王妍，張元海

豎向偏心荷載作用下懸臂箱梁畸變效應研究

王妍，張元海

(蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070)

在改進的箱梁畸變效應解析理論基礎上，用能量變分法建立畸變控制微分方程，根據(jù)邊界條件推導出兩端設置橫隔板的懸臂箱梁在豎向偏心均布荷載作用下的畸變效應計算式。通過有限元軟件ANSYS對所推導公式的正確性進行驗證。結合數(shù)值算例詳細分析參數(shù)變化對懸臂箱梁畸變效應的影響。研究結果表明：高寬比對懸臂箱梁畸變翹曲正應力的影響程度大于對橫向單寬彎矩的影響程度，當高寬比約為1.5時懸臂箱梁畸變效應最為顯著；當高寬比和懸臂板相對寬度變化時，畸變翹曲正應力發(fā)生變號以及橫向單寬彎矩出現(xiàn)峰值的截面位置也會改變；懸臂板相對寬度對畸變效應影響較??；荷載偏心率對畸變效應影響顯著。

懸臂箱梁；能量變分法；畸變效應；翹曲正應力；橫向彎矩

箱形截面由于具有結構性能良好、穩(wěn)定性強、截面效率高等優(yōu)點而在現(xiàn)代各種橋梁上都得到了廣泛的應用。然而，隨著其壁厚日趨減小，由截面畸變引起的翹曲正應力在箱梁橋總應力中所占的比例逐漸增大[1?2]。有關研究表明，簡支箱梁截面由剛性扭轉和畸變產(chǎn)生的縱向翹曲應力可達由活載和恒載共同作用的縱向彎曲應力的1/4左右[3?4]，而由截面畸變產(chǎn)生的橫向彎曲應力大小可達到活載縱向彎曲應力大小的同一數(shù)量級[5?8]。畸變效應解析方法目前有等代梁法[1]、彈性地基梁比擬法[9?10]、廣義坐標法[11]等。各種方法繁簡程度以及對畸變變形未知量的選取和定義皆有不同，在分析過程中有些方法考慮剪切變形，有些方法則不考慮，許多學者研究得出剪切變形對畸變效應影響較小的結論[12?13]。國內外學者發(fā)表的相關論文幾乎都以簡支箱梁為例揭示畸變效應[14?20]，而針對懸臂箱梁畸變效應研究分析的文獻較少[21]。然而橋梁施工方法中有些方法會使橋體在施工過程中處于懸臂狀態(tài)，例如對稱懸臂施工法、頂推法等。本文在改進的箱梁畸變效應解析理論基礎上，推導了兩端設置橫隔板的懸臂箱梁在豎向偏心均布荷載作用下的畸變角、畸變矩、畸變雙力矩的表達式，并結合具體算例詳細分析了高寬比、懸臂板相對寬度、荷載偏心率等參數(shù)變化對懸臂箱梁畸變效應的影響。

1 畸變總勢能

1.1 畸變基本未知量

單室梯形箱梁橫截面畸變變形如圖1所示，為形心坐標系，為過點且平行于正半軸的直線與腹板的交點，為軸與底板交點。為畸變中心，D為畸變角，其組成及截面變形如圖2所示。定義箱梁周線坐標以逆時針為正，則上、下翼板和腹板沿的切向位移t可分別表達如下：

式中：0為截面形心到上翼板中面的距離；D為截面畸變中心的坐標；1為點到軸的距離；為梁高；為腹板俯角。

將式(1)代入式(2)可得：

式中：

(a) γD1；(b) γD2

將式(3)代入式(1)，并根據(jù)zs=0，可得：

式中：

將式(4)對積分，可得：

D稱為畸變扇性坐標，根據(jù)式(7)可計算出各個特征點的扇性坐標值，進而畫出箱形截面扇性坐標分布圖如圖3所示。

圖3中D1，D2和D3為上翼板左端點、腹板與上、下翼板交點處的扇性坐標，其表達式如下：

圖3 畸變扇性坐標分布圖

則根據(jù)彈性體物理方程可得：

記與D1，D2和D3相對應的特征點的翹曲正應力為D1，D2和D3，定義應力比為D2與D3的絕對值之比，則可得畸變中心的坐標為：

由于畸變荷載是自相平衡的，所以翹曲正應力對軸的力矩為0，可得應力比的表達式為：

式中：1，2和w為上、下翼板和腹板的厚度；1，2，3和w參見圖1。

1.2 畸變翹曲應變能

根據(jù)式(8)可求得畸變翹曲應變能1為：

1.3 框架畸變應變能

由圖2所示的畸變變形關系，可將箱梁截面上任一點沿著形心坐標軸，正向的位移分別表 達為：

式中：w()為計算點所在水平線與腹板交點到軸的距離。

沿梁跨徑方向截取單位長度梁段形成的橫向框架進行分析，其變形如圖4所示。將左腹板上下角點處的坐標(1，?0)，(2，0)代入式(12)可得2角點的橫向位移分別為：

式中：

根據(jù)圖4中各角點的位移方向，由兩端固定等截面直桿的轉角位移方程可得到角點1，2的桿端彎矩分別為：

圖4 橫向框架畸變變形圖

需特別注意3點：首先，轉角位移方程中的各項都以順時針為正；其次，圖4中1的方向與規(guī)定的正方向相反，故式(14)和(15)中在其前面加了負號；最后，框架彎矩及其變位具有左右反對稱性。

根據(jù)角點處桿端彎矩的平衡，將式(13)代入(14)和(15)式可得：

式中：

聯(lián)立解出式(16)中的1和2后回代到式(14)和式(15)，就能得到圖4中角點1，2的橫向彎矩為(框架內側受拉為正)：

式中：

得到角點彎矩以后就可得出箱梁的框架畸變應變能2為：

式中：

1.4 外荷載勢能

若將箱梁上作用的豎向偏心荷載分解成的豎向反對稱荷載記為D，則外荷載勢能可表達為：

式中：D為分布畸變荷載。

1.5 總勢能

畸變總勢能為畸變翹曲應變能、框架畸變應變能和外荷載勢能的總和：

2 畸變控制微分方程

對式(20)進行一階變分得：

根據(jù)能量變分原理，令總勢能的一階變分為0，可得：

式(22)即為畸變控制微分方程，式(23)則為邊界條件。

化簡式(22)，可得：

由邊界條件式(23)可以得出畸變矩D及畸變雙力矩D的表達式為：

對于懸臂箱梁，當求解畸變微分方程式(24)時所用到的邊界條件如下：

3 懸臂梁承受豎向偏心均布荷載

求解控制微分方程式(24)，可得箱梁在承受滿跨均布畸變荷載D時的通解為：

根據(jù)兩端邊界條件：

可求得式(26)中的4個積分常數(shù)分別為：

將1，2，3和4回代至式(26)即可得到懸臂梁承受均布畸變荷載D時的畸變角D的表達式，在此基礎上，對D求兩階、三階導數(shù)后代入式(25)即可得懸臂梁承受均布畸變荷載D時的畸變矩、畸變雙力矩的表達式。為使表達式簡潔，這里仍用1，2，3和4：

由式(8)和式(25)可得畸變翹曲正應力表達式：

至此，有關兩端設置橫隔板的懸臂梁承受均布荷載時的所有畸變相關量已得到求解，可直接利用本文推導的解析式(17)，(26)，(27)，(28)和(29)計算其橫向單寬彎矩、畸變角、畸變矩、畸變雙力矩和翹曲正應力。

需特別注意：文中式(1)～(25)普遍適用于梯形截面箱梁畸變效應的求解，而式(26)～(29)則只適用于兩端設置橫隔板的懸臂箱梁承受豎向偏心均布荷載時的畸變效應計算。

4 數(shù)值算例及參數(shù)分析

等截面懸臂箱梁跨度=40 m，其橫截面尺寸如圖5所示。圖5中表示荷載偏心距，箱梁承受豎向偏心均布荷載=20 kN/m，材料彈性模量=35 GPa。箱梁只在兩端設有橫隔板。

單位：m

定義高寬比為梁高與箱室寬度之比，懸臂板相對寬度為懸臂板寬度與箱室寬度之比，荷載偏心率為荷載偏心距與頂板半寬之比。

為了驗證本文所得公式的正確性，在荷載偏心率=1時，將有限元軟件ANSYS和按本文方法計算的跨中截面上翼板各計算點畸變翹曲正應力結果列于表1。計算點位置如圖6所示。

單位：m

ANSYS模型采用殼單元SHELL63，固定端節(jié)點采用全約束。施加荷載時，將作用在箱梁上的豎向偏心荷載分解成得到的箱梁各板元的畸變荷載等效均勻地施加在殼單元各節(jié)點上，如此，ANSYS模型得到的結果就為畸變效應結果。由表1可以看出，按本文所推公式計算的結果與ANSYS軟件的計算結果總體上吻合良好。

表1 跨中截面畸變翹曲正應力比較

注：相對誤差=(ANSYS解?本文解)/ANSYS解×100%。

按本文方法計算得出的畸變翹曲正應力與橫向單寬彎矩的縱向分布如圖7所示。圖7中D2，1為頂板與腹板交點處的畸變翹曲正應力與單寬彎矩值；D3，2為底板與腹板交點處的畸變翹曲正應力與單寬彎矩值。

由圖7(a)可以看出：畸變翹曲正應力在跨內出現(xiàn)了變號，峰值出現(xiàn)在自由端，且D3大于D2(絕對值)；由圖7(b)可以看出：橫向單寬彎矩在縱向呈現(xiàn)先增大后減小的規(guī)律，且2大于1。

(a) 翹曲正應力縱向分布圖；(b) 橫向單寬彎矩縱向分布圖

值得說明的是：圖7(a)中畸變翹曲正應力出現(xiàn)了變號是因為懸臂箱梁兩端設置了橫隔板，因此在豎向偏心均布荷載作用下兩端畸變角為0而跨內畸變角皆為正，進而導致畸變雙力矩在跨內發(fā)生了變號；畸變扇性坐標D只與截面特性有關，不隨而變(詳見圖3)，而畸變翹曲慣性矩ID總為正；則由式(29)可以看出，若畸變雙力矩變號則畸變翹曲正應力也隨之發(fā)生變號。

4.1 高寬比對畸變效應的影響

為了研究對畸變效應的影響，保持=40 m，3=2.4 m，=2.35 m不變，通過改變梁高可按本文公式求得變化時D3和2的縱向分布曲線以及D3峰值變化曲線如圖8所示。

由圖8(a)可以看出：隨著的增大，D3的縱向分布曲線變化顯著，從分段單調變?yōu)槭冀K單調且發(fā)生變號的截面位置也逐漸右移，但峰值始終出現(xiàn)在自由端；由圖8(b)可以看出：2的縱向分布曲線并無明顯變化但隨的增大其出現(xiàn)峰值的截面位置逐漸左移且絕對值也逐漸減小；對比圖8(a)和8(b)可看出：對翹曲正應力的影響程度大于橫向單寬彎矩；由圖8(c)可以看出：隨著的增大，D3的峰值變化劇烈，在約為1.5時達到峰值，也即此時懸臂梁畸變效應最為顯著。

(a) ψ變化時σD3縱向分布；(b) ψ變化時M2縱向分布；(c) ψ變化時σD3峰值變化

4.2 懸臂板相對寬度對畸變效應的影響

為了研究對畸變效應的影響，保持=40 m，=2.12 m，=2.35 m不變，通過改變懸臂板寬度可按本文公式求得變化時D3和2的縱向分布曲線如圖9所示。

(a)χ變化時σD3縱向分布；(b) χ變化時M2縱向分布

由圖9(a)可以看出：隨著增大，D3發(fā)生變號的截面位置逐漸右移；由圖9(b)可以看出：隨著增大，2出現(xiàn)峰值的位置逐漸左移；對比圖9(a)和9(b)可看出：隨著的增大，雖然D3與2的絕對值都逐漸增大，但增大的幅度很小，這說明懸臂板相對寬度變化對畸變效應影響較小。筆者針對箱室高寬比不同情況，又做了計算后發(fā)現(xiàn)，對扁寬懸臂箱梁，普遍存在懸臂板相對寬度對畸變效應影響較小的結論。

4.3 荷載偏心率對畸變效應的影響

為了研究對畸變效應的影響，保持=40 m，=2.12 m，3=2.4 m不變，通過改變荷載偏心距，可按本文公式求得變化時D3和2的縱向分布曲線如圖10所示。

(a) ζ變化時σD3縱向分布；(b) ζ變化時M2縱向分布

由圖10可以看出：荷載偏心率對畸變效應影響顯著，越大，畸變翹曲正應力與橫向單寬彎矩變化越劇烈；隨著增大，D3與2呈線性增大，但D3發(fā)生變號和2出現(xiàn)峰值的截面位置不發(fā)生變化。

5 結論

1) 在改進的畸變效應解析理論基礎上，用能量變分法建立了畸變控制微分方程，并根據(jù)邊界條件推導出了兩端設置橫隔板的懸臂箱梁在豎向偏心均布荷載作用下的畸變角、畸變矩、畸變雙力矩的解析表達式，以便工程應用。通過ANSYS有限元驗證了本文公式的正確性。

2) 箱室高寬比對懸臂箱梁翹曲正應力的影響程度大于對橫向單寬彎矩的影響程度。隨著高寬比的增大，腹板與底板交點處翹曲正應力的最大值變化劇烈，當高寬比約為1.5時達到峰值，亦即此時懸臂箱梁畸變效應最為顯著。

3) 隨著箱室高寬比和懸臂板相對寬度的增大，腹板與底板交點處翹曲正應力發(fā)生變號的截面位置逐漸右移，而腹板與底板交點處橫向單寬彎矩出現(xiàn)峰值的截面位置逐漸左移，但總是分別在距離固定端/8和3/4左右擺動，擺動幅度不超過跨徑的15%；相較于懸臂板相對寬度，高寬比與荷載偏心率變化對懸臂箱梁畸變效應的影響程度更為顯著。

4) 隨著荷載偏心率的增大，腹板與底板交點處的翹曲正應力與橫向單寬彎矩都呈線性增大，但翹曲正應力發(fā)生變號和橫向單寬彎矩出現(xiàn)峰值的截面位置不會發(fā)生變化；荷載偏心率越大，畸變效應越顯著。

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Research on distortion effect of cantilever box girder under eccentric vertical load

WANG Yan, ZHANG Yuanhai

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Based on the modified distortion theory of box girders, the governing differential equation was established by applying energy variation method. The calculation formulas of distortion effect of the box girder with diaphragms in both ends subjected to the vertical eccentric uniform load were derived according to the boundary condition. The correctness of the formulas derived in this paper was verified through finite element software ANSYS. The influences of parameters on distortion effect of the box girder were analyzed through numerical examples. It is shown that the influence degree of height to width ratio on distortional warping normal stresses of cantilever box girder is more remarkable than the transverse unit-width bending moment. The distortion effect of the box girder is most significant when the height to width ratio is approximately 1.5. The cross-section where the sign of distortional warping normal stresses changes and the peak value of transverse unit- width bending moment emerges vary with the height to width ratio and the relative width of cantilever slab. The relative width of cantilever slab has little influence on distortion effect. The load eccentricity has a significant effect on distortion effect.

cantilever box girder; energy variation method; distortion effect; warping normal stress; transverse bending moment

U448.213

A

1672 ? 7029(2021)02 ? 0408 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20200280

2020?04?07

國家自然科學基金資助項目(51968040，51468032)

張元海(1965?)，男，甘肅武山人，教授，博士，從事薄壁箱梁設計理論研究；E?mail：zyh17012@163.com

(編輯 涂鵬)