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        非線性橢圓最優(yōu)控制問題的譜方法研究

        2021-03-12 10:05:04
        關(guān)鍵詞:最優(yōu)性施瓦茨狀態(tài)變量

        程 平

        (華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州510631)

        考慮如下非線性橢圓最優(yōu)控制問題

        這里的K 是個控制集合,即

        1 最優(yōu)性條件

        狀態(tài)方程標準的弱解形式描述如下

        這里的(·,·)是L2(Ω)中的內(nèi)積。因此非線性最優(yōu)控制問題可以重述如下:尋找(y,u)滿足如下條件

        由文獻[1],我們知道最優(yōu)控制問題至少有一個解(y,u),并且當且僅當存在一個共軛狀態(tài)變量p滿足最優(yōu)性條件

        2 譜方法的離散格式

        下面考慮用Galerkin 譜方法來做最優(yōu)控制問題,假定Ω=(-1,1)2。首先考慮后面會用到的標準基函數(shù)。以xi(i=1,2)為變量,設(shè)定Lr(xi)為r 次的勒讓德多項式,令

        上述在離散空間中推出的最優(yōu)性條件將在后面的誤差估計中發(fā)揮重要作用。

        3 控制變量與共軛狀態(tài)變量的關(guān)系

        因為控制約束集K={v∈L2(Ω):Ω∫v≥0}的特殊性,可以發(fā)現(xiàn)如果初始值是無限光滑的,那么最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制也可以無限光滑。

        證明 這個證明和引理1 類似。

        下面我們推出最優(yōu)控制的正則性。

        證明 由文獻[1],知道通過橢圓問題的一些結(jié)論可推得y∈H2(Ω),所以p∈H4(Ω)。由最優(yōu)控制和共軛狀態(tài)變量的關(guān)系

        4 先驗誤差估計

        借助輔助系統(tǒng)來考慮控制受限狀態(tài)受限的非線性橢圓最優(yōu)控制問題。定義J(·)和JN(·)如下

        假定J(·)是一致凸的。所以這里存在一個與N 無關(guān)的c≥0,使得

        其中,u 和uN分別是式(3)~(5)和(8)~(10)的解。由文獻[2]知

        其中,p(uN)為下面輔助方程的解

        定理1 令(y,p,u)和(yN,pN,uN)分別是式(3)~(5)和(8)~(10)的解。假定解(y,p,u)是足夠光滑的,那么對任意的整數(shù)k>0,存在與N 無關(guān)的C>0,使得

        證明 首先由前面假設(shè)的J(·)的一致凸性,以及式(12)~(14)和最優(yōu)性條件(5),(10)以及施瓦茨不等式,對于任意的vN∈KN,有

        由最優(yōu)性條件(5),(10)知

        所以對于不等式(18)右端的第1 項和第3 項可以進行放縮。對于第2 項因為

        所以有

        對于不等式(18)右端的第4 項有

        綜上可得

        再利用施瓦茨不等式知

        再由Young 不等式知

        這里δ>0 是一個足夠小的常數(shù)。下面有不等式

        由式(3)和(15)得到中間變量誤差方程為

        在上述方程里,設(shè)w=y(uN)-y,有

        由于?~'(y)≥0,可得

        其中,c1=C(Ω)>0 是下面龐加萊不等式的系數(shù)

        所以

        由式(8)和(15)得出

        由式(22)可得

        從而

        令q=p(uN)-P,則

        其中

        因此

        再由式(9)和(16)得

        將式(20)~(27)代入式(19)得

        這里δ>0 是一個足夠小的常數(shù)。所以選擇δ=c/(4-2c1)推出得

        令上式中的vN=PNu∈UN,PN是L2正交投影算子,則

        特別的,令v=1∈UN,則

        因此

        所以,vN∈KN?UN,由投影算子及其性質(zhì)知

        將式(30)運用到式(29)可以得到

        最后結(jié)合式(20)~(28)和(31)可以得出誤差估計(17)。

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