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        一類具有時滯的傳染病模型Hopf分支及穩(wěn)定性分析

        2021-03-15 03:02:58張露露廖茂新鄧興穎
        關(guān)鍵詞:平衡點(diǎn)時滯分支

        張露露,廖茂新,鄧興穎

        (南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽 421000)

        0 引 言

        傳染病是一類由病原體或寄生蟲引起的一類疾病,部分傳染病會長期伴隨人類共存,而有些傳染病會在有效的防治措施下逐漸消亡。[1]在人們與傳染病的長期抗?fàn)庍^程中,研究者們逐漸發(fā)現(xiàn),在人體受到感染后,感染初期并不會表現(xiàn)出任何的癥狀,在一定時間之后,某些癥狀才回逐步表現(xiàn)出來。[2-8]也就是說,在傳染病的傳播過程中,某時刻種群的變化除受當(dāng)前狀態(tài)影響外,也會收到此前時刻的某些因素的影響[9]。但在研究初期,研究者們一般未考慮到時間滯后的因素。我們在傳染病模型中將時滯因素考慮進(jìn)來,可以更加精準(zhǔn)的反應(yīng)傳染病的實(shí)際傳播機(jī)理及傳播形態(tài),以幫助我們提出、制定更加有效的控制傳播范圍的措施[10-16]。

        在前人的基礎(chǔ)上,本文研究了一類具有時滯和非線性傳染率的傳染病模型,研究了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,及Hopf分支的存在。在傳染病模型中引入時滯,用于模擬傳染病的潛伏期,利用基本再生數(shù)R0判斷疾病在一段時間時間發(fā)展后是仍然流行或是最終消亡;發(fā)現(xiàn)了在一定的條件下,時滯的引入會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)周期解,地方病平衡點(diǎn)E*處出現(xiàn)Hopf分支。

        (1)

        式中:S(t),I(t),R(t)分別表示在t時刻易感染人群、已感染人群和恢復(fù)人群的數(shù)量;k是比例常數(shù),b為人口的新增率,d為人口的自然死亡率,u是已感染人群的自然恢復(fù)率,r是恢復(fù)人群失去免疫力后重新成為易感染人群的比率。

        1 穩(wěn)定性分析及Hopf分支存在的條件

        (2)

        對系統(tǒng)(1)首先分析其在平衡點(diǎn)E0處的穩(wěn)定性。求得系統(tǒng)(1)的線性化矩陣為

        (3)

        特征矩陣為

        (4)

        定理1:當(dāng)R0<1時,無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時,無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。

        令f(λ)=0,得到λ1=-d,λ2=-(d+r)為特征方程的兩負(fù)根,且有λ3滿足

        (5)

        (6)

        由于R0<1,則Re(λ)<0,則g(λ)=0的所有根具有負(fù)實(shí)部,則R0<1時,無病平衡點(diǎn)E0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

        引理2:當(dāng)R0>1,τ=0時,正平衡點(diǎn)局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

        證明:系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)E*處的特征方程為

        其中:p0=2d+r+u,p1=(d+u)(d+r),p3=d+r,p4=d+r+u,a0=kS2(t),b0=2kI(t)S(t)。

        f1(λ)=0,易得λ=-d是方程負(fù)實(shí)根,其它根由以下方程確定

        (7)

        當(dāng)τ=0時方程變?yōu)間1(λ)=λ2+p0λ+p1+(b0-a0)λ-a0p3+b0p4。

        利用Routh-Hurwotz準(zhǔn)則

        p0+b0-a0=(2d+r+u)+2k×

        則只需要b-dS*>0(R0>1)時,p0+b0-a0>0。

        p1-a0p3+b0p4=(d+u)(d+r)+2k×

        (d+r+u)

        只需要b-dS*>0(R0>1)時,p1-a0p3+b0p4>0。

        由Routh-Hurwotz準(zhǔn)則知,方程根具有負(fù)實(shí)部,因此當(dāng)τ=0,(R0>1)時,地方病平衡點(diǎn)E*局部漸進(jìn)穩(wěn)定。證畢。

        引理3:當(dāng)p1-a0p3+b0p4>0且p1+a0p3-b0p4<0時,方程具有一對純虛根±iθ(θ>0)。

        證明:當(dāng)τ>0時,g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4],將λ=iθ代入式中,并分離虛實(shí)部,得

        (8)

        兩式平方相加得(-θ2+p1)2+(-p0θ)2=(a0p3-b0p4)2+(a0θ-b0θ)2,化簡得

        (9)

        解得:

        (10)

        由式(8),可得

        (11)

        g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ(q1λ+q2)

        (12)

        其中q1=b0-a0,q2=b0p4-a0p3。

        式子(12)左右兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)

        (13)

        可得

        (14)

        計(jì)算再有

        (15)

        則有

        證畢。

        由引理2、引理3、引理4,結(jié)合Hopf分支理論與文獻(xiàn)[4,11,16]可得到如下結(jié)論:

        定理2:當(dāng)p1-a0p3+b0p4>0,p1+a0p3-b0p4<0,且當(dāng)R0>1時,如果τ∈[0,τ0)時,τ0=min(τj),那么系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定;如果τ>τ0,那么系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的,且當(dāng)τ=τj時,系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)經(jīng)歷Hopf分支。

        2 數(shù)值模擬

        前文討論了時滯對無病平衡點(diǎn)及正平衡點(diǎn)的影響,接下來將通過數(shù)值模擬來直觀的展示出時滯對系統(tǒng)解的影響。取參數(shù)b=1,d=0.8,u=0.2,r=0.4,k=4,則系統(tǒng)(1)為

        (16)

        在同樣參數(shù)條件下,選擇τ=2.0>τ0時,此時地方病平衡點(diǎn)不再穩(wěn)定(見圖2)。

        圖1 當(dāng)τ=1.3<τ0時,模型(16)的正平衡解是漸進(jìn)穩(wěn)定的Fig.1 The positive equilibrium of (16) was asympomatic stable when τ=1.3<τ0

        圖2 當(dāng)τ=2.0>τ0時,模型(16)的正平衡解是不穩(wěn)定的Fig.2 The positive equilibrium of (16) wasn’t stable when τ=2.0>τ0

        3 結(jié) 論

        本文討論了一個具有非線性發(fā)生率的具有時滯的流行病模型的穩(wěn)定性,確定了基本再生數(shù)R0,由霍爾維茲定理判斷了非負(fù)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。對于任意時滯,當(dāng)R0<1時,無病平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的,即隨著時間的推移,疾病最終消亡;R0>1,時滯不為零時,在一定條件下,E*不再穩(wěn)定,系統(tǒng)出現(xiàn)周期解地方病平衡點(diǎn)出現(xiàn)Hopf分支。

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