蘭樹偉 陳旭 周東華 毛德均 王春華

1.昆明學(xué)院建筑工程學(xué)院，昆明 650214；2.昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，昆明 650500

在水平荷載（如地震荷載、風(fēng)荷載等）的作用下橋墩發(fā)生側(cè)移，橋墩的側(cè)向變形使得豎向荷載的作用點(diǎn)發(fā)生移動(dòng)，由此會(huì)產(chǎn)生附加內(nèi)力和附加變形，稱為橋墩的二階效應(yīng)。高墩橋梁在公路和鐵路工程中廣泛應(yīng)用，高墩由于其抗側(cè)剛度相對(duì)較小，二階效應(yīng)明顯。目前，高墩橋梁的二階效應(yīng)主要采用有限元軟件進(jìn)行計(jì)算，而工程師對(duì)隱含在軟件內(nèi)部的計(jì)算理論和方法了解較少，如何檢驗(yàn)有限元計(jì)算結(jié)果是不可回避的問題。JTG 3362—2018《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》［1］（以下簡(jiǎn)稱規(guī)范）中給出了考慮二階效應(yīng)鋼筋混凝土矩形截面彈塑性承載力的計(jì)算公式，規(guī)定混凝土受壓區(qū)邊緣應(yīng)變始終取-0.33%，而軸心受壓時(shí)的極限應(yīng)變?nèi)?0.20%。規(guī)范不能運(yùn)用整個(gè)混凝土本構(gòu)關(guān)系曲線，造成應(yīng)變從壓彎到軸壓的受力狀態(tài)不連續(xù)，而多數(shù)承載力計(jì)算方法［2-5］都沒有很好地解決該問題。規(guī)范主要是基于等效矩形應(yīng)力圖進(jìn)行承載力計(jì)算的，這種計(jì)算方法存在一定的誤差［6-8］。另外，規(guī)范中計(jì)算偏心受壓構(gòu)件時(shí)須先判別截面是大偏心受壓還是小偏心受壓，再選擇相應(yīng)公式進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算過程繁瑣。

本文通過分析極限承載力狀態(tài)的應(yīng)變變化區(qū)域，以截面應(yīng)變?yōu)樽宰兞?，利用混凝土和鋼筋的本?gòu)關(guān)系確定應(yīng)力，然后在截面上進(jìn)行積分確定內(nèi)力，得到考慮二階效應(yīng)的矩形截面配筋諾模圖，并通過鋼筋混凝土偏心受壓柱試驗(yàn)驗(yàn)證其正確性。

1 計(jì)算方法與公式推導(dǎo)

1.1 本構(gòu)關(guān)系

混凝土采用拋物線加矩形的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，忽略抗拉強(qiáng)度，其應(yīng)力σc與應(yīng)變?chǔ)與關(guān)系式［9］為

鋼筋采用理想彈塑性模型，其應(yīng)力σs與應(yīng)變?chǔ)舠關(guān)系式為

式中：εy和Es分別為鋼筋的屈服應(yīng)變和彈性模量，εy=fy∕Es；fc為混凝土抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

1.2 截面應(yīng)變狀態(tài)分區(qū)

規(guī)范中規(guī)定混凝土和鋼筋的極限應(yīng)變分別為-0.33%和1%，通過分析截面應(yīng)變變化，以所有可能的應(yīng)變構(gòu)建應(yīng)變狀態(tài)分區(qū)（圖1），每個(gè)區(qū)域確保截面一邊（混凝土受壓側(cè)邊緣或受拉鋼筋）處于極限應(yīng)變狀態(tài)，可實(shí)現(xiàn)混凝土應(yīng)變的連續(xù)過渡，將復(fù)雜的應(yīng)變變化轉(zhuǎn)化為僅求解一個(gè)未知量的問題。圖中：b和h分別為截面的寬度和高度；h0為截面有效高度；As和A′s分別為受拉鋼筋和受壓鋼筋面積；as和a′s分別為受拉鋼筋合力點(diǎn)至截面受拉邊緣的距離和受壓鋼筋合力點(diǎn)至截面受壓邊緣的距離；εc1和εs1分別為截面上邊緣混凝土和鋼筋的應(yīng)變；εc2和εs2分別為截面下邊緣混凝土和鋼筋的應(yīng)變。

圖1 截面應(yīng)變狀態(tài)分區(qū)

不同截面應(yīng)變變化規(guī)律和受力情況見表1。

表1 不同截面應(yīng)變變化規(guī)律和受力情況

由表1可知，區(qū)域①為軸心受拉或小偏心受拉，屬于受拉狀態(tài)，不考慮二階效應(yīng)。區(qū)域②和區(qū)域⑤混凝土的壓應(yīng)變是變化的，規(guī)范規(guī)定混凝土受壓區(qū)邊緣應(yīng)變始終取-0.33%，因此規(guī)范公式不適用于這兩個(gè)區(qū)域。區(qū)域⑤為構(gòu)件受力從小偏心受壓逐漸過渡到軸心受壓，混凝土應(yīng)變變化實(shí)現(xiàn)了連續(xù)過渡。區(qū)域③和區(qū)域④頂部混凝土邊緣壓應(yīng)變保持不變，底部鋼筋應(yīng)變連續(xù)過渡。考慮二階效應(yīng)計(jì)算混凝土橋墩彈塑性承載力時(shí)，截面處于受壓狀態(tài)，不會(huì)出現(xiàn)軸心受拉或小偏心受拉，因此應(yīng)變?cè)趨^(qū)域②至區(qū)域⑤之間變化。

1.3 截面應(yīng)力和內(nèi)力計(jì)算

1）中性軸在截面內(nèi)

對(duì)于區(qū)域②—區(qū)域④，矩形截面對(duì)稱配筋受力構(gòu)件見圖2。

根據(jù)圖2中應(yīng)變的幾何關(guān)系計(jì)算出截面的受壓區(qū)高度x為

圖2 矩形截面對(duì)稱配筋受力構(gòu)件

取x=kxh0，定義kx為受壓區(qū)高度系數(shù)［10-11］，則

由平衡關(guān)系求得軸力N和彎矩M分別為

式中：σs和σ′s分別為鋼筋的拉應(yīng)力和壓應(yīng)力；αc為混凝土壓應(yīng)力不均勻系數(shù)［12］；zs和z′s分別為受拉鋼筋合力力臂和受壓鋼筋合力力臂；a為混凝土受壓區(qū)合力c作用點(diǎn)至截面受壓區(qū)邊緣的距離。

引入強(qiáng)度配筋率ωs=fyAs∕（fcbh），并對(duì)式（5）和式（6）進(jìn)行量綱統(tǒng)一化處理［14］，得到無量綱軸力n和無量綱彎矩m為

αc的計(jì)算式為

定義ka為受壓合力位置系數(shù)，則

2）中和軸在截面下邊緣外

對(duì)于區(qū)域⑤，矩形截面對(duì)稱配筋小偏心受壓構(gòu)件見圖3。

圖3 矩形截面對(duì)稱配筋小偏心受壓構(gòu)件

由平衡關(guān)系可得軸力和彎矩分別為

式中：e為偏心距。

對(duì)式（11）和式（12）進(jìn)行量綱統(tǒng)一化處理，得到無量綱軸力和無量綱彎矩為

式中，e∕h為壓力偏心率。

αc和e∕h的計(jì)算式分別為

2 二階效應(yīng)mⅡ-n無量綱諾模圖

計(jì)算鋼筋混凝土橋墩正截面承載力時(shí)，若結(jié)構(gòu)處于偏心受力狀態(tài)，應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)側(cè)移和構(gòu)件撓曲引起的附加內(nèi)力［13］。因此，鋼筋混凝土偏心受力構(gòu)件內(nèi)力設(shè)計(jì)時(shí)，參照規(guī)范第5.3.9 條引入偏心距增大系數(shù)η，以近似考慮二階效應(yīng)對(duì)截面內(nèi)力增大的影響，即

式中：ea為附加偏心距；e0為初始偏心距；lc為構(gòu)件的計(jì)算長(zhǎng)度；ζ1為荷載偏心率對(duì)截面曲率的影響系數(shù)；ζ2構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比對(duì)截面曲率的影響系數(shù)。

將偏心距M∕N+ea用ηei代替，式（17）中附加偏心距ea取h∕30 與20 mm 兩者的較大值。計(jì)算考慮二階效應(yīng)的混凝土橋墩彎矩MⅡ時(shí)，存在

其中，α≤1.0，β≤1.0。

由式（18）可知，計(jì)算二階彎矩MⅡ時(shí)可先不考慮附加偏心距的影響，只需在截面彎矩設(shè)計(jì)中疊加一項(xiàng)Nea即可。因此，只要給定墩柱構(gòu)件lc∕h，就可以得到一組無量綱軸力n、無量綱二階彎矩mⅡ與強(qiáng)度配筋率ωs之間的三維曲線，存在mⅡ=MⅡ∕η′。設(shè)墩柱采用HRB400 配筋，as∕h= 0.08，限于篇幅給出lc∕h= 14.4（即長(zhǎng)細(xì)比λ=50）的mⅡ-n無量綱諾模圖，見圖4。

圖4 考慮二階效應(yīng)矩形橋墩對(duì)稱配筋諾模圖

二階效應(yīng)mⅡ-n無量綱諾模圖能夠直接應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)，包括配筋設(shè)計(jì)和承載力復(fù)核，計(jì)算流程見圖5。若彎矩承載力Mu大于荷載彎矩M，則截面強(qiáng)度滿足要求，反之應(yīng)調(diào)整配筋或增大截面。

圖5 設(shè)計(jì)計(jì)算流程

3 試驗(yàn)分析

為驗(yàn)證諾模圖的正確性和可靠性，設(shè)計(jì)3 根鋼筋混凝土試件進(jìn)行了偏心受壓試驗(yàn)，試件編號(hào)為A?1—A?3，初始偏心距分別為140，80，35 mm，截面尺寸（b×h）均為250 mm × 200 mm，縱筋均為6φ12，箍筋均為

S@75∕150。

為防止加載過程中試件端部混凝土局部承壓破壞，在其上下端設(shè)置厚20 mm 的鋼板。試件配筋與加載裝置見圖6。

圖6 試件配筋與加載裝置（單位：mm）

3.1 試驗(yàn)現(xiàn)象

試驗(yàn)采用單調(diào)加載和等位移加載。A?1—A?2 試件均在受拉側(cè)跨中先出現(xiàn)裂縫，隨著施加荷載增大，裂縫寬度增大，數(shù)量增多，跨中撓度增大；荷載接近極限荷載時(shí)，受拉鋼筋屈服，受壓鋼筋未屈服，混凝土被壓碎，呈現(xiàn)大偏心受壓構(gòu)件的破壞特征。A?3 試件在跨中截面受拉邊緣先出現(xiàn)細(xì)小裂縫，荷載接近極限荷載時(shí)受壓邊緣出現(xiàn)縱向裂縫，靠近加載側(cè)受壓鋼筋屈服，遠(yuǎn)端鋼筋未屈服，混凝土被壓碎，呈現(xiàn)小偏心受壓構(gòu)件的破壞特征。A?1—A?2試件為大偏心受壓破壞，A?3試件為小偏心受壓破壞，見圖7。

圖7 試件破壞形式

在豎向加載過程中，鋼筋混凝土構(gòu)件均出現(xiàn)側(cè)向撓曲。為了更好地了解考慮二階效應(yīng)的鋼筋混凝土受壓構(gòu)件彈塑性承載力，根據(jù)各級(jí)加載值及對(duì)應(yīng)跨中撓度繪制荷載和撓度的關(guān)系曲線，見圖8?？芍?，隨著偏心距的減小，試件逐漸從大偏心受壓過渡到小偏心受壓，破壞荷載逐漸提高。

圖8 荷載?撓度關(guān)系曲線

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)圖4 計(jì)算得到的極限承載力作為本文計(jì)算值，將3 個(gè)試件的極限承載力與本文計(jì)算值和規(guī)范計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，見表2?？芍?，本文計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合較好，相對(duì)誤差的平均值為6.53%；規(guī)范計(jì)算值與試驗(yàn)值相對(duì)誤差平均值為8.7%；與規(guī)范算法相比，本文算法精度稍有提高，能夠很好地考慮二階效應(yīng)，鋼筋混凝土矩形截面承載力計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確可靠。

表2 構(gòu)件截面承載力對(duì)比分析結(jié)果

4 應(yīng)用算例

4.1 配筋設(shè)計(jì)

偏心受壓矩形截面柱墩b×h=300×500 mm，as=a′s=40 mm，墩柱計(jì)算高度為7 750 mm，混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，fc=14.3 MPa，鋼筋為HRB400，fy=360 MPa。作用荷載組合：①M(fèi)= 600 kN·m、N= -800 kN；②M=102.4 kN·m、N= -800 kN?？紤]二階效應(yīng)，采用本文方法對(duì)兩種荷載組合下的構(gòu)件進(jìn)行配筋計(jì)算，參考圖5計(jì)算流程，得到構(gòu)件相關(guān)參數(shù)見表3。

4.2 承載力復(fù)核

矩形截面混凝土柱墩b×h= 300 × 500 mm，as=a′s=40 mm，墩柱計(jì)算高度為8 650 mm，混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，采用HRB400鋼筋對(duì)稱配筋，As=A′s=2 945 mm2，軸力設(shè)計(jì)值N=-1 280 kN，彎矩設(shè)計(jì)值M=300 kN·m，采用本文方法驗(yàn)算截面抗彎強(qiáng)度是否滿足要求。具體步驟為：

1）求解名義軸力n和強(qiáng)度配筋率ωs。n=N∕（fcbh）=-0.597，ωs=fyAs∕（fcbh）=0.494。

2）根據(jù)as∕h= 0.08，lc∕h= 8 650∕500 = 17.3，查圖4得mⅡ=0.42。

3）確定截面抗彎承載力。附加偏心距ea取20 mm，則Mu=MⅡ-Nea=mⅡfcbh2-Nea= 450.5 - 25.6 =424.9 kN·m ＞300 kN·m。該柱墩正截面抗彎強(qiáng)度滿足要求。

通過以上算例可以看出：考慮二階效應(yīng)時(shí)，采用本文方法對(duì)鋼筋混凝土矩形截面橋墩進(jìn)行配筋計(jì)算，無需判別是大偏心受壓還是小偏心受壓，不用求解大量二階效應(yīng)參數(shù)；承載力復(fù)核時(shí)，無需進(jìn)行復(fù)雜的試算，能夠快速方便地計(jì)算二階效應(yīng)彎矩。

5 結(jié)論

1）基于應(yīng)變推導(dǎo)了考慮二階效應(yīng)的鋼筋混凝土受壓柱正截面承載力的解析計(jì)算公式和配筋諾模圖，實(shí)現(xiàn)了混凝土應(yīng)變的連續(xù)過渡，能夠避免等效矩形應(yīng)力圖簡(jiǎn)化計(jì)算帶來的誤差。

2）考慮二階效應(yīng)矩形橋墩對(duì)稱配筋諾模圖簡(jiǎn)化了混凝土橋墩配筋設(shè)計(jì)和承載力復(fù)核過程，無需判別截面是大偏壓還是小偏壓，為工程設(shè)計(jì)計(jì)算二階效應(yīng)提供了一種簡(jiǎn)便的手算工具。