向子林，許曉亮，黃聞捷，陳將宏

(三峽大學(xué) a. 水利與環(huán)境學(xué)院；b. 三峽庫區(qū)地質(zhì)災(zāi)害教育部重點(diǎn)實驗室；c. 電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

由于邊坡工程巖土體力學(xué)參數(shù)及破壞模式的隨機(jī)性和復(fù)雜性，可靠性分析逐漸成為了邊坡穩(wěn)定評價及工程設(shè)計的另一主要途徑和參考依據(jù)[1-2]。

目前，在邊坡可靠性分析方面的研究大致可以分為兩類[3]。一類是邊坡單一破壞模式的單元可靠性分析，如：祝玉學(xué)等[4]研究了巖質(zhì)邊坡雙滑面破壞模式的可靠性計算方法；Low[5]提出了基于Excel的可靠指標(biāo)計算新算法，并將結(jié)果用于巖質(zhì)邊坡單滑面破壞的可靠度分析，采用Beta分布描述黏聚力和摩擦角的分布，采用截尾指數(shù)分布描述張裂縫中充水深度系數(shù)的分布。第二類是多滑面或多個失效模式的邊坡體系可靠性分析，如鄭智洋等[6]利用雙折減系數(shù)法對多滑面邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行分析和研究；譚曉慧等[7]采用Ditle-vsen窄界限公式估算了巖質(zhì)邊坡各失穩(wěn)模式組成的串聯(lián)體系的可靠指標(biāo)；Jimenez-Rodriguez等[8]提出了采用不相交的割集來分析楔體多失效模式的體系可靠度問題，并采用順序條件重要抽樣方法計算體系可靠指標(biāo)。

與此同時，在傳統(tǒng)的一階可靠度分析方法(first-order reliability，F(xiàn)ORM)、蒙特卡洛法(Monte Carlo method，MCS method)、響應(yīng)面法(response surface methodology，RSM)的基礎(chǔ)上，新的邊坡可靠性分析方法也不斷得到了豐富和發(fā)展，如隨機(jī)有限元法[9]、重要抽樣法[10]、copula積分法[2,11]，分別在變量相關(guān)性描述、高效抽樣、功能函數(shù)逼近方面做了有益的探索。上述方法中，蒙特卡洛法作為計算失效概率最直接的方法，其計算精度高，已被廣泛應(yīng)用，但當(dāng)需要大量抽樣時，蒙特卡洛法的計算效率較低，特別是對于復(fù)雜系統(tǒng)的多維相關(guān)變量及非線性問題的求解；此外，工程中比較常用的中心點(diǎn)、驗算點(diǎn)等一階可靠度分析方法通常需要將相關(guān)非正態(tài)變量進(jìn)行獨(dú)立化和標(biāo)準(zhǔn)化[12]，增加了計算的近似程度與復(fù)雜程度。

因此，有必要進(jìn)一步探究具有更大靈活性、更高計算效率和更強(qiáng)非線性處理能力的邊坡可靠性分析方法。無味變換[13-16]是利用變量的均值和協(xié)方差來近似其非線性轉(zhuǎn)換后變量統(tǒng)計特性的方法，相對于蒙特卡洛及一階可靠度分析方法等，具有計算效率高、精度高(均值、協(xié)方差傳播精度均可達(dá)到二階以上)、不依賴于分布類型以及應(yīng)用方便(無需求解非線性方程的Jacobi矩陣[14]，甚至無需知道非線性方程的顯式方程)等優(yōu)點(diǎn)，能夠較好地處理高維抽樣及非線性傳遞問題，已在自動控制、導(dǎo)航制導(dǎo)、人工智能等領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用[13]。筆者將無味變換引入到邊坡可靠性分析之中，給出了基于無味變換的邊坡可靠性分析方法，開展了算例邊坡的可靠度指標(biāo)和失效概率計算，并通過不同方法結(jié)果的對比分析，闡述所提出方法的合理性和適用性。

1 基于無味變換的邊坡可靠性分析方法

1.1 無味變換原理介紹

傳統(tǒng)線性化方法的基本思路是對非線性映射做某種線性近似，然后再運(yùn)用各種線性近似的方法進(jìn)行分析，相比較于傳統(tǒng)的線性化方法，用有限的參數(shù)來近似隨機(jī)變量的概率特性要比近似任意的非線性映射函數(shù)更為容易，而且用更少的計算量可以達(dá)到更高的精度?；诖耍琒avin等[15]、Julier等[16]提出了無味變換(unscented transformation，UT)，其核心在于借助有限個特征點(diǎn)的信息來近似表達(dá)n維隨機(jī)變量的整體信息(概率密度函數(shù))。

假設(shè)有隨機(jī)變量x的均值矩陣為mx，協(xié)方差矩陣為Vx，隨機(jī)變量y是關(guān)于x的函數(shù)，通過式(1)所示方式進(jìn)行映射。

y=f[x]

(1)

式中：f為非線性映射?；诖丝捎嬎愠鰕的均值矩陣my和協(xié)方差矩陣Vy。

依據(jù)無味變換原理[15-16]，對于n維隨機(jī)變量x，可用2n+1個σ點(diǎn)來近似其概率密度函數(shù)信息，在n維空間中的σ點(diǎn)Xi(i=1,2,…2n)的定義為

X0=mx

(2)

(3)

(4)

(5)

式(3)和式(4)中協(xié)方差矩陣Vx需要進(jìn)行平方根分解；式(5)中λ為尺度參數(shù)，其計算方式為

λ=α2·(n+k)-n

(6)

式中：α是小于1的正數(shù)，表示由于階數(shù)的變化而對σ點(diǎn)集的收集造成的影響，依據(jù)文獻(xiàn)[16]，為將階數(shù)的影響降至最低，取α=10-3；常數(shù)k的確定方式為

(7)

式中：n為隨機(jī)變量個數(shù)。

基于計算得到的σ點(diǎn)，通過式(1)的非線性映射可對上述σ點(diǎn)進(jìn)行非線性轉(zhuǎn)換。

Yi=f[Xi]

(8)

然后利用非線性轉(zhuǎn)換后σ點(diǎn)的權(quán)值來計算出隨機(jī)變量y的均值my和協(xié)方差矩陣Vy。

(9)

(10)

式中：Wi為第個i點(diǎn)的權(quán)值；Wi(m)為用來計算均值的權(quán)值；Wi(c)為用來計算協(xié)方差矩陣的權(quán)值，其計算式為

(11)

(12)

Wi(m)=Wi(c)=1/[2·(n+λ)]，i=1,2,...，2n

(13)

式中：當(dāng)服從高斯分布時，η可以取2[15]；式(3)～式(13)為變尺度無味變換的計算方法；當(dāng)α=1、η=0時，對應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)無味變換方法。

1.2 基于無味變換的邊坡可靠性分析步驟

無味變換計算效率高，運(yùn)用方便[13]，能夠用有限的數(shù)據(jù)點(diǎn)信息近似整體概率分布信息，且不依賴于變量的分布類型，可用于邊坡工程的可靠性分析。此時，通過確定抗剪強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ等隨機(jī)變量的均值、方差，并借助FS=f(c，φ,…)映射關(guān)系(即功能函數(shù))，便可得出安全系數(shù)FS的均值方差，進(jìn)而計算邊坡的可靠度指標(biāo)β及失效概率Pf。圖1給出了基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的技術(shù)路線，其主要實施步驟：1)分析選定對邊坡可靠性更為敏感的參數(shù)作為隨機(jī)變量，如通常將邊坡土體的黏聚力c和摩擦角φ作為隨機(jī)變量[11]；2)根據(jù)參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ的均值、方差及相關(guān)系數(shù)ρcφ，計算得到隨機(jī)變量的均值矩陣和協(xié)方差矩陣；3)利用Step2得到的協(xié)方差矩陣進(jìn)行平方根分解，并結(jié)合均值矩陣和引入的尺度參數(shù)，計算得到2n+1個σ點(diǎn)，見式(2)～式(7)；4)建立目標(biāo)邊坡計算模型，同時，將Step3得到的2n+1個σ點(diǎn)代入模型，并開展二維極限平衡計算，通過搜索最危險的滑面，得到2n+1個安全系數(shù)FS的值，見式(8)；5)利用權(quán)值的定義和λ、η等參數(shù)，分別得出2n+1個FS的均值和協(xié)方差的權(quán)值，見式(11)～式(13)；6)根據(jù)Step4得到的2n+1個FS值，并結(jié)合Step5計算得到的權(quán)值，分別借助式(9)、式(10)計算得到FS的均值和方差；7)借助可靠度指標(biāo)的定義(均值與標(biāo)準(zhǔn)差的比)直接計算邊坡可靠度指標(biāo)β值，同時，可借助失效概率與可靠度指標(biāo)的關(guān)系進(jìn)一步計算相應(yīng)的失效概率。

圖1 基于無味變換的邊坡可靠度分析方法Fig.1 Slope reliability analysis method based on

2 算例分析

2.1 均質(zhì)邊坡算例

算例1為軟土層上的均質(zhì)邊坡[17]，典型剖面見圖2，圖中各層土體的參數(shù)見表1，且分布類型為正態(tài)分布[17-18]。借助Slide軟件，采用簡化的Bishop法進(jìn)行極限平衡計算，得出坡體參數(shù)采用均值時的安全系數(shù)為1.165，安全系數(shù)與最危險滑面的位置均與Cho[18]計算(FS=1.164)非常接近。

圖2 均質(zhì)邊坡計算剖面Fig.2 Calculation section of homogeneous

表1 算例1邊坡土體參數(shù)統(tǒng)計特性Table 1 Statistical characteristics of soil parameters of slope in example 1

在不考慮邊坡土體黏聚力c和摩擦角φ的相關(guān)性時，根據(jù)表1土體參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ的均值和方差，計算得到個9個σ點(diǎn)，并利用Slide開展二維極限平衡計算，從而得到9組安全系數(shù)，如表2所示，進(jìn)而通過無味變換的邊坡可靠度分析法得到算例1中邊坡的失效概率為19.66%，與相應(yīng)蒙特卡洛法(MCS)和一階可靠度分析(FORM)驗算點(diǎn)法得到的失效概率計算結(jié)果基本一致，相對誤差在6%以內(nèi)，如表3所示。

表2 算例1的σ點(diǎn)和安全系數(shù)Table 2 σ point and safety factors in example 1

表3 坡體c和φ獨(dú)立時失效概率結(jié)果對比Table 3 Comparison of failure probability results when c and φ of the slope are independent

在考慮邊坡土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)間相關(guān)性時，表4為給出不同c和φ的相關(guān)系數(shù)ρcφ條件下分別采用無味變換法及蒙特卡洛(MCS)模擬得到的邊坡失效概率。由于邊坡主要的破壞模式(最危險滑面)均出現(xiàn)在土層1，土層2參數(shù)對于邊坡穩(wěn)定性及可靠度結(jié)果幾乎沒有影響，計算中土層2中c和φ的相關(guān)系數(shù)與土層1保持一致。綜合表3和表4可知，在ρcφ由負(fù)到正的過程中，邊坡失效概率明顯增大，土體黏聚力c和摩擦角φ的相關(guān)性對坡體可靠性分析結(jié)果影響顯著，這與一般結(jié)論相吻合[11,20]。

表4 考慮不同相關(guān)系數(shù)的失效概率Table 4 Failure probability considering different correlation coefficients

此外，表4還給出了以MCS的失效概率為基準(zhǔn)值的當(dāng)量比值R，其結(jié)果介于1.05～1.12之間，且隨著c和φ的負(fù)相關(guān)性逐漸增強(qiáng)(ρcφ逐漸減小)，R值逐漸增大，即無味變換法的相對誤差δ(δ=|R-1|×100%)不斷增大，而當(dāng)c和φ呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系時，R≤1.08，即相對誤差均在8%以內(nèi)。進(jìn)一步分析可知，造成上述誤差變化的主要原因在于失效概率量值的差異性，失效概率量值較大時，兩種方法結(jié)果的差異性越不顯著，反之，引起的相對誤差較大?？梢姡纠?，在較低失效概率(Pf<15%)時，可靠性分析結(jié)果對計算方法的選擇比較敏感。

2.2 分層邊坡算例

算例2為一個分層邊坡，計算剖面見圖3，邊坡土層參數(shù)見表5，不確定參數(shù)服從正態(tài)分布[21]。采用抗剪強(qiáng)度參數(shù)均值，應(yīng)用簡化的Bishop法得出相應(yīng)的坡體安全系數(shù)為1.509。

圖3 分層邊坡剖面

表5 算例2土體層數(shù)統(tǒng)計特征Table 5 Statistical characteristics of soil layers in example 2

本例中，兩層土坡共涉及抗剪強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ等4個變量，依據(jù)表6中相關(guān)系數(shù)及各變量的均值和方差獲取相應(yīng)的均值矩陣及協(xié)方差矩陣，進(jìn)而確定出9個σ點(diǎn)，得出基于無味變換的邊坡可靠度指標(biāo)β，見表6。

為分析兩種方法結(jié)果的差異性，表6中還給出了以文獻(xiàn)[21]中MCS得出的可靠度指標(biāo)為基準(zhǔn)值的當(dāng)量比值R，同時，圖4給出了無味變換與蒙特卡洛法[21](MCS)計算結(jié)果的對比。分析發(fā)現(xiàn)，ρcφ越小，(負(fù)相關(guān)性越顯著)R值越大，β>3時，相對誤差整體超過了10%，但進(jìn)一步結(jié)合圖4和表5分析發(fā)現(xiàn)，本例中坡體安全系數(shù)達(dá)到1.509，整體可靠度指標(biāo)較大，特別是當(dāng)ρcφ越小時，β越大，相應(yīng)Pf更低，與算例1所述相同，說明較低失效概率易增加不同計算結(jié)果的差異性。

表6 考慮不同相關(guān)系數(shù)的可靠度指標(biāo)Table 6 Reliability index considering different correlation coefficients

圖4 無味變換及MCS的可靠度指標(biāo)對比Fig.4 Comparison of reliability indexes between unscented

為進(jìn)一步驗證上述結(jié)論，通過不同程度地降低坡體土層c和φ的均值，即減小坡體安全系數(shù)，增大相應(yīng)失效概率，得出了不同安全系數(shù)下無味變換法和MCS法的可靠度指標(biāo)，見表7和圖5。由表7和圖5可見，邊坡安全系數(shù)越小、可靠度越低時，相關(guān)系數(shù)的變化引起的誤差波動越小，在β<1.5，即Pf>7%時，相對于MCS法，基于無味變化方法得出的誤差均在5%以內(nèi)，兩種方法的計算結(jié)果差異性較小。

圖5 不同安全系數(shù)下兩種方法的可靠度指標(biāo)對比Fig.5 Comparison of reliability indexes of two methods

可見，相對于穩(wěn)定性較好的邊坡，基于無味變換的邊坡可靠性分析方法能更好地應(yīng)用于較低可靠度β<1.5(較高失效概率,Pf>7%)的坡體分析中，而該類邊坡往往是工程中更為關(guān)注的對象，進(jìn)而體現(xiàn)了所提出的基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的適用性。

3 計算效率分析

為了更好地說明基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的計算效率，從花費(fèi)的計算時間角度分別對算例1和算例2進(jìn)行了分析。基于無味變換的邊坡可靠性分析的計算時間由3部分組成：利用Matlab計算得到σ點(diǎn)的用時，利用σ點(diǎn)開展二維極限平衡計算，得到安全系數(shù)和利用無味變換法進(jìn)行失效概率計算的用時。對于算例1和2，表8給出了以上各部分計算用時及總時間情況。

表7 不同安全系數(shù)及不同相關(guān)系數(shù)下的可靠度指標(biāo)Table 7 Reliability index under different safety factors and different correlation coefficients

表8 利用無味變換進(jìn)行邊坡可靠性分析的時間Table 8 Time for slope reliability analysis from unscented transformation

同樣，仍以蒙特卡洛法作為對比對象，由于該方法計算時間與計算精度均與抽樣次數(shù)有關(guān)，一般需要進(jìn)行20 000次以上的模擬才會收斂[22]，同時，抽樣次數(shù)越多，計算精度越高，但耗時更長。故分別選取20 000次(所需最少計算次數(shù))和500 000次的蒙特卡洛模擬與無味變換方法進(jìn)行計算時間對比，兩種方法均考慮變量相互獨(dú)立的情況，且均在配置內(nèi)存為8 GB、處理器為Intel(R)Corei7、CPU主頻為2.00 GHz的計算機(jī)上進(jìn)行，計算用時結(jié)果如表9所示。顯然，兩個算例中，相對于蒙特卡洛模擬，無味變換方法用時更少，效率更高，對于最少計算次數(shù)(20 000次抽樣)和較高精度(500 000次抽樣)的蒙特卡洛模擬，算例1(均質(zhì)邊坡)中，無味變換法用時分別減少了17.9%和58.95%，而對于非均質(zhì)邊坡(算例2)，無味變換法用時分別減少了8.21%和55.46%。

表9 無味變換和蒙特卡羅計算時間及次數(shù)對比Table 9 Comparison of calculation time and frequency between unscented transformation and Monte Carlo

4 結(jié)論

1)基于無味變換的邊坡可靠性分析方法應(yīng)用方便，不依賴于變量的分布類型，能夠顯著提高計算效率，對于有n個主控隨機(jī)變量的功能函數(shù)，只需2n+1次計算。

2)算例結(jié)果顯示，在低失效概率時(Pf≤7%)，基于無味變換方法的計算結(jié)果誤差達(dá)到5%以上，可靠性分析結(jié)果對計算方法的選擇較為敏感，直接采用基于無味變換的方法會引起對可靠性結(jié)果過高的估計；但對于工程中關(guān)注更多的較高失效概率(Pf>7%)的邊坡，基于無味變換方法計算結(jié)果相對誤差在5%以內(nèi)，且相關(guān)系數(shù)的變化引起的誤差波動較小，適用性好。

3)借助無味變換原理豐富了邊坡可靠性分析方法，但針對低失效概率條件下計算誤差較大的內(nèi)在機(jī)理以及如何實現(xiàn)較高計算精度的問題，還需從推求具有更佳逼近效果的σ點(diǎn)入手展開進(jìn)一步的探索，期待提出的基于無味變換的邊坡可靠性分析方法有更多的關(guān)注與發(fā)展。