徐 凱，楊飛鳳，涂永超，吳仕勛

(1. 重慶交通大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，重慶 400074；2. 重慶市公共交通運(yùn)營(yíng)大數(shù)據(jù)工程技術(shù)研究中心，重慶 400074)

列車自動(dòng)駕駛ATO是城市軌道列車控制系統(tǒng)的重要組成。在列車運(yùn)行過(guò)程中，ATO由已知信息進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，得到最優(yōu)控制策略，給出控制力讓列車按照最優(yōu)駕駛曲線運(yùn)行[1]。目前對(duì)于ATO控制策略的優(yōu)化，國(guó)內(nèi)外主要采用的方法有粒子群算法PSO，遺傳算法GA和差分進(jìn)化DE等智能算法[2-4]。

文獻(xiàn)[5]在求解列車自動(dòng)駕駛速度曲線時(shí)， 采用改進(jìn)后的粒子群算法，將多目標(biāo)優(yōu)化向單目標(biāo)轉(zhuǎn)化，用加權(quán)求和的形式得到目標(biāo)函數(shù)。上述傳統(tǒng)的加權(quán)方法忽略了各目標(biāo)間的相互影響，沒(méi)有考慮他們之間的復(fù)雜關(guān)系，無(wú)法體現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化的本質(zhì)。為充分體現(xiàn)多目標(biāo)研究的實(shí)質(zhì)，通常采用Pareto原理來(lái)求解此類問(wèn)題。而目前文獻(xiàn)基于Pareto原理優(yōu)化時(shí)，往往只考慮兩目標(biāo)問(wèn)題，例如文獻(xiàn)[6]將時(shí)間和能耗作為兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，混合了差分和模擬退火兩種進(jìn)化算法進(jìn)行求解；文獻(xiàn)[7]對(duì)比了兩種多目標(biāo)優(yōu)化算法MOPSO和NSGA_II，并驗(yàn)證了在計(jì)算時(shí)間、可行解的多樣性以及Pareto前沿解的逼近程度等性能指標(biāo)，MOPSO表現(xiàn)更佳，但卻未提及對(duì)MOPSO算法的深入改進(jìn)。此外，為了保證行車安全和效率，城軌列車運(yùn)行控制還有精準(zhǔn)停車這一重要目標(biāo)，即停車誤差不能超過(guò)30 cm。文獻(xiàn)[8]基于Pareto原理，采用MOPSO算法優(yōu)化了能耗、時(shí)間以及停車誤差這三個(gè)目標(biāo)，卻沒(méi)有評(píng)價(jià)算法的性能指標(biāo)，特別是對(duì)算法收斂性能的改進(jìn)。

此外，不同運(yùn)行模式對(duì)列車能耗影響的研究相對(duì)較少[9]。文獻(xiàn)[10]在列車兩種不同的運(yùn)行模式下，應(yīng)用非現(xiàn)代智能算法，即時(shí)間逼近搜索這一傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法來(lái)求解問(wèn)題?，F(xiàn)有參考文獻(xiàn)在研究中，未同時(shí)結(jié)合列車多種運(yùn)行工況序列和多目標(biāo)優(yōu)化，也未考慮各類工況序列對(duì)解集的影響以及各種模態(tài)下的性能指標(biāo)評(píng)價(jià)等問(wèn)題，這讓研究的復(fù)雜度及難度大大降低。

綜上，本文首先基于Pareto原理，以時(shí)間、能耗和停車精度為目標(biāo)，再加以對(duì)列車運(yùn)行中不同典型工況序列的分析，并結(jié)合列車運(yùn)行多模態(tài)和多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，提出一種協(xié)同進(jìn)化的多目標(biāo)混沌粒子群算法(Co-evolution Based Multi-objective Chaotic Particle Swarm Optimization，CMOCPSO)。經(jīng)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證，相較于MOPSO，本文算法在多樣性、收斂性指標(biāo)方面得到了進(jìn)一步改善。最后，為了獲取各類典型工況序列下最優(yōu)的列車自動(dòng)駕駛速度曲線，用模糊隸屬度法進(jìn)行了篩選。

1 列車運(yùn)行多目標(biāo)優(yōu)化模型

考慮到列車運(yùn)行的復(fù)雜性，對(duì)其運(yùn)動(dòng)建模簡(jiǎn)化為單質(zhì)點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得到

ma=f(v,u)-g(v)-w(v,s)

(1)

式中：m為列車的質(zhì)量；a為列車運(yùn)行加速度；f(v,u)為列車運(yùn)行時(shí)所受牽引力或制動(dòng)力；g(v)、w(v,s)分別為列車運(yùn)行時(shí)所受的基本阻力和附加阻力；v、u、s分別為列車運(yùn)行速度、操控工況和線路位置。對(duì)于本文所提的牽引、制動(dòng)、惰行及巡航4種列車運(yùn)行工況，當(dāng)f(v,u)大于0時(shí)，列車為牽引或巡航狀態(tài)；當(dāng)f(v,u)等于0時(shí)，列車為惰行狀態(tài)，當(dāng)f(v,u)小于0時(shí)，列車為制動(dòng)狀態(tài)。

本文用時(shí)間作為迭代步長(zhǎng)，列車運(yùn)行位置及速度表達(dá)如下

(2)

si+1=si+Δs

(3)

式(2)、式(3)是計(jì)算列車行駛位置的迭代公式，si表示第i次迭代后的位置，ai由式(1)中a離散處理得到，s0=0，Δt=0.1 s。

Δv=vi+aiΔt

(4)

vi+1=vi+Δv

(5)

式(4)和式(5)表示在第i次迭代時(shí)列車速度vi的計(jì)算公式，v0=0，Δt=0.1 s。

在滿足安全等各種約束條件下，求解列車能耗、運(yùn)行時(shí)間以及停車精度三個(gè)目標(biāo)的計(jì)算模型如下。

站間運(yùn)行時(shí)間為

T′=∑Δt

(6)

站間能耗指標(biāo)[4]為

(7)

式中：E為能耗適應(yīng)度；F為牽引力；v為列車運(yùn)行速度；ξM為在牽引力作用下由電能轉(zhuǎn)為機(jī)械能的變換因子；A為輔助功率；T0為列車在站點(diǎn)間的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間；ξB為在制動(dòng)力作用下，由機(jī)械能轉(zhuǎn)為電能的變換因子；B為制動(dòng)力。

停車精度計(jì)算公式為

S′=∑Δs

(8)

D=|S′-S|

(9)

式中：D為停車精度；S′為列車在站間的實(shí)際運(yùn)行距離；S為站間實(shí)際長(zhǎng)度。

基于上述式(1)～式(5)建立的模型，列車運(yùn)行多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題旨在求解得到一系列的工況轉(zhuǎn)換點(diǎn){xi}，i=1, 2,…,m(xi∈ [ 0,S])，使得在式(11)的限制條件下，列車減少運(yùn)行時(shí)間、降低能耗和提高停車精度。綜上，列車運(yùn)行多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題表述為

min{T0,E,D}

(10)

約束條件為

(11)

式中：v0、ve分別為列車行駛初速度與末速度；vi為第i次迭代時(shí)列車實(shí)際的運(yùn)行速度；vlim為對(duì)應(yīng)的列車限速值；T′為列車實(shí)際運(yùn)行時(shí)間；T0為計(jì)劃運(yùn)行時(shí)間，s；S′為列車實(shí)際運(yùn)行距離；S為站點(diǎn)間距，cm。

牽引(T)、制動(dòng)(B)、惰行(C)和巡航(H)為列車運(yùn)行中的四種工況，ATO將上述工況合理組合成多種工況序列。城軌交通不同于干線鐵路之處在于，站間距離相對(duì)較短，由于受限于線路長(zhǎng)度，列車在站間行駛時(shí)工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)不宜過(guò)多。原則上要求兩個(gè)工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)距離不能過(guò)近，因?yàn)轭l繁切換工況易造成不必要的損耗。此外，還應(yīng)刪去列車在運(yùn)行中有“制動(dòng)”的操縱，例如“T-C-B-T-C-B”這種明顯費(fèi)時(shí)又耗能的工況序列。

據(jù)此，去除那些違背工況轉(zhuǎn)換原則、既費(fèi)時(shí)又耗能以及讓乘客不舒適的一系列操控序列，最終選出下述6種典型且可行的工況序列進(jìn)行研究：①T-H-C-B；②T-C-H-C-B；③T-C-T-C-B；④T-H-T-C-B；⑤T-C-H-T-C-B；⑥T-C-T-C-T-C-B。

圖1是上述①～⑥6種工況序列下，采用本文所提出的算法求解得到的邊沿解和最優(yōu)解空間的分布效果圖，圖1中的一個(gè)解即為一種列車自動(dòng)駕駛方案。

由圖1可看出，6種工況序列對(duì)應(yīng)的解的分布大不相同，此外不同工況序列的最優(yōu)解也有所差異。這說(shuō)明研究多種工況序列能夠改善算法解的質(zhì)量，優(yōu)化解的分布性和多樣性。

圖1 6種典型工況序列下邊沿解及最優(yōu)解空間分布

2 基于協(xié)同進(jìn)化的多目標(biāo)混沌粒子群算法

2.1 CMOCPSO算法框架和思想

圖2是本文所提出的CMOCPSO算法框架，圖2中清晰地展示了所提算法的特點(diǎn)，采用全局和局部?jī)蓪咏Y(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)并行搜索，各層內(nèi)協(xié)同演化，引入雙外部檔案進(jìn)行層間的信息交流，具體為：

圖2 算法的總體框架

Step1分層設(shè)計(jì)。在圖2中分層結(jié)構(gòu)用上下兩個(gè)虛線框標(biāo)出。全局外部檔案與基礎(chǔ)群共同構(gòu)成下層，其中基礎(chǔ)群的小種群有4個(gè)，協(xié)同演化，完成全局尋優(yōu)；而局部外部檔案與精英群共同構(gòu)成上層結(jié)構(gòu)，其中精英群用于局部精細(xì)搜索，由n個(gè)小種群組成，協(xié)同演化深入挖掘出更多優(yōu)質(zhì)解。

Step2引入雙外部檔案，完善各層結(jié)構(gòu)。在下層中，全局外部檔案接收基礎(chǔ)群中4個(gè)小種群每次迭代后的可行解，并通過(guò)Pareto支配獲取前沿解。再?gòu)那把亟獾慕饧镞x取時(shí)間、能耗、停車誤差及權(quán)衡最優(yōu)的4個(gè)粒子，并分別返送回與之對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)群小種群中；與下層有所不同，上層精英群中n個(gè)小種群每進(jìn)化一次，局部外部檔案就接收其產(chǎn)生的可行解，由支配關(guān)系判斷后得到Pareto前沿解即可。

Step3上下層之間以T為周期實(shí)現(xiàn)信息交互，加速搜索過(guò)程。每間隔T次迭代，在下層的全局外部檔案解集中選出n個(gè)精英解，經(jīng)過(guò)擾動(dòng)處理產(chǎn)生與之對(duì)應(yīng)的n個(gè)新精英小種群，共同實(shí)現(xiàn)局部搜索，使得精英解周圍潛在的優(yōu)質(zhì)解得以充分挖掘；并且，在本次交互周期里，下層全局外部檔案將接收上層局部外部檔案獲得的Pareto前沿解。

2.2 混沌粒子群算法

粒子群優(yōu)化PSO算法為一種并行隨機(jī)的啟發(fā)式搜索方法，其粒子的移動(dòng)速度和位置的計(jì)算模型為

(12)

(13)

混沌具有良好的遍歷性，可以幫助算法快速跳出局部最優(yōu)。結(jié)合搜索速度快且能力強(qiáng)的PSO，便能相互取長(zhǎng)補(bǔ)短，即形成全新的混沌粒子群算法CPSO。此處選用典型混沌系統(tǒng)Logistic方程

L_r1(j+1)=μL_r1(j)[1-L_r1(j)]

(14)

L_r2(j+1)=μL_r2(j)[1-L_r2(j)]

(15)

式中：j為粒子序數(shù)；μ為控制參數(shù)，0≤μ≤4；當(dāng)μ=4且0≤L_rk(1) ≤1(k=1,2)時(shí)，系統(tǒng)為完全混沌狀態(tài)。用L_r1(j)和L_r2(j)替換式(12)中的r1和r2，發(fā)揮混沌在算法中的遍歷性，既可以避免粒子陷入局部最優(yōu)，又能使算法快速搜索到全局最優(yōu)解。

2.3 基礎(chǔ)群的進(jìn)化策略

在進(jìn)行全局搜索時(shí)，多目標(biāo)優(yōu)化有別于單目標(biāo)優(yōu)化，它引入一個(gè)全局外部檔案。所以，式(12)和式(13)不再適用于本文所提算法，需對(duì)其進(jìn)行修正，從而得到新的粒子速度及位置更新公式為

(16)

(17)

策略1(常規(guī)法)：把基礎(chǔ)群均勻分成4個(gè)小種群，從全局外部檔案中隨機(jī)選取4個(gè)Pareto前沿解作為4個(gè)小種群對(duì)應(yīng)的gBest′。

策略2(目標(biāo)引導(dǎo)法)：基于待優(yōu)化的3個(gè)目標(biāo)，可以把基礎(chǔ)群劃分為4個(gè)小種群，其中前3個(gè)小種群的進(jìn)化具有指向性，其各自對(duì)應(yīng)的gBest′從全局外部檔案中時(shí)間、能耗及停車精度極端最優(yōu)粒子中選出，分別用以優(yōu)化時(shí)間、能耗及停車精度這3個(gè)指標(biāo)。這種方式使得各個(gè)目標(biāo)的邊沿最優(yōu)解得到最大限度挖掘。而第4個(gè)小種群則用于3個(gè)目標(biāo)的綜合權(quán)衡尋優(yōu)，從全局外部檔案Pareto前沿解集中隨機(jī)選取一個(gè)作為其對(duì)應(yīng)的gBest′，稱為權(quán)衡最優(yōu)粒子。

策略2采用一個(gè)小種群與一個(gè)目標(biāo)優(yōu)化相對(duì)應(yīng)的方法，使得各目標(biāo)上的邊緣最優(yōu)信息得到更大程度地挖掘，而所有目標(biāo)的綜合優(yōu)化由剩余的第4個(gè)小種群負(fù)責(zé)，讓可行解的分布更加均勻。在此策略下，基礎(chǔ)群形成了一個(gè)全方位、高效協(xié)同的搜索粒子群體。本文后續(xù)試驗(yàn)中驗(yàn)證了該策略的優(yōu)越性。

2.4 精英群的進(jìn)化策略及其實(shí)現(xiàn)

上下兩層之間進(jìn)行通信，一旦通信周期到來(lái)，從下層全局外部檔案的Pareto前沿解集中獲取n個(gè)精英解，將它們送入上層的精英群，并對(duì)其進(jìn)行擾動(dòng)，產(chǎn)生n個(gè)相對(duì)應(yīng)的精英小種群。其中每一個(gè)小種群有m個(gè)粒子，用來(lái)搜尋這n個(gè)精英解周圍更多潛在的優(yōu)勢(shì)解。精英小種群生成公式為

Xi1=l_besti

(18)

Xij=l_besti+λrand()

(19)

式中：Xij為精英群的第i個(gè)小種群中的第j個(gè)粒子；l_besti為第i個(gè)小種群擾動(dòng)所用粒子；λ為精英群約束步長(zhǎng)的最大值；rand()為-1到1之間的隨機(jī)數(shù)。

需要說(shuō)明的是，為了實(shí)現(xiàn)更為精細(xì)的搜索，精英群的搜索步長(zhǎng)一般要小于基礎(chǔ)群，將其限制在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。

2.5 算法流程圖

基于策略2的CMOCPSO算法的流程見(jiàn)圖3。

圖3 基于策略2的CMOCPSO算法流程

3 仿真試驗(yàn)及分析

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

(1)線路及列車相關(guān)參數(shù)。本文仿真試驗(yàn)選用重慶輕軌六號(hào)線某一區(qū)間段。在該區(qū)段上，站間限制速度為80 km/h，站內(nèi)限制速度為60 km/h，線路區(qū)間長(zhǎng)1 620 m；列車在行駛中影響基本阻力的因素較多且復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中用理論公式難以表述，可由大量試驗(yàn)綜合得到的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)計(jì)算[11]，這里的基本阻力公式及列車參數(shù)的選用參考了文獻(xiàn)[12]。列車全長(zhǎng)120 m，4節(jié)動(dòng)車車廂，2節(jié)拖車車廂，動(dòng)車質(zhì)量35 t/節(jié)，拖車質(zhì)量34 t/節(jié)；列車區(qū)段的目標(biāo)運(yùn)行時(shí)間為90～110 s。

(2)算法參數(shù)設(shè)置：CMOCPSO算法中基礎(chǔ)群有4個(gè)小種群，每個(gè)小種群有50個(gè)粒子。精英群中小種群個(gè)數(shù)為4，每個(gè)小種群粒子數(shù)為10，共40個(gè)粒子，學(xué)習(xí)因子c1、c2和c3取值均為2，慣性權(quán)重因子w取值為1，最大進(jìn)化代數(shù)為100；MOPSO粒子總數(shù)為100，最大進(jìn)化代數(shù)為200。這兩種算法函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)均為20 000次。

(3)通信周期T設(shè)置：在上述圖2中，通信周期是指上下兩層進(jìn)行雙向信息交互時(shí)所需經(jīng)歷的進(jìn)化代數(shù)T。參數(shù)T的設(shè)置在很大程度上影響Pareto前沿解集的分布，若該值過(guò)大，就意味著通信次數(shù)過(guò)少，容易使精英群長(zhǎng)期滯留于某些局部搜索區(qū)域，很難跨區(qū)域?qū)崿F(xiàn)更精細(xì)的尋優(yōu)，最終會(huì)導(dǎo)致整個(gè)解集的分布不均勻；若該值過(guò)小，表示兩層間交互過(guò)于頻繁，這將導(dǎo)致精英群搜索效率低，不能深入挖掘可行解。

圖4采用T-H-C-B工況序列?；诒疚乃惴?，在三種交互周期T=5、10和20下可得對(duì)應(yīng)解空間分布的對(duì)比圖。對(duì)于不同通信周期T下的解空間，圖4中以3種符號(hào)分別表示。由圖4可知，相較于T=5或T=20，當(dāng)T=10時(shí)，在能耗和時(shí)間指標(biāo)上有明顯優(yōu)勢(shì)，這也證明了試驗(yàn)結(jié)果與前述分析吻合，因此在后續(xù)試驗(yàn)中通信周期T取10。

圖4 不同通信周期下的解空間分布圖

3.2 算法性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性，還須先明確下列幾個(gè)指標(biāo)，用以度量算法的收斂性和多樣性。

(1)收斂性指標(biāo)GD及γ

(20)

式中：n為算法所獲Pareto前沿解的個(gè)數(shù)；di為第i個(gè)解與真實(shí)Pareto前端的最小距離。

(21)

式中：G={g1，g2，…，g|G|}為算法獲得的Pareto前沿解集；r*={r1，r2，…，r|r*|}是真實(shí)的Pareto前沿解集。

上述指標(biāo)GD及γ的值越小，則算法有更好的收斂性。

(2)多樣性指標(biāo)SP、Δ分別為

(22)

(23)

上述指標(biāo)SP及Δ的值越小，表示解集分布越均勻。

3.3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

本文將兩種不同策略和兩種不同算法分別獨(dú)立運(yùn)行，其次數(shù)均為20，并從以上收斂性、多樣性指標(biāo)和Pareto前沿解個(gè)數(shù)等多個(gè)角度出發(fā)，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)比兩種不同策略及算法的優(yōu)劣。

3.3.1 CMOCPSO算法策略的選取

對(duì)比2.3節(jié)中提到的兩種策略，即常規(guī)法和目標(biāo)引導(dǎo)法，其相關(guān)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 兩種不同策略下的算法性能評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比

由表1可知，在算法的收斂性、多樣性以及Pareto前沿解的個(gè)數(shù)等方面，目標(biāo)引導(dǎo)法都優(yōu)于常規(guī)法。因此，在后續(xù)試驗(yàn)中，CMOCPSO算法采用策略2，用目標(biāo)引導(dǎo)法選取全局領(lǐng)導(dǎo)粒子，并將其與MOPSO算法從多方面比較分析。

3.3.2 兩種算法下的收斂性和多樣性分析對(duì)比

采用多目標(biāo)粒子群MOPSO和本文所提出的CMOPSO算法進(jìn)行仿真試驗(yàn)對(duì)比，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 兩種不同算法的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)

表2比較了Pareto前沿解的收斂性、多樣性以及數(shù)量這三個(gè)方面的指標(biāo)。從表2中可知，除了多樣性SP的均方差這一項(xiàng)指標(biāo)上CMOCPSO與MOPSO兩者持平，在剩余的各個(gè)指標(biāo)上，CMOCPSO算法都具有明顯的優(yōu)勢(shì)。進(jìn)一步分析各項(xiàng)指標(biāo)平均值，可知CMOCPSO不僅能加快算法收斂速度，而且還能提高可行解的多樣性，較大程度增加了解的個(gè)數(shù)。

上述兩種算法在Pareto解空間與前沿解的分布情況見(jiàn)圖5和圖6。

圖5 不同算法下的Pareto解空間比較

圖6 不同算法下的Pareto前沿解比較

由圖5和圖6可知，相較于MOPSO，CMOCPSO算法具有更好的收斂性。從總體上看，由它計(jì)算所得到的能耗明顯更小，時(shí)間更短；同時(shí)，CMOCPSO在可行解上呈現(xiàn)出更好的分布性，各目標(biāo)對(duì)應(yīng)的解空間跨域范圍更廣，且Pareto前沿解的數(shù)量更多。

3.3.3 兩種算法的時(shí)間復(fù)雜度分析

對(duì)于MOPSO算法，設(shè)I1為算法迭代最大次數(shù)，h為目標(biāo)個(gè)數(shù)，m為種群粒子總數(shù)。只要算法迭代次數(shù)與粒子數(shù)足夠大，可以忽略對(duì)低次冪的計(jì)算[13]。因此，MOPSO算法的時(shí)間復(fù)雜度關(guān)鍵取決于外部檔案的更新，其計(jì)算過(guò)程為：1×h×m2+2×h×m2+…+(I1-1)×h×m2=0.5×h×(I1-1)×I1×m2≈6×108。

對(duì)于CMOCPSO算法，設(shè)I2為算法進(jìn)化最大次數(shù)，h為目標(biāo)個(gè)數(shù)，上下層之間的交互周期T=10；其中下層基礎(chǔ)群有4個(gè)小種群，每個(gè)小種群有k個(gè)粒子，上層精英群有n個(gè)小種群，這里的n=4，每個(gè)精英小種群有k1個(gè)粒子；全局和局部外部檔案的規(guī)模，即至多可容納的Pareto前沿解數(shù)目分別為A1=1 000，A2=100。

在CMOCPSO算法中，全局與局部外部檔案的更新，以及將局部外部檔案的解向全局外部檔案更新，以上三個(gè)過(guò)程占據(jù)了主要的時(shí)間計(jì)算復(fù)雜度。

其中，對(duì)全局外部檔案進(jìn)行更新的時(shí)間復(fù)雜度計(jì)算為：1×h×42×k2+2×h×42×k2+…+(I2-1)×h×42×k2=0.5×h×(I2-1)×I2×42×k2≈6×108。

最后，局部外部檔案的解向全局外部檔案更新的時(shí)間復(fù)雜度計(jì)算為A1×A2×(I2/T)=1.0×106。

綜合分析可得該算法時(shí)間復(fù)雜度是6.25×108。

綜上所述，以上兩種算法的時(shí)間復(fù)雜度均處于一個(gè)數(shù)量級(jí)，是一種較為理想的狀態(tài)。為了獲取更好的算法性能指標(biāo)，僅犧牲少許的時(shí)間復(fù)雜度是合適的，這符合算法改進(jìn)的基本準(zhǔn)則[14]。

3.4 各類工況序列最優(yōu)方案的選定

基于Pareto原理的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果是一個(gè)解集。在列車運(yùn)行優(yōu)化問(wèn)題中，一種列車自動(dòng)駕駛方案對(duì)應(yīng)于一個(gè)Pareto解。本文采用模糊隸屬度函數(shù)對(duì)解中每個(gè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的隸屬度進(jìn)行評(píng)價(jià)，以此篩選出不同工況序列下最優(yōu)的駕駛方案。所述模糊隸屬度函數(shù)的定義為[15]

(24)

利用式(25)，可以求得每個(gè)解的滿意度值，則最優(yōu)的駕駛方案即為最大滿意度值所對(duì)應(yīng)的Pareto解。

(25)

式中：Ψi為第i個(gè)Pareto解對(duì)應(yīng)的滿意度值；A為外部檔案的規(guī)模。

針對(duì)本文所述的6種典型工況序列，采用上述模糊隸屬度法對(duì)各自工況的Pareto前沿解集進(jìn)行了篩選，得到對(duì)應(yīng)的最優(yōu)駕駛方案，見(jiàn)表3。

表3 各典型工況序列下的最優(yōu)方案

圖7是表3中各類典型工況序列下的速度-距離曲線，分別用6種不同的顏色曲線標(biāo)明。

圖7 各典型工況序列下的最優(yōu)速度-距離曲線

在利用CMOCPSO獲得Pareto前沿解集后，可以從這些解集中選出能耗最低、用時(shí)最少以及停車精度最高的各類不同工況序列與其對(duì)應(yīng)的控制策略。由表4可知：工況序列為T-H-C-B時(shí)，能耗最低；工況序列為T-H-C-B時(shí)，用時(shí)最少；工況序列為T-H-T-C-B時(shí)，停車精度最高。

表4 多種工況序列對(duì)應(yīng)的極端解和最優(yōu)策略

根據(jù)式(24)和式(25)，再結(jié)合表4進(jìn)一步得到：工況序列T-C-H-C-B是多種工況序列下的最優(yōu)策略，圖8是該工況序列下的最優(yōu)速度-距離曲線。此外，由表4中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，從多種工況序列解集中應(yīng)用模糊隸屬度方法篩選出的最優(yōu)策略，在每個(gè)目標(biāo)上的值都相對(duì)均衡；再由表3分析可得，相較于其余5種運(yùn)行工況模式，本文確定的各類工況序列下的最優(yōu)方案T-C-H-C-B最少在對(duì)應(yīng)的兩個(gè)目標(biāo)上呈現(xiàn)出的效果更佳。

圖8 多種工況序列對(duì)應(yīng)的最優(yōu)速度-距離曲線

綜合表3和表4的各項(xiàng)數(shù)據(jù)可知，僅研究單一工況序列將存在解的多樣性低、空間分布不均勻且數(shù)量少的問(wèn)題。因此，對(duì)多種工況序列進(jìn)行分析與挖掘，這對(duì)實(shí)際工程的應(yīng)用是具有研究?jī)r(jià)值的。

4 結(jié)論

針對(duì)城軌列車運(yùn)行速度曲線優(yōu)化問(wèn)題，本文提出了一種新穎的協(xié)同進(jìn)化多目標(biāo)混沌粒子群CMOCPSO算法進(jìn)行求解，通過(guò)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證及分析，得到下列結(jié)論：

(1)在多種工況模式下，對(duì)應(yīng)解的分布存在較大的差異。相較于單一的工況序列，在解的數(shù)量和質(zhì)量上，多種工況序列下的解都具有明顯的優(yōu)勢(shì)，因此可獲得數(shù)量多且優(yōu)質(zhì)的列車自動(dòng)駕駛策略。

(2)與MOPSO相比較，采用目標(biāo)引導(dǎo)策略的CMOCPSO算法，通過(guò)設(shè)置恰當(dāng)?shù)耐ㄐ胖芷?，其可行解在多樣性、收斂性和?shù)量等多個(gè)指標(biāo)上性能更優(yōu)，從而最終獲得的列車運(yùn)行速度曲線也最佳。

(3)相較于其余5種工況模式所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)駕駛策略，這里采用模糊隸屬度法，從不同典型工況序列的Pareto解集中選擇出最優(yōu)駕駛方案，使得列車運(yùn)行能耗、時(shí)間和停車精度這3個(gè)目標(biāo)至少有2個(gè)表現(xiàn)良好。