邵 云，徐詩燁

(南京曉莊學(xué)院 電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171)

目前已有不少學(xué)者對于非相對論下均勻斜交電磁場中正電荷的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)[1-4]等，但是若從物理圖像和便于理解的角度來說，僅有少數(shù)文獻(xiàn)做到了這一點(diǎn)，如文獻(xiàn)[1]等.多數(shù)文獻(xiàn)(包括本文未引用的一些文章)均采用了求解微分方程組的方法，雖然求解并不復(fù)雜，但是其后續(xù)的物理分析卻相當(dāng)費(fèi)力：圖像不夠清晰且不容易獲得較全面的結(jié)論.此外，包括文獻(xiàn)[1]在內(nèi)的大多數(shù)文獻(xiàn)的內(nèi)容都顯得不夠完整，它們或者缺少系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析[1]，或者缺少必要的計(jì)算過程、作圖、分析探究等，甚至原理的闡述也存在錯(cuò)誤[1].本文將總體沿襲文獻(xiàn)[1]從物理圖像上進(jìn)行分析的思路，對均勻斜交電磁場中正電荷的運(yùn)動(dòng)狀況進(jìn)行更深入細(xì)致的研究，力求形成既形象又完整的認(rèn)識.

1 正電荷在均勻斜交電磁場中的動(dòng)力學(xué)分析

如圖1所示，為便于分析與計(jì)算，設(shè)磁場B沿z軸正方向，電場E在yz平面內(nèi)，與磁場方向成α夾角；并設(shè)開始時(shí)(t=0)點(diǎn)電荷+q位于坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，初速度為v0(圖中未畫出).將E、v0分別在平行與垂直于磁場的方向進(jìn)行投影，得

E=E//+E⊥

(1)

v0=v0//+v0⊥

(2)

圖1 均勻斜交電磁場中點(diǎn)電荷+q的初速度分解

設(shè)點(diǎn)電荷+q的質(zhì)量為m，則它在圖1所示均勻電磁場中的動(dòng)力學(xué)矢量方程為

(3)

其中點(diǎn)電荷在任意時(shí)刻的速度矢量v亦可分解為

v=v//+v⊥

(4)

將式(1)、式(4)代入式(3)得

(5)

其中已考慮到v//×B=0.鑒于(v⊥×B)⊥B始終成立，因此式(5)可分解為

(6)

(7)

式(6)意味著點(diǎn)電荷+q沿磁場方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng).對于式(7)，可設(shè)計(jì)一個(gè)沿x軸正方向的恒定速度v1，如圖1中所示，使得

E⊥+v1×B=0

(8)

易見v1的大小為

(9)

于是式(7)可修改為

(10)

再設(shè)

v′⊥=v⊥-v1

(11)

(12)

顯然，v′⊥表達(dá)的是一個(gè)在洛倫茲力的作用下在xy平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.至此，我們已將速度矢量v分解成

v=v//+v⊥=v//+v1+v′⊥

(13)

即將點(diǎn)電荷+q在電磁場中的運(yùn)動(dòng)分解為：沿磁場B方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，見式(6)；沿x軸方向速度為v1的勻速直線運(yùn)動(dòng)；xy平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，見式(12).

圖1和2中已標(biāo)出勻速率圓周運(yùn)動(dòng)速度v′⊥的初矢量v′0⊥，它不僅依賴于電荷的初速度v0(或v0⊥)，還依賴于引入速度v1，可稱之為xy平面內(nèi)的“相對初速度”.若設(shè)v0=v0xi+v0yj+v0zk，結(jié)合圖1、圖2，便得速率：

(14)

圖2 點(diǎn)電荷+q在xy平面內(nèi)的分運(yùn)動(dòng)之一——?jiǎng)蛩俾蕡A周運(yùn)動(dòng)

以及v′⊥與x軸正方向的初始夾角：

(15)

2 正電荷在均勻斜交電磁場中的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

根據(jù)速率表達(dá)式(14)可得圖2中勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

(16)

圓頻率為

(17)

圓心C的坐標(biāo)為

xC=Rsinβ

(18)

yC=-Rcosβ

(19)

設(shè)點(diǎn)電荷+q在任意t時(shí)刻的實(shí)際空間坐標(biāo)為(x,y,z)，結(jié)合初始條件及圖1，由式(6)可得點(diǎn)電荷在z方向上的運(yùn)動(dòng)方程為

(20)

結(jié)合初始條件及圖2，由式(11)又可得點(diǎn)電荷在xy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程為

x(t)=v1t+xC+Rsin(ωt-β)

(21)

y(t)=yC+Rcos(ωt-β)

(22)

這里需要說明一下，點(diǎn)電荷在xy平面內(nèi)的初速度分量v0x、v0y已融入圓周運(yùn)動(dòng)諸參量，故而它們未在式(21)、(22)中顯現(xiàn).將式(9)、(15)—(19)代入式(21)、(22)，整理可得

(23)

(24)

式(20)、(23)、(24)便構(gòu)成了點(diǎn)電荷+q在均勻電磁場中的整個(gè)空間運(yùn)動(dòng)方程.

倘若點(diǎn)電荷+q的初速度v0=0，則運(yùn)動(dòng)方程式(20)、(23)、(24)分別簡化為

(25)

(26)

(27)

3 正電荷在xy平面內(nèi)的投影運(yùn)動(dòng)軌跡及分析

鑒于點(diǎn)電荷+q在磁場方向也即z軸方向做簡單而獨(dú)立的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，見式(20)，因此我們只需考察它在xy平面內(nèi)的投影運(yùn)動(dòng)，即可了解不同初速度情形下各種運(yùn)動(dòng)的差別.

(28)

(29)

下面將取不同的初速度分量v0x、v0y(單位為E/B)分別討論點(diǎn)電荷在xy平面內(nèi)的投影運(yùn)動(dòng)軌跡.

1)v0x=0，v0y=0

這實(shí)際上是電荷的初速度沿磁場方向的情形，此時(shí)式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5(t-sint)

(30)

y(t)=0.5(1-cost)

(31)

正如上文所言，此時(shí)電荷在xy平面內(nèi)的軌跡為一圓滾線，如下文圖3所示.

2)v0x=v1=0.5，v0y=0

這時(shí)電荷在xy平面內(nèi)的初速度恰為v1，式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5t

(32)

y(t)=0

(33)

顯然，這時(shí)電荷在xy平面內(nèi)因受力平衡而沿x軸做速度為v1的勻速直線運(yùn)動(dòng).

3)v0x=1.5v1=0.75，v0y=0

這時(shí)式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5t+0.25sint

(34)

y(t)=-0.25(1-cost)

(35)

4)v0x=0.5v1=0.25，v0y=0

這時(shí)式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5t-0.25sint

(36)

y(t)=0.25(1-cost)

(37)

5)v0x=2v1=1，v0y=0

這時(shí)式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5(t+sint)

(38)

y(t)=-0.5(1-cost)

(39)

可見此時(shí)電荷在xy平面內(nèi)的軌跡也是一圓滾線，形狀與1)情形相同.

6)v0x=-v1=-0.5，v0y=0

這時(shí)電荷在xy平面內(nèi)的初速度沿x軸負(fù)方向，式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5t-sint

(40)

y(t)=1-cost

(41)

這時(shí)電荷在xy平面內(nèi)的初速度沿y軸正方向，式(28)、(29)簡化為

(42)

(43)

8)v0x=v1=0.5，v0y=2v1=1

這時(shí)電荷在xy平面內(nèi)的初速度沿0.5i+j方向，式(28)、(29)簡化為

x(t)=0.5t+1-cost

(44)

y(t)=sint

(45)

將上面1)～6)6種情形下電荷在xy平面內(nèi)的軌跡一同繪于圖3，而將6)～8)3種情形(v′0⊥相等)下的軌跡繪于圖4.

圖3 v0y=0而v0x取幾個(gè)典型值時(shí)點(diǎn)電荷+q在xy平面內(nèi)的投影運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4 v′0⊥相同而v0x、v0y取不同值時(shí)點(diǎn)電荷+q在xy平面內(nèi)的投影運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3中的短幅圓滾線、圓滾線、長幅圓滾線軌跡分別對應(yīng)于“相對初速度”大小也即圓周運(yùn)動(dòng)速率v′0⊥v1這三種情形，其中原因不言而喻.

(46)

式(46)右邊()內(nèi)便是上文所述長度單位，因此圖3、圖4中共同周期Δx的數(shù)值為π.

4 正電荷的空間運(yùn)動(dòng)軌跡

根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程式(20)、(23)、(24)可作出點(diǎn)電荷+q在空間的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了一般起見，取初速度分量v0x=v0y=v0z=2v1=1 (E/B)作為特例，α依然取30°，則上述運(yùn)動(dòng)方程式可“約化”并簡化為

(47)

x(t)=0.5t+0.5sint-cost+1

(48)

y(t)=0.5cost+sint-0.5

(49)

圖5 初速度分量取v0x=v0y=v0z=2v1=1 (E/B)時(shí)點(diǎn)電荷+q 的空間軌跡

(50)

由第3節(jié)的結(jié)論可知，除了初速度分量v0x=v1=0.5 (E/B),v0y=0的情形下電荷的空間軌跡是2維曲線外，其他初速情形下的空間軌跡皆與圖5中類似.

5 關(guān)于均勻正交電磁場(E⊥B)情形下3種特殊情況的討論

對于常見的均勻正交電磁場情形，參見圖1，有α=90°，則式(20)、(23)、(24)約簡為

z(t)=v0zt

(20′)

(23′)

(24′)

5.1 E⊥B,v0//E的情形

此時(shí)有v0x=v0z=0,v0y=v0，將其代入式(20′)、(23′)、(24′)，化簡可得

(51)

按照第3節(jié)中的分析，由于這時(shí)圖1中的“相對初速度”也即圖2中的圓周運(yùn)動(dòng)速率

由圖3、圖4可知，此時(shí)點(diǎn)電荷+q的空間軌跡與圖4中標(biāo)記為(0,1.732v1)的投影軌跡類似，均為xy平面內(nèi)的長幅圓滾線.

5.2 E⊥B, v0//B的情形

此時(shí)有v0x=v0y=0,v0z=v0，將其代入式(20′)、(23′)、(24′)，化簡得

(52)

其中后兩分式其實(shí)就是上文第2節(jié)中式(26)、(27)令α=90°.于是可見，點(diǎn)電荷+q在xy平面內(nèi)做類似于圖3中標(biāo)記為0的嚴(yán)格圓滾線運(yùn)動(dòng)，在z軸方向則做v0速度的勻速運(yùn)動(dòng).

5.3 E⊥B, v0//(E×B)的情形

此時(shí)有v0x=v0,v0y=v0z=0，代入式(20′)、(23′)、(24′)整理得

(53)

本節(jié)的內(nèi)容在文獻(xiàn)[3]中曾有類似的討論，結(jié)果一致.雖然本節(jié)運(yùn)動(dòng)方程式(51)—(53)都比較簡單，并且通過觀察也能發(fā)現(xiàn)電荷在xy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是兩種運(yùn)動(dòng)的疊加[7]，但是其中的物理機(jī)制、圖像卻不甚明朗，仍需借助第1—3節(jié)中的分析結(jié)論(包括圖1—4)來闡述.

6 總結(jié)與說明

不同于多數(shù)文獻(xiàn)所采用的直接求解微分方程組的思路，本文采用的是速度矢量分解和代換的分析方法，將點(diǎn)電荷+q在均勻斜交電磁場中的運(yùn)動(dòng)分解為：沿磁場方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng);垂直于電、磁場方向的勻速直線運(yùn)動(dòng);垂直于磁場方向的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而分析得到電荷的運(yùn)動(dòng)方程.該方法物理圖像清晰，容易掌握，更便于后續(xù)的運(yùn)動(dòng)狀況分類及分析，見本文第3節(jié).

本文引入代換式(11)即v⊥=v1+v′⊥，將電荷在xy平面內(nèi)的投影運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解的物理本質(zhì)是：采用速度為v1的平動(dòng)參考系來平衡電場力E⊥q，消去E⊥的影響[8]，于是就只剩下圖2中洛倫茲力作用下的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)了.