三條虛線的物理含義同圖3)

表9列出了直徑同為0.30 mm的尼龍線和魚線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果、測(cè)量的相對(duì)誤差以及測(cè)量值與公認(rèn)值之間的相對(duì)偏差，圖6為直徑同為0.30 mm的尼龍線和魚線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果分布圖.

表9 直徑為0.30 mm的尼龍線和魚線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果、測(cè)量的相對(duì)誤差ug/g以及測(cè)量值與公認(rèn)值之間的相對(duì)偏差ur

圖6 直徑為0.30 mm的尼龍線和魚線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖中實(shí)心圓圈、實(shí)心三角形分別對(duì)應(yīng)直徑0.30 mm尼龍線、直徑0.30 mm魚線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，三條虛線的物理含義同圖3)

在兩種不同材質(zhì)的擺線中，無論直徑為0.25 mm還是0.30 mm，采用魚線測(cè)得的重力加速度g值均優(yōu)于采用尼龍線測(cè)量的結(jié)果.

通過以上幾組數(shù)據(jù)的分析可以發(fā)現(xiàn)：

1) 直徑相同時(shí)，魚線的測(cè)量結(jié)果明顯優(yōu)于尼龍線. 由于尼龍線是由三股細(xì)線繞制而成，實(shí)驗(yàn)時(shí)擺線的旋轉(zhuǎn)不可避免，尼龍線越收越緊，擺線長(zhǎng)度的實(shí)際變化量與測(cè)量值偏差較大，并且尼龍線質(zhì)量相對(duì)較大，因此實(shí)驗(yàn)誤差相對(duì)較大.

2) 不同直徑的擺線對(duì)測(cè)量值的影響并不與直徑呈線性相關(guān). 擺線直徑增大時(shí)，其質(zhì)量增大，會(huì)增大實(shí)驗(yàn)誤差，但根據(jù)楊氏模量E的定義公式E=FL/SL. 對(duì)于材料相同、直徑不同的擺線，在擺線長(zhǎng)度L和擺線受力F相同的情況下，擺線直徑增大時(shí)，即橫截面積S增大時(shí)，擺線因受力產(chǎn)生的形變量ΔL減小，因擺線伸長(zhǎng)而帶來的實(shí)驗(yàn)誤差減小.因此對(duì)于材料相同、直徑不同的擺線，不同直徑導(dǎo)致以上兩方面的差異都會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成影響.

3.3 考慮單擺周期公式的一階小量后對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響

由單擺周期公式(2)，當(dāng)θ很小時(shí)，近似得到公式(3). 在考慮單擺周期公式中的一階小量之后，近似為

對(duì)直徑0.25 mm的魚線數(shù)據(jù)進(jìn)行一階小量的修正，結(jié)果如圖7.

圖7 直徑0.25 mm魚線，考慮單擺周期公式的一階小量前后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖中空心正方形、實(shí)心三角形分別對(duì)應(yīng)直徑0.25 mm魚線考慮一階小量修正前后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，三條虛線的物理含義同圖3)

考慮單擺周期公式的一階小量修正后的結(jié)果比未修正前(即忽略一階及以上小量)的結(jié)果更接近真實(shí)值(實(shí)驗(yàn)編號(hào)5的數(shù)據(jù)可認(rèn)為是實(shí)驗(yàn)的偶然性).但是否考慮單擺周期公式的一階小量對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響遠(yuǎn)小于擺線的直徑和材質(zhì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響.

4 結(jié)論

通過將直接測(cè)量單擺擺長(zhǎng)改進(jìn)為測(cè)量擺長(zhǎng)的改變量，可以提高重力加速度的測(cè)量精度，最佳實(shí)驗(yàn)條件下重力加速度的測(cè)量精度可達(dá)到0.1%. 在實(shí)驗(yàn)測(cè)量過程中，改變擺長(zhǎng)時(shí)應(yīng)使擺長(zhǎng)逐漸增大.

在本文選取的5種不同的線中，直徑0.20 mm的魚線測(cè)量結(jié)果最優(yōu). 考慮單擺周期公式的一階小量后使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果更接近準(zhǔn)確值. 但是否考慮單擺周期公式的一階小量對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響遠(yuǎn)小于擺線的直徑和材質(zhì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響.