盧冠宇， 姚建喜

(武漢理工大學(xué) a. 高性能艦船技術(shù)教育部重點試驗室；b. 船海與能源動力工程學(xué)院， 湖北 武漢 430063)

利用船舶操縱運動的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計算機(jī)數(shù)值模擬是船舶操縱性預(yù)報最常用和最有效的方法之一。船舶操縱運動的數(shù)學(xué)建模分為機(jī)理建模和黑箱建模。機(jī)理建?；诖_定的數(shù)學(xué)模型，常用的為Abkowitz整體式模型和分離式數(shù)學(xué)模型(Maneuvering Modeling Group, MMG)。對于機(jī)理建模，所使用模型中水動力導(dǎo)數(shù)的精度是影響其預(yù)報精度的關(guān)鍵。目前，獲取水動力導(dǎo)數(shù)主要有約束模型試驗方法、經(jīng)驗公式法、基于CFD(Computational Fluid Dynamics)的數(shù)值計算方法和系統(tǒng)辨識方法等4種方法。由于CFD的數(shù)值模擬耗費大量的計算資源，難以滿足工程的應(yīng)用需要，而系統(tǒng)辨識方法很好地彌補(bǔ)了其缺點。系統(tǒng)辨識用于船舶操縱性預(yù)報的過程屬于有參數(shù)回歸，回歸得到的水動力導(dǎo)數(shù)具有較為明確的物理意義，LUO等[1]使用LS-SVM(Least Square-Support Vector Machine)對船舶操縱性進(jìn)行有參數(shù)的預(yù)報，并討論減緩參數(shù)漂移的方法；李騰飛[2]使用擴(kuò)展卡爾曼濾波法對MMG模型中的部分參數(shù)進(jìn)行辨識。然而，船舶操縱運動實際上是一個非常復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，機(jī)理建模的參數(shù)漂移不能消除，且在多數(shù)情況下使用機(jī)理建模難以建立高精度的船舶操縱運動模型。使用黑箱建模的思想進(jìn)行無參數(shù)回歸，將水動力與運動參數(shù)進(jìn)行非線性的黑箱映射，可避免出現(xiàn)在系統(tǒng)辨識過程中水動力導(dǎo)數(shù)的耦合現(xiàn)象，從而提高預(yù)報精度。對于實船運動，黑箱建模便于討論Abkowitz模型外一些項的影響，例如已知高階項和未知項，且可隨著船舶運動建模理論的發(fā)展而對輸入因素進(jìn)行擴(kuò)展。

隨著機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能技術(shù)的發(fā)展，多種新的方法被應(yīng)用在船舶操縱運動模型精度的改進(jìn)上。HADDARA等[3]利用BP(Back Propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性水動力導(dǎo)數(shù)項構(gòu)建黑箱進(jìn)而預(yù)報船舶水面運動；蔡韡等[4]訓(xùn)練徑向基(Radial Basis Function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對船舶操縱運動進(jìn)行預(yù)報；王雪剛等[5]使用LS-SVM在多組仿真數(shù)據(jù)下預(yù)報了四自由度船舶操縱運動，但未對核函數(shù)參數(shù)變化進(jìn)行討論；梅斌等[6]采用模型參考和隨機(jī)森林模型對船舶操縱運動進(jìn)行辨識建模；白偉偉等[7]運用一種基于全局最優(yōu)的局部加權(quán)學(xué)習(xí)算法對船舶操縱運動進(jìn)行黑箱建模；謝朔等[8]將多新息在線方法引入SVM辨識建模。SVM最早用于解決分類問題，顯然運動預(yù)報屬于回歸問題，此時其形式為支持向量回歸(Support Vector Regression, SVR)。

本文使用10°/10°、20°/20°Z形試驗和35°回轉(zhuǎn)試驗的少量仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本重構(gòu)，代入SVR黑箱模型進(jìn)行訓(xùn)練，通過網(wǎng)格搜索交叉驗證對核函數(shù)的選取以及參數(shù)的調(diào)整進(jìn)行試驗，用所構(gòu)建的黑箱模型較為準(zhǔn)確地預(yù)報10°/10°、20°/20°Z形運動和35°回轉(zhuǎn)運動，驗證了該黑箱模型的有效性；基于該模型泛化預(yù)報15°/15°Z形運動和15°、25°回轉(zhuǎn)運動，將預(yù)報結(jié)果和仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行比對，驗證SVR黑箱模型應(yīng)用于船舶操縱運動具有良好的泛化性。

1 操縱運動方程

船舶三自由度操縱運動方程為

(1)

將船體所受水動力進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，即式(1)可表示為

(2)

式(2)中：Xu、Yv和Nv為水動力導(dǎo)數(shù)；Δu為關(guān)于初始縱向速度的變化量。

將式(2)中所有加速度項移至左邊為

(3)

式(3)中：F1、F2、F3為關(guān)于運動參數(shù)u、v、r和δ的函數(shù)；等式左端除(角)加速度項外皆為常量，因此，各(角)加速度可表示為運動參數(shù)u、v、r和δ的函數(shù)，并將加速度項離散為差分形式

(4)

即：

(5)

式(4)和式(5)中：k和k+1為當(dāng)前時刻和下一時刻；g1、g2、g3為u、v、r和δ的非線性函數(shù)，可使用黑箱模型表示非線性函數(shù)，在這個黑箱系統(tǒng)中，輸入{u(k),v(k),r(k),δ(k)}就可輸出{u(k+1),v(k+1),r(k+1)}。

2 SVR和網(wǎng)格搜索

2.1 SVR原理

對于式(5)所反映的函數(shù)關(guān)系，使用SVR建立預(yù)測模型。給定訓(xùn)練樣本集D={(xi,yi),i=1,2,3,…,n}，輸入為多維變量x∈Rm，輸出y∈R。此時多輸入單輸出(Multi Input and Single Output, MISO)系統(tǒng)模型為

yi=ωTxi+b

(6)

式(6)中：ω為權(quán)重向量；b為偏置值。

(7)

式(7)中：C為懲罰項系數(shù)。

(8)

(9)

(10)

(11)

C=αi+μi

(12)

(13)

將式(10)～式(13)代入式(9)，得到SVR的對偶問題，有

(14)

(15)

式(14)和式(15)為凸二次規(guī)劃(QP)問題，存在最優(yōu)解，常使用序列最小優(yōu)化(Sequential Minimal Optimization, SMO)算法[10]進(jìn)行求解，SMO算法的計算流程為

(16)

2.2 核函數(shù)與網(wǎng)格搜索交叉驗證

在處理回歸問題時只關(guān)注于結(jié)果的預(yù)測，并不關(guān)心過程中模型參數(shù)的大小。式(6)所反映的函數(shù)關(guān)系，明顯是線性函數(shù)關(guān)系。在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，當(dāng)提取的特征與預(yù)測目標(biāo)之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系時，往往使用核函數(shù)來對其進(jìn)行高維空間映射，將線性學(xué)習(xí)器拓展為非線性學(xué)習(xí)器，這種思想稱為核方法。

常見的核函數(shù)有線性核函數(shù)、多項式核函數(shù)、RBF核函數(shù)和Sigmoid核函數(shù)等。對于船舶操縱運動模型，輸入變量與輸出變量之間明顯是非線性關(guān)系，且線性核函數(shù)不包含可調(diào)參數(shù)，故先確定以使用多項式核函數(shù)和RBF核函數(shù)為佳。試驗中多項式核函數(shù)的預(yù)測精度接近于RBF核函數(shù)，優(yōu)先使用RBF核函數(shù)進(jìn)行建模與網(wǎng)格搜索，而若RBF核函數(shù)不滿足所設(shè)定精度閾值時，則使用多項式核函數(shù)繼續(xù)尋優(yōu)。以RBF核函數(shù)建立的SVR模型為

(17)

式(17)中：γ為核函數(shù)的尺度參數(shù)。

網(wǎng)格搜索法是一種遍歷式的參數(shù)尋優(yōu)方法，把指定區(qū)間劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格中每一個點都代表一種參數(shù)組合。將網(wǎng)格中包含的所有參數(shù)組合代入計算模型誤差，比較誤差大小，以得到最優(yōu)參數(shù)組合。網(wǎng)格搜索交叉驗證是指以K折交叉驗證結(jié)果為尋優(yōu)依據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格搜索。在網(wǎng)格搜索過程中，將數(shù)據(jù)集劃分成K個子集，每次將其中1個子集作為測試集，剩余K-1個子集作為訓(xùn)練集進(jìn)行訓(xùn)練；依次代入每一個網(wǎng)格中的參數(shù)組合，使用訓(xùn)練集構(gòu)建模型，對測試集進(jìn)行MSE計算；重復(fù)K次迭代，使每子集都曾作為測試集計算MSE，對K次MSE值求平均，作為最終評價網(wǎng)格搜索中參數(shù)組合優(yōu)劣的依據(jù)，取交叉驗證誤差最小的參數(shù)組合作為最優(yōu)結(jié)果。理論上，只要網(wǎng)格無限劃分，最終所找到的參數(shù)組合即為全局最優(yōu)。

本文使用網(wǎng)格搜索法對核函數(shù)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，步驟如下：

1) 將(0.1，10.1)視為γ的取值區(qū)間，取值區(qū)間均分為10等份，取其所有端點值(每次11個點值)代入核函數(shù)，使用10折交叉驗證計算MSE，觀察數(shù)據(jù)走向，取誤差最小點，變量賦值為a。

2) 取p為已循環(huán)次數(shù)，以[a-0.5×10-p+1,a+0.5×10-p+1]為取值區(qū)間，均分為10等份，分別取其所有端點值代入核函數(shù)計算，使用10折交叉驗證取得誤差最小點，更新賦值為a。

3) 重復(fù)進(jìn)行2)，直到MSE小于規(guī)定精度，取MSE最小值作為RBF核函數(shù)的γ參數(shù)。取q為最大循環(huán)次數(shù)，如循環(huán)q次仍不滿足精度要求，分別使用三次和四次多項式核函數(shù)重復(fù)1)，直到MSE小于規(guī)定精度。

SVR黑箱建?？偭鞒桃妶D1。

圖1 SVR黑箱建?？偭鞒?/p>

3 操縱運動預(yù)報

采用KVLCC2船型的CFD計算所得到的水動力導(dǎo)數(shù)，代入整體型操縱運動方程，對其三自由度的運動進(jìn)行仿真，分別得到10°/10°，20°/20°Z形試驗和35°回轉(zhuǎn)試驗的運動數(shù)據(jù)，迭代步長皆為0.1 s，其中Z形試驗以4次轉(zhuǎn)舵操縱為限，35°回轉(zhuǎn)試驗以3 000 s為限。將以上仿真所得4組數(shù)據(jù)匯總等距抽取1%(共694個樣本)用作樣本數(shù)據(jù)。仿真模型KVLCC2的主要參數(shù)見表1。

表1 仿真船型KVLCC2的主要參數(shù)

在仿真生成的無噪聲數(shù)據(jù)中，松弛變量的懲罰項系數(shù)C對SVR結(jié)果幾無影響，取C=106表示回歸過程僅容許較小誤差；取ε=0.1，基于網(wǎng)格搜索法對γ參數(shù)和對應(yīng)核函數(shù)類型進(jìn)行尋優(yōu)，并使用10折交叉驗證對應(yīng)γ值所構(gòu)建SVR黑箱模型的泛化性進(jìn)行評估。在黑箱映射建立過程中，由于r量級較小，僅為u量級的萬分之一，使損失函數(shù)變化的敏感程度低，針對r的樣本輸入進(jìn)行構(gòu)造處理(構(gòu)造方法見第4節(jié))。使用黑箱模型預(yù)報10°/10°、20°/20°Z形試驗和35°回轉(zhuǎn)試驗的u、v、r，并通過以上預(yù)測速度值計算艏向角ψ與35°回轉(zhuǎn)試驗中的對地坐標(biāo)x和y，見圖2～圖4。由圖2～圖4可知：本文建立的SVR黑箱模型可較為準(zhǔn)確地預(yù)報船舶操縱運動。

4 樣本構(gòu)造與討論

在黑箱映射建立過程中，由于r量級較小，僅為u量級的萬分之一，使損失函數(shù)變化的敏感程度低，直接使用原始樣本則無法構(gòu)建r(k+1)關(guān)于自變量的映射關(guān)系，見圖5c～圖7c，需要針對r進(jìn)行樣本構(gòu)造。本文使用的樣本構(gòu)造方法有兩種：

1) 第一種(簡稱構(gòu)造1)是僅對樣本中r的因變量值擴(kuò)大一定倍數(shù)處理，假設(shè)這個倍數(shù)為N，此時構(gòu)建的映射反映的是N×r(k+1)關(guān)于原輸入自變量的關(guān)系。在預(yù)報過程中，在黑箱映射后除以該倍數(shù)N就可得到r(k+1)的預(yù)測值。

2) 第二種(簡稱構(gòu)造2)是對樣本中r的自變量值和因變量值都擴(kuò)大一定倍數(shù)，此時所構(gòu)建映射反映的是N×r(k+1)關(guān)于輸入自變量{u(k),v(k),N×r(k),δ(k)}的關(guān)系，預(yù)報得到的N×r(k+1)除以該倍數(shù)便可得到r(k+1)的預(yù)測值。兩種樣本構(gòu)造的黑箱模型間的區(qū)別見圖8。

分別使用構(gòu)造1和構(gòu)造2對船舶水面三自由度運動進(jìn)行預(yù)報，見圖5～圖7。由圖5～圖7可知：兩種構(gòu)造對于u和v的預(yù)報精度相當(dāng)，但對于r的預(yù)報精度不同。使用構(gòu)造1對10°/10°、20°/20°Z形試驗中r的預(yù)報更為精確，體現(xiàn)在ψ隨時間的變化上，表明r的時歷預(yù)報中誤差的積累小，而構(gòu)造2對r的預(yù)報會使ψ計算隨時間不斷積累更大的誤差，導(dǎo)致數(shù)據(jù)偏離加大；對于35°回轉(zhuǎn)試驗，構(gòu)造1對r的預(yù)報精度明顯不及構(gòu)造2的預(yù)報精度。因此，在第3節(jié)中，優(yōu)先使用構(gòu)造1進(jìn)行預(yù)報，而僅針對35°回轉(zhuǎn)試驗中r的預(yù)報使用構(gòu)造2。

5 網(wǎng)格搜索作用可視化

SVR黑箱模型對船舶操縱運動可實現(xiàn)在小樣本下快速準(zhǔn)確地預(yù)報。在網(wǎng)格搜索過程中，以35°回轉(zhuǎn)試驗的結(jié)果為例，見圖9，核函數(shù)類型的選取以及核函數(shù)取不同的γ值對預(yù)報精度產(chǎn)生明顯影響。系統(tǒng)篩選的尋優(yōu)核函數(shù)類型和γ值及對應(yīng)MSE見表2。

表2 尋優(yōu)核函數(shù)類型、γ值及對應(yīng)MSE

10°/10°、15°/15°、20°/20°Z形試驗和15°、25°、35°回轉(zhuǎn)試驗的預(yù)報精度采用10折交叉驗證的MSE來衡量，誤差值越接近于0表示預(yù)測結(jié)果越準(zhǔn)確如表2所示。

6 泛化性驗證

鑒于第3節(jié)中SVR黑箱模型已對10°/10°、20°/20°Z形試驗和35°回轉(zhuǎn)試驗進(jìn)行預(yù)報，現(xiàn)將該算法應(yīng)用至15°Z形試驗和15°、25°回轉(zhuǎn)試驗的預(yù)報，以驗證SVR預(yù)報具有良好的泛化性。這里取倍數(shù)為100，對樣本作以下處理：在對15°Z形試驗的預(yù)報以及對15°、25°回轉(zhuǎn)試驗中的u、v的預(yù)報中，僅對樣本中因變量的r(k+1)擴(kuò)大100倍(構(gòu)造1)；在預(yù)報15°、25°回轉(zhuǎn)試驗中的r時，對樣本中自變量r(k)和因變量r(k+1)都擴(kuò)大100倍(構(gòu)造2)。用第3節(jié)所使用數(shù)據(jù)集建立SVR黑箱模型，使用網(wǎng)格搜索交叉驗證對核函數(shù)的選取進(jìn)行優(yōu)化，預(yù)報了15°Z形試驗和15°、25°回轉(zhuǎn)試驗的u、v和r，并通過以上預(yù)測速度值計算ψ與回轉(zhuǎn)試驗中的對地坐標(biāo)x和y，見圖10～圖12。由圖10～圖12可知：基于SVR的黑箱預(yù)報方法具有良好的泛化性。

7 結(jié)束語

本文開展基于SVR的船舶操縱運動黑箱建模研究，結(jié)論如下：

1) 通過10°/10°、15°/15°、20°/20°Z形試驗和15°、25°、35°回轉(zhuǎn)試驗預(yù)報結(jié)果與基于機(jī)理建模的仿真結(jié)果對比，驗證所建立SVR黑箱模型的有效性，并具有良好的泛化性。

2) 對于SVR黑箱的訓(xùn)練樣本，需對其進(jìn)行樣本構(gòu)造，不同的樣本構(gòu)造會對結(jié)果精度產(chǎn)生影響，其影響主要體現(xiàn)在對r的預(yù)報。2種構(gòu)造的區(qū)別是：一種僅對樣本中因變量的r(k+1)擴(kuò)大一定倍數(shù)(構(gòu)造1)；另一種對樣本中自變量r(k)和因變量r(k+1)都擴(kuò)大一定倍數(shù)(構(gòu)造2)。對r進(jìn)行預(yù)報時，使用構(gòu)造1對Z形試驗中r的預(yù)報較為準(zhǔn)確，而使用構(gòu)造2則對回轉(zhuǎn)試驗中的r預(yù)報更為準(zhǔn)確。

3) 不同的核函數(shù)類型與核函數(shù)參數(shù)的選取，對黑箱映射功能存在顯著影響。RBF核函數(shù)具有較強(qiáng)的高維映射能力，一般使用RBF核函數(shù)建立模型就可滿足精度要求。本文以多項式核函數(shù)作為備選，在使用RBF核函數(shù)難以達(dá)到精度閾值時用多項式核函數(shù)替代并搜索尋優(yōu)，大大減少循環(huán)次數(shù)，縮短計算時間。

4) 用SVR黑箱建模的方法對船舶操縱運動進(jìn)行預(yù)報時，對參與訓(xùn)練的操縱運動類型的預(yù)報不一定比泛化預(yù)報的運動類型更加準(zhǔn)確，因為黑箱模型訓(xùn)練的過程是無記憶的，目的是為搭建對于輸入輸出損失最小的模型。例如本文抽取了10°/10°、20°/20°Z形試驗和35°回轉(zhuǎn)試驗的694個樣本對進(jìn)行模型訓(xùn)練，對15°/15°Z形試驗和15°、25°回轉(zhuǎn)試驗進(jìn)行泛化性預(yù)報時部分結(jié)果具有更高的準(zhǔn)確度。

5) 在Z形試驗中，在對r的預(yù)報值隨時間進(jìn)行積分從而計算ψ時，會出現(xiàn)誤差隨時間不斷積累的現(xiàn)象。分段訓(xùn)練樣本、對船舶操縱運動進(jìn)行在線預(yù)報等措施仍有提高預(yù)報精度的空間，值得下一步研究深入討論。