龔柏春，張德港，張偉夫，苑艷華，陳修橋

（1. 南京航空航天大學(xué)，南京210016；2. 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109；

3. 北京控制與電子技術(shù)研究所，北京100038；4. 中國(guó)人民解放軍32032部隊(duì)，北京100094）

當(dāng)前，地球同步軌道的環(huán)境越來(lái)越復(fù)雜，大量增加的失效衛(wèi)星、故障衛(wèi)星、碎片以及太空武器等（統(tǒng)稱為空間非合作目標(biāo)）給在軌現(xiàn)役衛(wèi)星帶來(lái)各種主被動(dòng)安全威脅。為了應(yīng)對(duì)空間非合作目標(biāo)的安全威脅，各國(guó)都在大力發(fā)展包括空間態(tài)勢(shì)感知、在軌服務(wù)等在內(nèi)的空間安全技術(shù)，而對(duì)目標(biāo)進(jìn)行及時(shí)、長(zhǎng)時(shí)、精確的相對(duì)導(dǎo)航（或稱相對(duì)軌道確定）則是關(guān)鍵前提技術(shù)。

通常，能用于對(duì)空間非合作目標(biāo)進(jìn)行相對(duì)測(cè)量的敏感器包括微波雷達(dá)、激光雷達(dá)、光學(xué)相機(jī)等。其中，微波雷達(dá)、激光雷達(dá)等系統(tǒng)因?yàn)橄到y(tǒng)復(fù)雜、造價(jià)昂貴、能耗大等缺點(diǎn)難以在快速響應(yīng)的中小型衛(wèi)星上配備。而光學(xué)相機(jī)因?yàn)槠渚哂泻?jiǎn)單可靠、體積小、重量輕、功耗低、全自主等特點(diǎn)已經(jīng)被在軌衛(wèi)星廣泛應(yīng)用。同時(shí)，光學(xué)相機(jī)的無(wú)源測(cè)量也具有很好的隱蔽性，相比雷達(dá)更加適合在空間攻防領(lǐng)域的應(yīng)用。然而，也正是因?yàn)楣鈱W(xué)相機(jī)的無(wú)源測(cè)量，使得其只能獲取目標(biāo)的視線角信息，缺少測(cè)距信息，這就產(chǎn)生了僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航的狀態(tài)不可觀測(cè)/弱可觀測(cè)的問(wèn)題[1]。國(guó)內(nèi)外的學(xué)者從多個(gè)角度對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了研究。

Wang[2]和Chen[3]等人提出了一種雙視線測(cè)量的僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航實(shí)現(xiàn)方法，Han等[4]對(duì)此方法提出了顯著提高距離狀態(tài)可觀測(cè)度和估計(jì)性能的優(yōu)化方法,該方法通過(guò)配置輔助測(cè)量航天器形成測(cè)量基線，從而來(lái)引入距離信息，雙星編隊(duì)獲取測(cè)量基線“邊”，然后與雙星同時(shí)測(cè)量的視線角一起以“角邊角”的方式確定三角形的形狀，也就解決了相對(duì)距離在可觀測(cè)性方面的問(wèn)題，但是這種方法需要至少2顆衛(wèi)星，增加了成本支出。Anjaly[4]提出了利用軌道機(jī)動(dòng)信息進(jìn)行距離估計(jì)的思想，研究了可觀測(cè)性最優(yōu)的機(jī)動(dòng)方式，但是軌道機(jī)動(dòng)法約束了實(shí)際操作任務(wù)中相對(duì)軌道制導(dǎo)的自由度，同時(shí)也帶來(lái)了更多的燃料消耗與安全風(fēng)險(xiǎn)，Gao等[6]驗(yàn)證了軌道機(jī)動(dòng)對(duì)可觀測(cè)性的影響，Klein[7]提出了一種利用測(cè)量相機(jī)安裝存在偏離航天器質(zhì)心的現(xiàn)象，解決距離可觀測(cè)性的新思路和新方法——相機(jī)偏置法，在相機(jī)偏置法的基礎(chǔ)上，Gong等[8]建立了基于無(wú)跡卡爾曼濾波的僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航算法，Du等[9]提出了快速獲得僅測(cè)角相對(duì)定軌解的方法。相機(jī)偏心距離足夠大的時(shí)候就可以提供距離的可觀測(cè)性，但是相機(jī)偏置法有效作用范圍取決于相機(jī)偏離航天器質(zhì)心的距離，通常這個(gè)距離比較小，因此只適用于近距離探測(cè)的情況。Kaufman等[10]從笛卡爾坐標(biāo)系下二階非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)出發(fā)，通過(guò)采用高階李導(dǎo)數(shù)研究了僅測(cè)角相對(duì)軌道確定的非線性可觀測(cè)性問(wèn)題。Li等[11]說(shuō)明了通過(guò)非線性模型可以解決原本僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航在笛卡爾坐標(biāo)系下不可觀測(cè)的問(wèn)題。Gaias等[12]在相對(duì)軌道要素模型下探討了僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航問(wèn)題，分離了不可觀測(cè)的軌道要素。Han等[12]建立了球坐標(biāo)下的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，采用了UKF算法，推導(dǎo)了濾波參數(shù)的計(jì)算方法。然而，非線性動(dòng)力學(xué)模型的非線性強(qiáng)弱會(huì)直接決定可觀性的強(qiáng)弱，如果非線性太弱，則產(chǎn)生的效果很容易淹沒(méi)在測(cè)量誤差之中。

綜上，現(xiàn)有方法主要分成多敏感器協(xié)同測(cè)量、軌道機(jī)動(dòng)輔助、敏感器桿臂效應(yīng)輔助以及非線性動(dòng)力學(xué)等四類。多敏感器法需要至少兩顆衛(wèi)星協(xié)同測(cè)量，且對(duì)構(gòu)型有一定要求，增加了經(jīng)濟(jì)成本；軌道機(jī)動(dòng)輔助法增加了燃料消耗，也帶來(lái)了碰撞風(fēng)險(xiǎn)；敏感器桿臂效應(yīng)法限于桿臂長(zhǎng)度僅能適用于公里級(jí)的近程場(chǎng)景；非線性動(dòng)力學(xué)法從模型的角度提供可觀測(cè)性，犧牲一定的計(jì)算量來(lái)實(shí)現(xiàn)僅測(cè)角導(dǎo)航，但這對(duì)于目前高速發(fā)展的計(jì)算能力來(lái)說(shuō)已經(jīng)不是問(wèn)題。

因此，本文從利用非線性動(dòng)力學(xué)解決僅測(cè)角導(dǎo)航可觀測(cè)性的角度出發(fā)，研究在軌道曲率捕獲能力更強(qiáng)的曲線坐標(biāo)系下建立相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型并用于僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航。下面將先建立柱面坐標(biāo)系下的航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型以及視線角測(cè)量模型，然后進(jìn)行相對(duì)軌道狀態(tài)的可觀測(cè)性分析，接著引入平方根容積卡爾曼濾波建立非線性濾波算法、并設(shè)計(jì)長(zhǎng)航時(shí)導(dǎo)航方案，最后對(duì)所提出的算法進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

美國(guó)學(xué)者Geller等[14]在柱面坐標(biāo)系下建立了二維平面情況下的航天器相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型，本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，在柱面坐標(biāo)系下建立三維空間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型。如圖1和圖2所示，首先，建立一個(gè)與主星（Chief）初始軌道平面重合的固定參考軌道平面，這個(gè)平面的法線將用單位矢量iz表示，在參考平面上的分量用2個(gè)極坐標(biāo)的單位矢量iρc、iθc表示。因此，三維空間的位置矢量可由iρc、iz和iθc線性組合表示。

圖1 柱面坐標(biāo)系下的X-Y平面示意圖Fig.1 Schematic diagram of 2D in cylindrical coordinate

圖2 柱面坐標(biāo)系下的三維示意圖Fig.2 Schematic diagram of 3D in cylindrical coordinate

以主星為例，將地心與衛(wèi)星的連線用矢量表示，并求1階和2階導(dǎo)數(shù)后可得：

將這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程與二體動(dòng)力學(xué)方程在柱面坐標(biāo)系下的表示形式做比對(duì)即可得到柱面坐標(biāo)系下的軌道動(dòng)力學(xué)方程：

類似的，可以得到從星（deputy）在柱面坐標(biāo)系下的軌道動(dòng)力學(xué)方程。

定義相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為：

那么相對(duì)狀態(tài)的二階導(dǎo)數(shù)為：

令柱面坐標(biāo)系下的相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量為：

則相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型可以寫成如下的非線性形式。

后續(xù)的導(dǎo)航濾波估計(jì)中將采用式(8)進(jìn)行相對(duì)軌道狀態(tài)的演化。

2 量測(cè)方程

設(shè)相機(jī)測(cè)量得到的視線角為α和β，根據(jù)圖1、圖2所示的幾何關(guān)系可以得到測(cè)量角與相對(duì)狀態(tài)的關(guān)系式如下：

最終的測(cè)量方程建模為：

其中，α和β相對(duì)角度的真實(shí)值，vθ、wθ是對(duì)應(yīng)的測(cè)量噪聲，通常假設(shè)為零均值高斯白噪聲，d是主星和從星在主星軌道平面上投影的距離，可由其他參數(shù)計(jì)算得到，即。

對(duì)于主星軌道有傾角的情況，為了方便計(jì)算可按圖3所示關(guān)系對(duì)慣性系與近焦點(diǎn)系進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，從而與柱面坐標(biāo)系建立聯(lián)系。其中，近焦點(diǎn)坐標(biāo)系是以主星軌道所在平面為XY平面建立近焦點(diǎn)坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于地心，Z軸與軌道角動(dòng)量方向重合，X軸指向近地點(diǎn)，Y軸與XZ平面垂直構(gòu)成右手系；地心慣性坐標(biāo)系是X軸指向春分點(diǎn)，Z軸與地球旋轉(zhuǎn)軸重合，向北為正，Y軸與XZ平面垂直構(gòu)成右手系。

圖3 慣性系與近焦點(diǎn)系的關(guān)系示意圖Fig.3 Relation of the inertial system and the near focal system

3 可觀測(cè)性分析

通常，對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析可采用李導(dǎo)數(shù)的方式進(jìn)行。但是如式(8)(10)所示的柱面坐標(biāo)系下相對(duì)導(dǎo)航模型是包含三角函數(shù)在內(nèi)的強(qiáng)非線性模型，利用高階李導(dǎo)數(shù)證明可觀測(cè)性分析時(shí)會(huì)包含大量復(fù)雜的三角函數(shù)計(jì)算，很難在不進(jìn)行大量線性化的情況下獲得解析解，而線性化又會(huì)略去用來(lái)提供僅測(cè)角可觀測(cè)性的非線性項(xiàng)。因此，下面只對(duì)柱面系下的僅測(cè)角導(dǎo)航模型的可觀測(cè)性進(jìn)行定性分析。

文獻(xiàn)[1]中總結(jié)了僅測(cè)角相對(duì)軌道不可觀測(cè)的四個(gè)原因，其中之一便是線性化動(dòng)力學(xué)模型假設(shè)，也就是說(shuō)采用線性化動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行軌道演化時(shí)僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航是不可觀測(cè)的。而本文中柱面系下的僅測(cè)角導(dǎo)航模型是強(qiáng)非線性的，那么理論上可觀測(cè)性也越強(qiáng)。接下來(lái)分析模型對(duì)軌道曲率的捕獲能力。測(cè)量角有α和β，α和β的測(cè)量方程如式(10)所示，將α和β分別對(duì)ρrel、θrel、zrel求導(dǎo)，可以得到：

由式(11)-(13)可以看出，與采用常規(guī)的直角坐標(biāo)系下線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航不同，當(dāng)在柱面動(dòng)力學(xué)模型下進(jìn)行ρrel和θrel、zrel演化時(shí)，基于α和β角的視線矢量與狀態(tài)量之間的關(guān)系是強(qiáng)非線性的，所以根據(jù)α、β的變化就可以捕捉到ρrel和θrel、zrel的改變，這在一定程度上反應(yīng)了相對(duì)狀態(tài)的可觀測(cè)性。

另外，主星位于從星低軌和高軌時(shí)，具有不同的觀測(cè)效果，如圖4和圖5所示。

圖4 低軌觀測(cè)高軌示意圖Fig.4 Case of low orbit observes high orbit

圖5 高軌觀測(cè)低軌示意圖Fig.5 Case of high orbit observes low orbit

由圖4和圖5可以看到當(dāng)主星位于低軌道時(shí)，從主星觀測(cè)從星的視線矢量與從星的軌道只有一個(gè)交點(diǎn)。而當(dāng)主星位于高軌道時(shí)，觀測(cè)位于低軌道的從星，則視線會(huì)在從星軌道上有兩個(gè)交點(diǎn)（相位角不同），且當(dāng)主星位于高軌道時(shí)，從星在軌道上的位置和觀測(cè)角的變化關(guān)系更為復(fù)雜。也就是說(shuō)主星位于低軌道時(shí)，系統(tǒng)具有更好的觀測(cè)性。

4 基于SCKF的長(zhǎng)航時(shí)濾波估計(jì)方案

由式(8)和(10)表示的僅測(cè)角導(dǎo)航系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性，常用的擴(kuò)展卡爾曼濾波器（Extended Kalman Filter, EKF）存在線性化誤差累積導(dǎo)致的精度不高、穩(wěn)定性差等問(wèn)題，難以適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)[15]；無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)能夠適用于非線性導(dǎo)航系統(tǒng)[16,17]，但是只有二階精度。因此，本文采用適用于非線性系統(tǒng)的、精度更高的平方根容積卡爾曼濾波算法(SCKF)。

下面先簡(jiǎn)單介紹SCKF的主要計(jì)算步驟，然后給出長(zhǎng)航時(shí)條件下的僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航濾波方案。

4.1 SCKF濾波算法

容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter, CKF）算法是Arasaratnam和Haykin 2009年提出的一種非線性濾波算法[18]，其核心是采用三階球面-相徑容積規(guī)則近似非線性函數(shù)傳遞的后驗(yàn)均值和協(xié)方差，從數(shù)值積分的角度來(lái)進(jìn)行近似高斯積分。在采用CKF對(duì)模型進(jìn)行仿真時(shí)，協(xié)方差矩陣在運(yùn)算過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)非正定從而導(dǎo)致算法出錯(cuò)，而采用CKF的平方根形式SCKF，則可以避免這種問(wèn)題[18]。

在CKF的平方根形式中，誤差協(xié)方差的平方根Sk-1∣k-1是可用的，SCKF的算法流程如下所示：

時(shí)間更新：

1）求解容積點(diǎn)(i=1,2…m)

2）求解傳播容積點(diǎn)(i=1,2…m)

3）估計(jì)狀態(tài)預(yù)測(cè)值

4）估計(jì)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差的平方根因子

其中，SQ,k-1是Qk-1的平方根因子，關(guān)系式如下：

測(cè)量更新：

1）求解容積點(diǎn)(i=1,2 …m)

2）求解傳播容積點(diǎn)(i=1,2…m)

3）計(jì)算測(cè)量預(yù)測(cè)值

4）計(jì)算新的協(xié)方差矩陣平方根

其中，SR,k是Rk的平方根因子，關(guān)系式如下：

5）計(jì)算互協(xié)方差矩陣

6）計(jì)算濾波增益

7）狀態(tài)的測(cè)量更新

8）誤差協(xié)方差的平方根因子更新

這里將一般的三角化算法(如QR分解)表示為S=Tria(A)，其中S是下三角矩陣。矩陣A和S的關(guān)系如下：假設(shè)R是通過(guò)對(duì)AT的QR分解得到的上三角矩陣，則有S=RT。

4.2 長(zhǎng)航時(shí)濾波方案

在導(dǎo)航時(shí)長(zhǎng)較長(zhǎng)的情況下，誤差協(xié)方差的平方根形式的矩陣S會(huì)隨著時(shí)間推移逐漸趨近于0，從而使得濾波增益也逐漸趨于零，那么測(cè)量更新將失去對(duì)預(yù)測(cè)狀態(tài)的校正作用。也就是說(shuō)，在長(zhǎng)航時(shí)的情況下，采用常規(guī)濾波方案相對(duì)軌道狀態(tài)誤差最終會(huì)因?yàn)槌踔嫡`差、模型噪聲的累積而發(fā)散，這與系統(tǒng)可觀測(cè)性無(wú)關(guān)，是濾波算法使然。同時(shí)，當(dāng)主從星軌道存在高度差時(shí)，隨著長(zhǎng)時(shí)間的推移，主從星間的相位角之差會(huì)減小至零，根據(jù)測(cè)量模型(10)可知，當(dāng)相位角之差趨于零時(shí)，視線角也將會(huì)處于奇異狀態(tài)，必將使估計(jì)誤差發(fā)散。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)非合作目標(biāo)的長(zhǎng)航時(shí)穩(wěn)定跟蹤導(dǎo)航，必須解決上述兩個(gè)問(wèn)題。有研究表明在長(zhǎng)時(shí)間導(dǎo)航中濾波器定時(shí)重新啟動(dòng)會(huì)提升性能[19]，因此本文設(shè)計(jì)如下兩步操作方案：

（1）設(shè)置測(cè)量更新開(kāi)關(guān)，當(dāng)相對(duì)角度過(guò)小時(shí)（具體設(shè)置由仿真經(jīng)驗(yàn)設(shè)置）關(guān)閉測(cè)量更新，直到超出該范圍時(shí)重新打開(kāi)測(cè)量更新開(kāi)關(guān)；

（2）設(shè)置濾波器定時(shí)重啟開(kāi)關(guān)，即濾波器定時(shí)重新初始化，以開(kāi)關(guān)開(kāi)啟上一時(shí)刻的狀態(tài)值作為當(dāng)前時(shí)刻的濾波初值，重新設(shè)置估計(jì)誤差協(xié)方差平方根形式的矩陣S。濾波器重啟周期也將通過(guò)數(shù)值仿真進(jìn)行優(yōu)選。

5 數(shù)值仿真與分析

5.1 參數(shù)設(shè)置

本文以GEO軌道鄰域的態(tài)勢(shì)感知為背景設(shè)置相對(duì)運(yùn)動(dòng)。假設(shè)主星運(yùn)行在近圓軌道上，軌道參數(shù)如表1所示。從星在主星上方70公里高的軌道上，軌道偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)和近地點(diǎn)幅角等參數(shù)和主星相同，僅通過(guò)改變真近點(diǎn)角設(shè)置兩種相對(duì)運(yùn)動(dòng)工況。第一種工況從星初始時(shí)刻的真近點(diǎn)角落后主星8 °，初始時(shí)刻主從星間距離大約為5900 km，仿真周期內(nèi)雙星之間的距離一直增大；第二種工況從星初始時(shí)刻真近點(diǎn)角領(lǐng)先主星2 °，初始時(shí)刻主從星間距離大約為1500 km，仿真周期內(nèi)星間距離先減小后增大。

表1 主星的軌道參數(shù)設(shè)置Tab.1 Chief’s orbit parameter settings

仿真中選用差、中、好三種不同精度的光學(xué)相機(jī)進(jìn)行算法驗(yàn)證，對(duì)應(yīng)的測(cè)角誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為10-3rad、10-4rad、10-5rad。參考軌道由軌道動(dòng)力學(xué)模型積分得到，積分步長(zhǎng)為1 s，總仿真時(shí)長(zhǎng)為5個(gè)軌道周期。濾波系統(tǒng)協(xié)方差平方根形式的矩陣重置周期設(shè)置為1~24小時(shí)，每一種增加1小時(shí)，重置的S矩陣為初始狀態(tài)與參考狀態(tài)之差的絕對(duì)值所構(gòu)成的對(duì)角矩陣。設(shè)定初始距離的不確定性為5 km，測(cè)量更新關(guān)閉的相對(duì)角度θrel邊界條件設(shè)置為 ± 0.01 °。

此外，由于僅測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航的核心問(wèn)題是距離的可觀測(cè)性問(wèn)題，因此后續(xù)的仿真結(jié)果分析中將以相對(duì)距離估計(jì)誤差的百分比作為指標(biāo)。

5.2 仿真結(jié)果與分析

第一種工況仿真的相對(duì)距離估計(jì)誤差百分比如圖6所示，光學(xué)相機(jī)的測(cè)角誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為10-5rad，其中1~24 h表示S矩陣重置周期。由圖6可知，在重置周期為1 h的條件下，仿真結(jié)束時(shí)相對(duì)距離估計(jì)誤差接近20%。而重置周期為2 h時(shí)，終端時(shí)刻估計(jì)誤差下降到約3%，其他情況下的估計(jì)誤差均在1%以內(nèi)。這里必須說(shuō)明的是，圖6中誤差百分比曲線之所以顯示出一定的發(fā)散情況并非是系統(tǒng)可觀測(cè)性問(wèn)題，而是因?yàn)閮尚侵g的距離一直在增加，同樣的測(cè)角誤差對(duì)應(yīng)的相對(duì)位置誤差會(huì)更大。當(dāng)相對(duì)距離減少時(shí)將不會(huì)出現(xiàn)這種情況，工況二的仿真結(jié)果將證明這個(gè)結(jié)論。

圖6 工況1的相對(duì)距離估計(jì)百分比誤差Fig.6 The percent error of range estimate for Case 1

不同測(cè)角精度下的終端時(shí)刻估計(jì)誤差百分比統(tǒng)計(jì)如表2所示（5~10 h重置周期的情況）。顯然，測(cè)角精度越高時(shí)導(dǎo)航性能越好。由表2可知，重置周期為8 h（約1/3個(gè)主星軌道周期）時(shí)估計(jì)精度最高，10-3、10-4、10-5rad的測(cè)角精度時(shí)距離估計(jì)誤差分別為0.181%、0.061%和0.005%。此外，8 周期下三種精度相機(jī)的全程估計(jì)誤差曲線如圖7所示，可見(jiàn)10-5rad測(cè)角精度時(shí)估計(jì)誤差收斂非常穩(wěn)定，沒(méi)有出現(xiàn)緩慢增長(zhǎng)趨勢(shì)，收斂后距離誤差始終維持在星間距離的0.01%以下。

表2 工況1距離估計(jì)百分比誤差統(tǒng)計(jì)Tab.2 The statistic of percent error for Case 1

圖7 工況1：不同測(cè)角精度的估計(jì)誤差（重置周期8 h）Fig.7 Case 1：Estimate error for different camera level (8 h)

第二種工況仿真的相對(duì)距離估計(jì)誤差百分比如圖8所示(測(cè)角精度10-5rad)。由圖可知，正如工況一中分析的一樣，工況二的相對(duì)距離估計(jì)誤差整體上呈現(xiàn)收斂趨勢(shì)，但是從約2個(gè)軌道周期后開(kāi)始有發(fā)散增長(zhǎng)的趨勢(shì)，這是因?yàn)榧s經(jīng)過(guò)2個(gè)周期后主星與從星的相位角之差趨近為0，觸發(fā)了長(zhǎng)航時(shí)導(dǎo)航濾波方案中設(shè)定的測(cè)量更新關(guān)閉開(kāi)關(guān)，此時(shí)相對(duì)軌道單純由相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行演化。而在此之后相位角開(kāi)始逐漸增大，大于設(shè)定的閾值之后測(cè)量更新開(kāi)啟，增長(zhǎng)的估計(jì)誤差又被重新拉回到收斂趨勢(shì)。收斂后相對(duì)距離估計(jì)誤差整體上在0.4%以下，對(duì)應(yīng)的距離誤差約為200 m以內(nèi)。

圖8 工況2的相對(duì)距離估計(jì)百分比誤差Fig.8 The percent error of range estimate for Case 2

此外，與工況一相關(guān)，重置周期為8 h時(shí)估計(jì)精度最高，如表3所示。對(duì)應(yīng)的三種精度相機(jī)的全程估計(jì)誤差曲線如圖9所示，可見(jiàn)10-5rad測(cè)角精度時(shí)估計(jì)誤差收斂非常穩(wěn)定。

圖9 工況2：不同測(cè)角精度的估計(jì)誤差（重置周期8 h）Fig.9 Case 2：Estimate error for different camera level (8 h)

表3 工況2距離估計(jì)百分比誤差統(tǒng)計(jì)Tab.3 The statistic of percent error for Case 2

綜上，采用本文設(shè)計(jì)的相對(duì)導(dǎo)航方案，可以實(shí)現(xiàn)非合作目標(biāo)無(wú)源探測(cè)的長(zhǎng)航時(shí)跟蹤導(dǎo)航。采用10-5rad量級(jí)的測(cè)角相機(jī)時(shí)，距離估計(jì)精度可達(dá)星間距0.01%；10-4rad量級(jí)的測(cè)角相機(jī)時(shí)，距離估計(jì)精度可保持在星間距0.1%以內(nèi)。

6 結(jié) 論

本文面向空間非合作目標(biāo)無(wú)源探測(cè)任務(wù)，針對(duì)笛卡爾坐標(biāo)系下僅測(cè)角定軌存在相對(duì)軌道狀態(tài)不可觀測(cè)的問(wèn)題，利用柱面坐標(biāo)系的軌道曲率捕獲能力，建立了柱面坐標(biāo)系下的相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型，并基于該模型研究了僅測(cè)角導(dǎo)航算法，實(shí)現(xiàn)了基于僅有角度測(cè)量的空間非合作目標(biāo)長(zhǎng)航時(shí)跟蹤定軌。在滿足可觀測(cè)條件時(shí)，即使感知衛(wèi)星與目標(biāo)之間的距離達(dá)到數(shù)千公里，長(zhǎng)航時(shí)相對(duì)定軌誤差依然可以保持在公里級(jí)至幾百米的范圍之內(nèi)。下一步將分別針對(duì)高軌和低軌情況引入不同的攝動(dòng)項(xiàng)，建立更加貼近工程實(shí)際的動(dòng)力學(xué)模型，并研究?jī)H測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航的性能。