周生通， 曹濤影，朱經(jīng)緯，祁 強(qiáng)，周新建

(華東交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，江西 南昌 330013)

彎扭振動(dòng)是牽引電機(jī)各種故障的重要誘因[1]。在高速列車中，動(dòng)車牽引電機(jī)又置身于復(fù)雜的列車運(yùn)行環(huán)境中并持續(xù)受到電磁激勵(lì)、負(fù)載扭矩等內(nèi)外激擾作用，因而掌握其彎扭振動(dòng)特性規(guī)律是確保牽引電機(jī)安全可靠運(yùn)行以及控制和優(yōu)化牽引電機(jī)動(dòng)力學(xué)性能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

當(dāng)列車高速運(yùn)行時(shí)，動(dòng)車牽引電機(jī)的定子、轉(zhuǎn)子與軸承間便形成一個(gè)復(fù)雜的機(jī)電耦合轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。而全面分析這一機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的前提是建立一個(gè)能夠正確反映牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭振動(dòng)特性的動(dòng)力學(xué)模型。在眾多研究中電機(jī)動(dòng)力學(xué)模型以Jeffcott轉(zhuǎn)子模型居多，即將電機(jī)轉(zhuǎn)子集中為單個(gè)集中質(zhì)量來分析系統(tǒng)在機(jī)-電-磁作用下的復(fù)雜彎曲或扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)問題[2-5]。不過，當(dāng)前更復(fù)雜和準(zhǔn)確的電機(jī)模型越來越多的被提出和使用，尤其是基于有限元技術(shù)的方法。文獻(xiàn)[6]采用等效為三集中質(zhì)量的電機(jī)轉(zhuǎn)子模型分析系統(tǒng)彎扭振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[7]利用某牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子的一維和三維有限元模型對(duì)比圓盤在不同厚度時(shí)的臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果，而圓盤在一維梁元模型中被等效為一個(gè)集中質(zhì)量。文獻(xiàn)[8]建立三維有限元模型，用正交各項(xiàng)異性材料表達(dá)電機(jī)疊片鐵芯屬性。文獻(xiàn)[9]在分析某大型感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速時(shí)將鐵芯等效為包含質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的圓盤。文獻(xiàn)[10]提出利用夾緊剛度和阻尼并結(jié)合雙轉(zhuǎn)子有限元模型的概念模擬鐵芯與轉(zhuǎn)軸關(guān)系?？梢园l(fā)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)子建模的關(guān)鍵在鐵芯模擬上，事實(shí)上鐵芯在電機(jī)動(dòng)力學(xué)建模中一直是一個(gè)難點(diǎn)，其對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量貢獻(xiàn)非常值得探討[11]。此外，牽引電機(jī)在工作中必然要拖動(dòng)負(fù)載，而由傳動(dòng)機(jī)構(gòu)和工作機(jī)引入電機(jī)軸的慣性負(fù)載對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究也是不可忽略的[12]，尤其是在高速運(yùn)行的動(dòng)車組牽引電機(jī)中。

本文以某動(dòng)車牽引電機(jī)為例，在剖析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，采用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)有限元方法構(gòu)建電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭動(dòng)力學(xué)模型，并著重探討轉(zhuǎn)子鐵芯質(zhì)量分布、鐵芯剛度貢獻(xiàn)以及電機(jī)慣性負(fù)載對(duì)牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

1 動(dòng)車牽引電機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

我國動(dòng)車組用牽引電機(jī)普遍使用鼠籠式三相異步電動(dòng)機(jī)[13]。其轉(zhuǎn)子部件由轉(zhuǎn)軸、鐵芯以及導(dǎo)條和端環(huán)焊接而成的鼠籠繞組構(gòu)成。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸一般用高強(qiáng)度的鍛造合金鋼制成，鐵芯則由絕緣冷軋硅鋼板疊壓而成，并和壓板一起熱套安裝到轉(zhuǎn)軸上。銅導(dǎo)條插入鐵芯槽內(nèi)并在傳動(dòng)端和非傳動(dòng)端分別用銅合金端環(huán)銅焊在一起組成鼠籠繞組結(jié)構(gòu)。在電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸兩端各布置一套滾動(dòng)軸承，并放置在定子兩側(cè)端蓋的軸承座內(nèi)。這樣電機(jī)轉(zhuǎn)子、軸承和定子部分便一起構(gòu)成一臺(tái)完整的鼠籠式三相異步電動(dòng)機(jī)，內(nèi)部結(jié)構(gòu)示意見圖1。

圖1 動(dòng)車牽引電機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)示意

相比一般的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子的建模比較復(fù)雜。這是因?yàn)?，?shí)際中為了增強(qiáng)高速電機(jī)轉(zhuǎn)軸的剛性以及解決臨界轉(zhuǎn)速問題，由沖片疊成的鐵芯大都是采用熱套軸工藝實(shí)現(xiàn)軸與鐵芯周向固定的[14]，即完全依靠鐵芯與轉(zhuǎn)軸的過盈配合傳遞功率和扭矩。過盈連接雖然能增強(qiáng)轉(zhuǎn)軸剛度，但其剛度的增強(qiáng)貢獻(xiàn)并不能完全按照整個(gè)鐵芯結(jié)構(gòu)計(jì)算。因此實(shí)踐中這種疊片轉(zhuǎn)子的剛度?；瘑栴}常需要尋求專業(yè)單位給出經(jīng)驗(yàn)公式或試驗(yàn)圖表，以供電機(jī)轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)計(jì)算之用[11]。此外，由于牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子鐵芯寬徑比大，若按照一般轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的常用簡化方式將其質(zhì)量貢獻(xiàn)簡單地等效為鐵芯質(zhì)心位置處的一個(gè)集中質(zhì)量是不合適的，尤其是當(dāng)要同時(shí)分析轉(zhuǎn)子彎扭動(dòng)力學(xué)行為時(shí)。合理的做法應(yīng)該是按照分布質(zhì)量的方式加在轉(zhuǎn)子鐵芯與轉(zhuǎn)軸過盈配合的位置上。

另一方面，動(dòng)車牽引電機(jī)作為動(dòng)力源，其輸出轉(zhuǎn)矩經(jīng)聯(lián)軸器、齒輪箱和輪對(duì)，最終帶動(dòng)整列列車高速運(yùn)行。換句話說，牽引電機(jī)要驅(qū)動(dòng)負(fù)載。若撇開負(fù)載單獨(dú)討論牽引電機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性是不符合實(shí)際的，尤其是在研究牽引電機(jī)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，這是因?yàn)樵趧?dòng)車組中負(fù)載對(duì)牽引電機(jī)的作用不光提供阻力矩，而且還貢獻(xiàn)有較大的慣性負(fù)載[15]，對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)特性會(huì)產(chǎn)生明顯影響。

2 彎扭動(dòng)力學(xué)特性方程

按照前述分析，牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的建模關(guān)鍵是合理模擬轉(zhuǎn)子部件(鐵芯質(zhì)量分布和剛度貢獻(xiàn))和處理電機(jī)負(fù)載問題，為此采用基于梁單元的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)有限元方法[16]實(shí)現(xiàn)。為了分析轉(zhuǎn)子的彎扭振動(dòng)特性，模擬電機(jī)轉(zhuǎn)軸的梁單元除了具有4個(gè)橫向振動(dòng)自由度外，還必須包括扭轉(zhuǎn)自由度，故電機(jī)轉(zhuǎn)軸單元具有5個(gè)自由度。電機(jī)鐵芯的質(zhì)量貢獻(xiàn)用具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的集中質(zhì)量單元模擬，依附在轉(zhuǎn)軸單元節(jié)點(diǎn)上，并具有同樣的5個(gè)自由度。滾動(dòng)軸承在電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中主要提供剛度和阻尼作用，為此用彈簧阻尼單元模擬，若需計(jì)及軸承的質(zhì)量貢獻(xiàn)則可在單元中引入質(zhì)量參數(shù)。電機(jī)定子可以單獨(dú)按照靜止部件由一般的結(jié)構(gòu)有限單元模擬，也可以將其質(zhì)量和剛度貢獻(xiàn)等效到軸承的單元模擬參數(shù)中。

構(gòu)建如圖2所示的牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型，推導(dǎo)得出系統(tǒng)有限元?jiǎng)恿W(xué)方程為

圖2 牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型示意

(1)

式中：M、C、K和G分別為慣性坐標(biāo)系下的電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體質(zhì)量、阻尼、剛度和陀螺矩陣。

M=m+mc+ml

(2)

K=k+kc

(3)

G=g+gc

(4)

式中：m和k分別為電機(jī)定子、轉(zhuǎn)軸和滾動(dòng)軸承所貢獻(xiàn)的質(zhì)量和剛度矩陣；g為電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)軸貢獻(xiàn)的陀螺矩陣；mc、kc和gc分別為由鐵芯貢獻(xiàn)的質(zhì)量、剛度和陀螺矩陣；ml為由電機(jī)負(fù)載引入的質(zhì)量矩陣。當(dāng)僅研究電機(jī)轉(zhuǎn)子彎扭特性時(shí)，方程(1)中阻尼矩陣C可忽略不計(jì)。

針對(duì)轉(zhuǎn)子鐵芯對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程的貢獻(xiàn)，在有限元模型中有兩種處理方式。

第一種是通過增大與轉(zhuǎn)子鐵芯段的轉(zhuǎn)軸半徑考慮鐵芯剛度貢獻(xiàn)影響，如圖1所示，此時(shí)與鐵芯有關(guān)的質(zhì)量、剛度和陀螺矩陣可分別表示為

(5)

式中：msc、ksc、gsc分別為轉(zhuǎn)軸半徑增大部分所貢獻(xiàn)的鐵芯質(zhì)量、剛度和陀螺矩陣，計(jì)算時(shí)將它們和實(shí)際的電機(jī)轉(zhuǎn)軸部分一起作為轉(zhuǎn)軸單元進(jìn)行處理；mrc、grc為剩余鐵芯部分所貢獻(xiàn)的質(zhì)量和陀螺矩陣，計(jì)算時(shí)需要按照一定的鐵芯質(zhì)量分布方式分割為剛性圓盤，并等效為集中質(zhì)量單元附加在轉(zhuǎn)軸節(jié)點(diǎn)上。假設(shè)轉(zhuǎn)子鐵芯被等效為一理想的空心圓柱體，內(nèi)半徑Ri，外半徑Ro，長度H，剔除鐵芯對(duì)轉(zhuǎn)軸的剛度貢獻(xiàn)后，剩余鐵芯的內(nèi)半徑變?yōu)镽e，若將剩余鐵芯質(zhì)量分割為M個(gè)剛性圓盤，則每個(gè)圓盤的質(zhì)量特性為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：diag{·}為對(duì)角矩陣算子；Ω為電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

第二種計(jì)及鐵芯剛度貢獻(xiàn)的方法是增大鐵芯段轉(zhuǎn)軸材料的彈性模量。這是因?yàn)椋罁?jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的梁單元有限元理論，EI和GIp分別代表著轉(zhuǎn)軸單元的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度項(xiàng)，其中I和Ip分別是轉(zhuǎn)軸截面的直徑慣性矩和極慣性矩，可以看到無論是增大材料的彈性模量E或剪切模量G，還是增大轉(zhuǎn)軸截面半徑都可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)軸剛度項(xiàng)的增強(qiáng)。按照第二種方法，轉(zhuǎn)子鐵芯的全部質(zhì)量屬性將等效為集中質(zhì)量單元，而剛度貢獻(xiàn)則仍然按照轉(zhuǎn)軸單元計(jì)算，相應(yīng)的矩陣可表示為

(11)

式中：mc和gc分別為按照式(9)和式(10)計(jì)算的單元矩陣。只是此時(shí)Re取為鐵芯空心圓柱體的實(shí)際內(nèi)半徑Ri。

針對(duì)牽引電機(jī)負(fù)載的質(zhì)量貢獻(xiàn)，可按照機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能與功率不變?cè)瓌t，將動(dòng)車組傳動(dòng)裝置中的單級(jí)齒輪箱、動(dòng)力輪對(duì)以及整車的質(zhì)量特性等效為一個(gè)繞電機(jī)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等效公式為[15]

(12)

(13)

為了獲得轉(zhuǎn)軸的彎扭特性，需將式(1)改寫為狀態(tài)空間方程

(14)

求解該方程的廣義特征值問題，即可得到反映牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭特性的模態(tài)解為

δi=φiexp(λi)=(ai±bi)exp[(σi±jωi)t]

(15)

式中：λi和φi分別為特征值和特征向量；σi為特征值實(shí)部，反映系統(tǒng)穩(wěn)定性，在忽略系統(tǒng)阻尼C時(shí)其值為零；ωi為特征值虛部，代表系統(tǒng)第i階模態(tài)圓頻率；ai和bi為第i階模態(tài)振型的實(shí)部和虛部向量。

需要注意的是，在具體求解電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭振動(dòng)特性前，需要先利用等效方法將實(shí)際非軸對(duì)稱的鐵芯結(jié)構(gòu)(如鐵芯齒槽、導(dǎo)條、端環(huán)、通風(fēng)孔等)等效成為軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，之后再按照前述思路處理轉(zhuǎn)子鐵芯質(zhì)量分布、剛度貢獻(xiàn)以及電機(jī)慣性負(fù)載。

3 算例與結(jié)果討論

以某型動(dòng)車牽引電機(jī)為參考，建立其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型，并分別探討鐵芯質(zhì)量分布、剛度貢獻(xiàn)以及電機(jī)慣性負(fù)載影響下的牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子彎扭振動(dòng)特性規(guī)律。該型牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子的部分結(jié)構(gòu)參數(shù)為：轉(zhuǎn)軸總長為0.675 m，非鐵芯段轉(zhuǎn)軸輸入端和輸出端軸段長度分別為0.125、0.230 m，輸入端軸承處軸徑0.025 m，輸出端軸承處軸徑0.04 m，鐵芯的內(nèi)半徑、外半徑和寬度尺寸分別為0.047、0.16、0.32 m，輸入、輸出端軸承剛度系數(shù)分別為1.5×108、7.0×107N/m，其余結(jié)構(gòu)參數(shù)略。由于鐵芯對(duì)轉(zhuǎn)軸剛度的增強(qiáng)作用與實(shí)際過盈情況、鐵芯徑寬比和工作條件等因素有關(guān)，需要借助試驗(yàn)或仿真手段確定，這里不做具體討論，而是直接假定本算例中鐵芯對(duì)轉(zhuǎn)軸剛度的增強(qiáng)作用等價(jià)于將該處轉(zhuǎn)軸半徑增加T/4，其中T=Ro-Ri為鐵芯厚度。由于僅討論彎扭振動(dòng)特性規(guī)律，因而這一假定并不影響算例結(jié)論的適用性。

3.1 鐵芯質(zhì)量分布的影響

有限元模型中集中質(zhì)量是以點(diǎn)單元的形式施加在節(jié)點(diǎn)上的，因而鐵芯段轉(zhuǎn)軸網(wǎng)格密度在一定程度上決定了鐵芯質(zhì)量分布的形式。為了探討鐵芯質(zhì)量分布的影響，設(shè)計(jì)兩種計(jì)算模型：第一種是在鐵芯段采用高密度轉(zhuǎn)軸網(wǎng)格并保持網(wǎng)格不變，然后依次增加鐵芯離散的集中質(zhì)量個(gè)數(shù)，如圖3(a)～圖3(d)所示。模型1能反映剔除轉(zhuǎn)軸網(wǎng)格密度影響的鐵芯質(zhì)量分布影響規(guī)律。第二種計(jì)算模型是使鐵芯離散的集中質(zhì)量數(shù)與鐵芯段轉(zhuǎn)軸網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)一致變化，如圖3(e)、圖3(f)所示。相比來說，模型2比較符合有限元建模習(xí)慣，是實(shí)踐中常采用的建模方式，但模型結(jié)果包含了轉(zhuǎn)軸網(wǎng)格密度的影響。兩種模型均按照集中質(zhì)量的個(gè)數(shù)依次命名為M1工況，M2工況，…，等。

圖3 兩種鐵芯處計(jì)算模型示意

3.1.1 模型1結(jié)果與分析

利用模型1計(jì)算時(shí)將鐵芯段轉(zhuǎn)軸直接取為高密度網(wǎng)格(均分為16份，共17個(gè)轉(zhuǎn)軸單元節(jié)點(diǎn))，然后依次取各工況的鐵芯質(zhì)量被離散為1、2、3、5、9、17個(gè)集中質(zhì)量(各集中質(zhì)量均勻布置于軸段，如圖3所示)，并計(jì)算牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在各工況時(shí)的前20階彎扭模態(tài)信息，取前14階模態(tài)頻率列于表1。由于模型中電機(jī)轉(zhuǎn)子繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)自由度為自由狀態(tài)，故各工況的第1階模態(tài)均為轉(zhuǎn)子剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)且頻率為零，后續(xù)各工況中不再對(duì)此論述，模態(tài)數(shù)據(jù)直接從第2階開始。

作為對(duì)比，取M17工況作為參照工況，因?yàn)樵摴r的鐵芯質(zhì)量分布最接近實(shí)際情況。M17工況的部分彎扭振型分別被繪制在圖4、圖5中。從圖中以及表1中可以看到，M17工況的第2、3階，第4、5階振型分別是轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中常見的圓柱模態(tài)和圓錐模態(tài)；第7、8階，9、10階以及12、13階是更高階彎曲模態(tài)，但相比之下，它們的模態(tài)頻率要比前四階彎曲模態(tài)的頻率高出許多；表1中第6、11和14階模態(tài)則屬于扭轉(zhuǎn)模態(tài)。圖5中還給出了更高階的扭轉(zhuǎn)模態(tài)(扭振17：4 227.1 Hz、扭振20：4 633.2 Hz)振型。進(jìn)一步對(duì)比分析這些彎扭模態(tài)振型可以發(fā)現(xiàn)，扭轉(zhuǎn)振型(扭振20：4 633.2 Hz除外)和高階彎曲振型(從第7階起)的形態(tài)變化主要集中在電機(jī)轉(zhuǎn)軸的鐵芯段。基于此可以推斷出鐵芯質(zhì)量在這里的分布形式勢(shì)必會(huì)對(duì)這些電機(jī)轉(zhuǎn)子模態(tài)產(chǎn)生較大影響。而電機(jī)轉(zhuǎn)子的圓柱、圓錐振型以及4 633.2 Hz的扭轉(zhuǎn)振型，由于它們?cè)阼F芯段的形變或變形較小，因而可以推斷這些模態(tài)受鐵芯質(zhì)量分布的影響比較小。在后續(xù)的討論中這些推斷可以得到驗(yàn)證。

表1 不同鐵芯質(zhì)量分布影響下的牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率 Hz

圖4 前14階中的彎曲振型

圖5 前20階中的扭轉(zhuǎn)振型

在M1工況(即將鐵芯質(zhì)量等效為質(zhì)心處的1個(gè)集中質(zhì)量，如圖3(a)所示)時(shí)，從表1可以看到，其前六階彎曲模態(tài)頻率與參考工況M17結(jié)果差別不大，而查看對(duì)應(yīng)的振型形態(tài)也與圖4(a)～圖4(c)振型非常接近。不過，M1工況的扭轉(zhuǎn)模態(tài)以及其他更高階彎曲模態(tài)與參照工況M17差異卻較大。其中，扭轉(zhuǎn)模態(tài)的出現(xiàn)不但推后(第一階扭轉(zhuǎn)頻率為3 877.6 Hz)，而且扭轉(zhuǎn)振型差異也較大。如圖6所示，前兩階扭振模態(tài)，M1:扭振(3 877.6 Hz)和M1:扭振(4 626.8 Hz)，都是僅在其中一側(cè)發(fā)生較大扭振，扭振的傳遞被等效在質(zhì)心處的較大集中質(zhì)量所割斷。同樣高階彎曲模態(tài)也呈現(xiàn)出與扭轉(zhuǎn)模態(tài)類似的情況，對(duì)應(yīng)的頻率和振型與M17工況差異均較大。因此，從M1工況模型的振動(dòng)特性來看，這種單質(zhì)心的鐵芯質(zhì)量處理方式只適用于研究牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的低階彎曲動(dòng)力學(xué)問題，而當(dāng)涉及轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和高階彎曲振動(dòng)時(shí)，則無法滿足電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析要求。

圖6 M1工況和M2工況中的部分扭轉(zhuǎn)振型

在M2工況(等效為鐵芯兩端處2個(gè)集中質(zhì)量，如圖3(b)所示)時(shí)，從表1可以看到模型在第6階時(shí)出現(xiàn)了扭轉(zhuǎn)模態(tài)(708.85 Hz)，查看該模態(tài)振型可知其與參考工況M17在圖5所示扭振6(1 090.9 Hz)接近，可確認(rèn)其對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的第一階扭轉(zhuǎn)振型。但更高階的扭轉(zhuǎn)模態(tài)直到第15(4 610.3 Hz)和16(5 074 Hz)階才連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)(這兩階模態(tài)頻率未在表1中列出，但它們對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)振型為圖6中繪制的M2:扭振)。對(duì)于M2:扭振(5 074 Hz)，雖然其與圖5中扭振11的振型類似，但其扭轉(zhuǎn)變形被兩個(gè)較大的集中質(zhì)量限制在了鐵芯段內(nèi)部，使得鐵芯以外部位的扭振幅值很小。對(duì)于M2:扭振(4 610.3 Hz)，其與圖5中扭振20(4 633.2 Hz)的振型類似且頻率比較接近，可以發(fā)現(xiàn)該振型在電機(jī)轉(zhuǎn)軸鐵芯段的變形幅值比較小。實(shí)質(zhì)上，這一現(xiàn)象驗(yàn)證了前述推斷，即當(dāng)某階模態(tài)振型在電機(jī)轉(zhuǎn)軸鐵芯段的變形幅值較小時(shí)，該階模態(tài)受鐵芯質(zhì)量分布的影響就比較小，那么在各工況下的該階模態(tài)頻率和振型將基本維持不變。這一現(xiàn)象在后續(xù)其他工況中也可以觀察到。在模態(tài)頻率方面，M2工況除了轉(zhuǎn)子圓柱模態(tài)頻率(第2、3階)和M2:扭振(4 610.3 Hz)外，其他在表1中所列模態(tài)頻率與參考工況M17的差別均比較大，而且包含了低階彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率，如第4、5階圓錐模態(tài)和第一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率。另外，M2工況的模態(tài)頻率在整體上要比其他工況均偏小。因此，對(duì)于M2工況模型，雖然其能反映出電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎扭特性，但由于其低階圓錐彎曲模態(tài)頻率值以及第一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率值都與參考工況存在較大偏差，所以除非只關(guān)注電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的低階圓柱模態(tài)，其他情況都不宜采用這種將鐵芯質(zhì)量等效為兩個(gè)集中質(zhì)量的模擬方式。

在M3工況(圖3(c)所示)時(shí)，相比M2工況，該工況的模態(tài)頻率值整體增大，且新增了與M17工況模態(tài)振型相似的第二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)(1 417.6 Hz)。對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，M3工況的模態(tài)分析結(jié)果無論是在模態(tài)頻率還是振型方面都與M17工況更為接近，從表1數(shù)據(jù)可以看到兩種工況的低階彎扭模態(tài)頻率誤差基本都在11%以內(nèi)。后續(xù)計(jì)算可以看到，當(dāng)用更多集中質(zhì)量描述鐵芯質(zhì)量特性時(shí)，如M5和M9工況，計(jì)算模態(tài)結(jié)果也更趨近于M17工況(見表1)。因而，當(dāng)分析牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子的彎扭動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，為了能夠較為準(zhǔn)確地反映轉(zhuǎn)子的彎曲和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性，其電機(jī)轉(zhuǎn)子鐵芯的質(zhì)量分布至少要按M3工況進(jìn)行模擬。

3.1.2 模型2結(jié)果與分析

當(dāng)利用模型2計(jì)算時(shí)，分別將鐵芯段轉(zhuǎn)軸網(wǎng)格均勻地劃分為n份，這里取n為偶數(shù)，即n=2、4、6、…、16份，共8種工況，每種工況對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n+ 1，相應(yīng)地轉(zhuǎn)子鐵芯質(zhì)量分別被離散為M=n+ 1個(gè)等效集中質(zhì)量。這里，僅將模型2的M3、M5、M9和M17工況模態(tài)結(jié)果列于表1中，其中M17工況在模型2和模型1中是一樣的，故模態(tài)結(jié)果也是一樣的。同樣取M17工況為參考工況。

對(duì)比兩種計(jì)算模型的模態(tài)結(jié)果可知，兩種模型所呈現(xiàn)的規(guī)律是大致相同的。從表1可以看到，在相同工況下(或者說同樣的鐵芯質(zhì)量分布情況下)，模型2的彎曲模態(tài)頻率比模型1會(huì)略有增大，而且模態(tài)階數(shù)越高這種差異就越大，但隨著鐵芯質(zhì)量離散密度的增加(由M3過渡到M17工況)，這兩種模型彎曲模態(tài)頻率的差別則逐漸減小了。而對(duì)于扭轉(zhuǎn)模態(tài)，相同工況下兩種模型的扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率差異幾乎為零。由此可見，在鐵芯質(zhì)量分布一定的情況下，轉(zhuǎn)軸網(wǎng)格密度的改變(由模型1到模型2)對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)子彎曲模態(tài)結(jié)果影響較大，但對(duì)扭轉(zhuǎn)模態(tài)結(jié)果影響卻較小，說明電機(jī)轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)模態(tài)主要依賴于鐵芯質(zhì)量分布。另一方面，兩種模型的對(duì)比結(jié)果也說明，單純?cè)黾愚D(zhuǎn)軸網(wǎng)格密度對(duì)牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)結(jié)果改善是非常有限的，必須同時(shí)增加鐵芯質(zhì)量離散個(gè)數(shù)，才能使得電機(jī)轉(zhuǎn)子彎扭模態(tài)趨于參考工況結(jié)果。

3.2 鐵芯剛度貢獻(xiàn)的影響

鐵芯對(duì)轉(zhuǎn)軸彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度起到增強(qiáng)作用，這種剛度增加勢(shì)必會(huì)影響在轉(zhuǎn)軸鐵芯段存在復(fù)雜形態(tài)的電機(jī)轉(zhuǎn)子模態(tài)。這里僅討論在不同鐵芯剛度貢獻(xiàn)下的電機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性變化規(guī)律。為此，首先采用前述第一種考慮鐵芯對(duì)轉(zhuǎn)軸剛度增強(qiáng)的方法(簡稱方法1)，取鐵芯質(zhì)量分布為M17工況，并令鐵芯段轉(zhuǎn)軸半徑由Ri逐漸增至Ro，設(shè)計(jì)9種剛度增強(qiáng)工況，即各工況增強(qiáng)轉(zhuǎn)軸的半徑分別為

R=Ri+N(Ro-Ri)/8N=0,1,…，8

(16)

分別記為N0，N1，N2，…，N8工況。計(jì)算出的各工況部分模態(tài)數(shù)據(jù)列于表2，部分模態(tài)頻率隨工況的變化曲線如圖7所示。

表2 不同鐵芯剛度貢獻(xiàn)影響下的電機(jī)轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率 Hz

圖7 電機(jī)轉(zhuǎn)子彎扭模態(tài)頻率隨工況的變化曲線

從表2和圖7可以看到，隨著工況的改變(即鐵芯段轉(zhuǎn)軸剛度的增大)，電機(jī)轉(zhuǎn)子的各階模態(tài)頻率也整體上隨著增大。其中在彎曲模態(tài)中，轉(zhuǎn)子圓柱和圓錐模態(tài)頻率曲線(圖7中的B1～B4)到N2工況以后變化就趨于平緩了，而更高階彎曲模態(tài)(如圖7中B5～B6)達(dá)到N4工況才變化比較平緩，究其原因是因?yàn)楦唠A的彎曲模態(tài)振型在鐵芯段有較大形變，故而受剛度增強(qiáng)的作用就比較明顯。不過，各階彎曲模態(tài)頻率并未隨著轉(zhuǎn)軸剛度的增強(qiáng)而迅速增加，而是到達(dá)一定程度后就增加的非常緩慢，說明通過提高鐵芯與轉(zhuǎn)軸的熱套過盈量來提高轉(zhuǎn)軸的彎曲剛度是不可行的，反而會(huì)使電機(jī)轉(zhuǎn)子的裝配變得更加困難[9]。另一方面，對(duì)于扭轉(zhuǎn)振型T1、T2、T3由于它們的形態(tài)改變都集中在鐵芯段，故而轉(zhuǎn)軸剛度的增強(qiáng)對(duì)這些扭轉(zhuǎn)模態(tài)的頻率影響非常明顯，但對(duì)于扭轉(zhuǎn)振型T*，由于受鐵芯段轉(zhuǎn)軸剛度的影響較小，所以在整個(gè)過程中其模態(tài)頻率波動(dòng)不大，維持在4 600 Hz左右。

采用第二種通過增大轉(zhuǎn)軸材料彈性模量參數(shù)的方法考慮轉(zhuǎn)軸剛度增強(qiáng)作用時(shí)，簡稱方法2。為了與方法1對(duì)比，依據(jù)轉(zhuǎn)軸單元?jiǎng)偠葏?shù)中E或G與I或Ip的關(guān)系可知，彈性模量參數(shù)的增大系數(shù)為

(17)

依據(jù)式(17)計(jì)算9種工況，并將方法2結(jié)果仍列于表2中?？梢钥吹?，兩種方法計(jì)算結(jié)果基本一致，表明兩種轉(zhuǎn)軸剛度增強(qiáng)方法都是可行的。其中，對(duì)于彎曲模態(tài)結(jié)果，方法2計(jì)算出的彎曲頻率值要比方法1略高，且隨著模態(tài)階數(shù)的增大而有所增加；而對(duì)于扭轉(zhuǎn)模態(tài)結(jié)果則相反，方法1的扭轉(zhuǎn)頻率會(huì)略高于方法2。

3.3 電機(jī)慣性負(fù)載的影響

前述各節(jié)分析中并未計(jì)及電機(jī)慣性負(fù)載的影響，本節(jié)將式(12)計(jì)算所得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以集中質(zhì)量的方法附加在電機(jī)轉(zhuǎn)子模型的輸出端節(jié)點(diǎn)上，以考查動(dòng)車牽引電機(jī)慣性負(fù)載對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭振動(dòng)特性的影響。這里仍在參考工況M17模型基礎(chǔ)上計(jì)算計(jì)及慣性負(fù)載的系統(tǒng)彎扭特性的前20階模態(tài)信息，并在表1中數(shù)據(jù)列出了前15階，圖8繪制了前20階出現(xiàn)的扭轉(zhuǎn)振型，而彎曲振型與M17工況基本一致(圖4)。從表1可以看出，慣性負(fù)載的引入并不影響彎曲模態(tài)，與參考工況一致，僅僅影響系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)模態(tài)，如出現(xiàn)了更低頻率的扭轉(zhuǎn)模態(tài)(105.20 Hz)，該頻率甚至低于第一階彎曲頻率(133.36 Hz)，其他扭轉(zhuǎn)模態(tài)的固有頻率則略有增加(約10 Hz)。進(jìn)一步，對(duì)比圖5和圖8中的扭轉(zhuǎn)振型圖，可以發(fā)現(xiàn)兩者的差別主要存在于電機(jī)轉(zhuǎn)子輸出端的扭振幅值，其中考慮慣性負(fù)載的電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭振幅值在轉(zhuǎn)軸輸出端幾乎為零，究其原因是等效的慣性負(fù)載數(shù)值要比電機(jī)轉(zhuǎn)子本身的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大。這一現(xiàn)象類似于在轉(zhuǎn)子輸出端節(jié)點(diǎn)添加固定扭轉(zhuǎn)邊界，但又與直接施加固定扭轉(zhuǎn)邊界不同，因?yàn)檫@個(gè)模型具有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)，更能準(zhǔn)確地描述考慮慣性負(fù)載的牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子彎扭振動(dòng)特性。另一方面，可以看到不考慮慣性負(fù)載的電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)第一階扭轉(zhuǎn)頻率(如1 090.9 Hz)遠(yuǎn)高于動(dòng)車牽引電機(jī)的工作轉(zhuǎn)速，但當(dāng)計(jì)及慣性負(fù)載影響后，第一階扭轉(zhuǎn)頻率(如105.20 Hz)會(huì)降低，有可能降到工作轉(zhuǎn)速范圍附近或以內(nèi)，尤其是當(dāng)考慮負(fù)載中諸如聯(lián)軸器等零部件的柔性影響時(shí)。因而，當(dāng)研究電機(jī)軸扭轉(zhuǎn)或彎扭耦合振動(dòng)時(shí)，必須要考慮動(dòng)車牽引電機(jī)慣性負(fù)載的影響。

圖8 考慮負(fù)載慣性的牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振型

4 結(jié)論

本文采用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)梁元有限元方法建立動(dòng)車牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎扭振動(dòng)特性分析模型，并詳細(xì)討論鐵芯質(zhì)量分布、剛度貢獻(xiàn)以及電機(jī)慣性負(fù)載對(duì)系統(tǒng)彎扭振動(dòng)特性的影響規(guī)律。得到如下結(jié)論：

(1)無論是鐵芯的質(zhì)量分布還是其剛度增強(qiáng)作用，它們的變化主要影響在轉(zhuǎn)子鐵芯段存在較大形變的模態(tài)振型。而像轉(zhuǎn)子的圓柱模態(tài)、圓錐模態(tài)以及其他一些在鐵芯段振型變化較小的扭轉(zhuǎn)和彎曲模態(tài)受它們的影響則較小。

(2)鐵芯質(zhì)量分布的選擇受制于鐵芯段轉(zhuǎn)軸網(wǎng)格密度以及鐵芯質(zhì)量離散個(gè)數(shù)，直接影響系統(tǒng)彎扭振動(dòng)特性的準(zhǔn)確性，可以發(fā)現(xiàn)常用的單質(zhì)心集中質(zhì)量模型(M1工況)只適用于分析牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的低階彎曲振動(dòng)規(guī)律，而若要全面分析系統(tǒng)的彎扭耦合振動(dòng)，鐵芯質(zhì)量分布至少要采用M3工況及以上工況進(jìn)行模擬。另外，采用的模型1和模型2都能正確模擬鐵芯質(zhì)量分布，其中模型2從工程角度看更適合M3工況及以上工況的模擬。

(3)鐵芯剛度貢獻(xiàn)的模擬方法1和方法2是等效和可行的?？梢园l(fā)現(xiàn)隨著轉(zhuǎn)軸剛度的增強(qiáng)，電機(jī)轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率會(huì)增高，尤其是對(duì)扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率影響顯著，但彎曲模態(tài)的頻率曲線在轉(zhuǎn)軸剛度增加到一定程度后變化就比較緩慢了，表明即使鐵芯與轉(zhuǎn)軸間采用過大的熱套過盈量也不能有效提高系統(tǒng)彎曲振動(dòng)頻率，反而會(huì)造成轉(zhuǎn)子鐵芯裝配困難。

(4)電機(jī)慣性負(fù)載的引入使得牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)新增了電機(jī)與負(fù)載之間的扭轉(zhuǎn)振型，第一階扭轉(zhuǎn)頻率降低，很有可能落入牽引電機(jī)工作轉(zhuǎn)速范圍附近或以內(nèi)，造成電機(jī)與負(fù)載之間的扭轉(zhuǎn)共振。不過，電機(jī)慣性負(fù)載僅影響系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)模態(tài)，對(duì)彎曲模態(tài)是沒有影響的。因而，在分析系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)或彎扭耦合問題時(shí)，非常有必要計(jì)及牽引電機(jī)慣性負(fù)載的影響。