程 平
(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州510631)
考慮如下非線性橢圓最優(yōu)控制問題
這里的K 是個控制集合,即
狀態(tài)方程標(biāo)準(zhǔn)的弱解形式描述如下
這里的(·,·)是L2(Ω)中的內(nèi)積。因此非線性最優(yōu)控制問題可以重述如下:尋找(y,u)滿足如下條件
由文獻[1],我們知道最優(yōu)控制問題至少有一個解(y,u),并且當(dāng)且僅當(dāng)存在一個共軛狀態(tài)變量p滿足最優(yōu)性條件
下面考慮用Galerkin 譜方法來做最優(yōu)控制問題,假定Ω=(-1,1)2。首先考慮后面會用到的標(biāo)準(zhǔn)基函數(shù)。以xi(i=1,2)為變量,設(shè)定Lr(xi)為r 次的勒讓德多項式,令
上述在離散空間中推出的最優(yōu)性條件將在后面的誤差估計中發(fā)揮重要作用。
因為控制約束集K={v∈L2(Ω):Ω∫v≥0}的特殊性,可以發(fā)現(xiàn)如果初始值是無限光滑的,那么最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制也可以無限光滑。
證明 這個證明和引理1 類似。
下面我們推出最優(yōu)控制的正則性。
證明 由文獻[1],知道通過橢圓問題的一些結(jié)論可推得y∈H2(Ω),所以p∈H4(Ω)。由最優(yōu)控制和共軛狀態(tài)變量的關(guān)系
借助輔助系統(tǒng)來考慮控制受限狀態(tài)受限的非線性橢圓最優(yōu)控制問題。定義J(·)和JN(·)如下
假定J(·)是一致凸的。所以這里存在一個與N 無關(guān)的c≥0,使得
其中,u 和uN分別是式(3)~(5)和(8)~(10)的解。由文獻[2]知
其中,p(uN)為下面輔助方程的解
定理1 令(y,p,u)和(yN,pN,uN)分別是式(3)~(5)和(8)~(10)的解。假定解(y,p,u)是足夠光滑的,那么對任意的整數(shù)k>0,存在與N 無關(guān)的C>0,使得
證明 首先由前面假設(shè)的J(·)的一致凸性,以及式(12)~(14)和最優(yōu)性條件(5),(10)以及施瓦茨不等式,對于任意的vN∈KN,有
由最優(yōu)性條件(5),(10)知
所以對于不等式(18)右端的第1 項和第3 項可以進行放縮。對于第2 項因為
所以有
對于不等式(18)右端的第4 項有
綜上可得
再利用施瓦茨不等式知
再由Young 不等式知
這里δ>0 是一個足夠小的常數(shù)。下面有不等式
由式(3)和(15)得到中間變量誤差方程為
在上述方程里,設(shè)w=y(uN)-y,有
由于?~'(y)≥0,可得
其中,c1=C(Ω)>0 是下面龐加萊不等式的系數(shù)
所以
由式(8)和(15)得出
由式(22)可得
從而
令q=p(uN)-P,則
其中
因此
再由式(9)和(16)得
將式(20)~(27)代入式(19)得
這里δ>0 是一個足夠小的常數(shù)。所以選擇δ=c/(4-2c1)推出得
令上式中的vN=PNu∈UN,PN是L2正交投影算子,則
特別的,令v=1∈UN,則
因此
所以,vN∈KN?UN,由投影算子及其性質(zhì)知
將式(30)運用到式(29)可以得到
最后結(jié)合式(20)~(28)和(31)可以得出誤差估計(17)。