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        鏈接算籌文化 凸顯十進位值制
        ——以“認識萬以內(nèi)數(shù)”為例

        2021-03-12 11:33:34竺君斐
        遼寧教育 2021年3期
        關(guān)鍵詞:記數(shù)數(shù)位古埃及

        竺君斐,周 潔

        (浙江省寧波市奉化區(qū)教師進修學校,浙江省寧波市奉化區(qū)莼湖街道中心小學)

        “數(shù)的認識”板塊的本質(zhì)內(nèi)容是十進位值制。十進位值制記數(shù)法包括“十進制”與“位值制”兩條原則?!笆M”指的是“滿十進一”。“位值”是同一數(shù)字在不同位置上所表示的數(shù)值不同。如三位數(shù)“555”,右邊的5 在個位上表示5 個一,中間的5 在十位上表示5 個十,左邊的5 在百位上則表示5 個百。十進位值制使極為困難的整數(shù)表示和驗算變得簡便易行。

        怎樣在“認識萬以內(nèi)數(shù)”教學過程中讓學生深度理解“十進位值制”的內(nèi)涵與價值?常規(guī)的做法是:通過數(shù)數(shù)活動中的“怎樣數(shù)”“怎樣記錄”這兩個問題展開。以數(shù)黃豆為例,當“捏一撮”(10以內(nèi))時,我們可以一個一個地數(shù);當“抓一把”(100 以內(nèi))時,我們可以十個一堆,十個一堆地數(shù);當數(shù)目更大時,就需要用更大的計數(shù)單位來記數(shù),進而明確一而十,十而百,百而千,千而萬。記錄黃豆數(shù)量的同時,需要明確每一個數(shù)位上數(shù)的含義。

        很多“認識萬以內(nèi)數(shù)”教學設計能從數(shù)的本質(zhì)出發(fā),讓學生在活動中體會十進位值制的含義,以及計數(shù)單位之間的關(guān)系。但是,學生對其中“滿十進一”體會深刻,對位值制的價值卻感悟不深。

        十進位值制是我國最早發(fā)明的。文明古國巴比倫采用60 進位制(這一進位制到現(xiàn)在仍留有痕跡,如1 分=60 秒)。古印度、古埃及也很早就采用了十進位制,但是他們沒有位置,沒有零,并不知道位值制。如古埃及采用“計算單位累加”的方法,不同計算單位用不同的符號表示,從圖1 古埃及的“235”中可以看到 2 個百用 2 個“旋風”,3 個十用 3 個“門洞”,5 個一用5 個小棒表示。依次推理。如果表示999,“旋風”“門洞”“小棒”分別要畫9 個,非常繁瑣,給記錄與運算帶來不便。

        圖1

        從歷史發(fā)展順序來看,“位值”的出現(xiàn)明顯比“十進”晚,說明“位值”比“十進”更難理解。

        弗賴登塔爾認為:“年輕的學習者應重蹈人類的學習過程。”列寧也曾經(jīng)說過:“一門科學的歷史是那門科學中最寶貴的一部分,科學只能給我們知識,而歷史卻能給我們智慧”。數(shù)學,既是被人們發(fā)現(xiàn)的,也是被人們創(chuàng)造的。前人在數(shù)學研究過程中,其數(shù)學思維和經(jīng)驗教訓是非常有借鑒意義的,對小學生的數(shù)學思維能力有著極大的促進作用。

        因此,“認識萬以內(nèi)數(shù)”一課,有必要鏈接教材“你知道嗎”板塊中的“算籌文化”,讓學生在“中國算籌”“古埃及記數(shù)法”兩種記數(shù)方法的認識、試寫、對比中,挖掘“十進位值制”背后的數(shù)學思想與方法,讓學生充分感受“位值制”的簡潔與價值,豐滿數(shù)學教學中的“人文元素”,體會“數(shù)學有著悠久的鮮活的歷史”。

        一、靜態(tài)的中國算籌:動態(tài)評價中體會“古人智慧”

        教材呈現(xiàn)的知識是靜態(tài)的。而站在歷史的角度,動態(tài)地看待數(shù)學知識產(chǎn)生和發(fā)展過程,了解數(shù)學發(fā)展的歷史,參與再創(chuàng)造,有利于學生感受數(shù)學知識靈動的一面。

        中國算籌一般是用小竹棍(或其他材料)制成。古人為了區(qū)分相鄰數(shù)位上的數(shù),創(chuàng)造了橫向、縱向兩種算籌。需要學生體驗這個動態(tài)發(fā)生過程。

        第一步,借助方塊直觀模型,理解數(shù)位意義。

        (1)課件有序出示小方塊(1 個、10 個、100 個、1000個),明確計數(shù)單位個、十、百、千。

        (2)課件出示235 個小方塊。明確235 由幾個百、幾個十、幾個一組成。

        (3)指一指:這個“2”表示圖上哪些小方塊?

        (4)追問:為什么它可以表示這么多方塊?因為2在百位上,表示2個百。

        (4)歸納:個位、十位、百位、千位就是數(shù)位。

        第二步,介紹中國算籌。

        (1)出示“你知道嗎”內(nèi)容,介紹算籌,了解橫式與縱式兩種表示方法。(如圖2)

        圖2

        (2)追問:“5”用5 根小棒表示,為什么“6”不是6根,而用一橫一豎來表示呢?

        第三步,用算籌表示235,探究并發(fā)現(xiàn)記數(shù)規(guī)律。

        (1)學生嘗試。(如圖3)

        圖3

        (2)交流評價。你喜歡哪一副作品,為什么?

        3 號作品是正確的。表揚4 號作品:“雖然反了,但是他這種縱橫交替的思想特別寶貴?!?/p>

        第四步,用算籌表示5555。

        (1)學生嘗試。

        (2)作品反饋。(如圖4)

        圖4

        用算籌表示數(shù),匯集了兩千多年前中國古人的集體智慧。讓學生通過觀察,引發(fā)思考,如“6”為什么用一橫一豎表示?因為“以一當五”更簡約更美觀,展現(xiàn)了中國古人的智慧。又如算籌表示235,學生1號作品,容易與55,或者10產(chǎn)生混淆。為了區(qū)分2、3、5這三個數(shù)字在不同的數(shù)位上,中國古人發(fā)明并規(guī)定個位縱向,十位橫向,交替重復的方法。讓學生在嘗試創(chuàng)造、相互評價中感受其奧妙,發(fā)展思維,提升素養(yǎng)。

        二、繁瑣的古埃及記數(shù):探究中體驗“機械呆板”

        十進位值制之所以被馬克思稱頌為“人類最美妙的發(fā)明之一”,是因為它的簡約。萬以內(nèi)數(shù)的認識,除了讓學生掌握位值制的含義,即“相同的數(shù)字,在不同的數(shù)位上,表示不同的數(shù)值”之外,有必要繼續(xù)深入探究,體會它的優(yōu)點。為此,借助古埃及記數(shù)“5555”的繁瑣,可以使學生在探究中體驗其方法的呆板。

        第一步,介紹古埃及1~9,10,100,1000,10000的表示方法。(如圖5)

        圖5

        第二步,介紹古埃及的“235”,說說他們的記數(shù)方法。

        第三步,學生獨立探究古埃及“5555”的寫法。第四步,交流評價學生作品,明確各部分的含義。(如圖6)

        圖6

        學生喜歡創(chuàng)造,喜歡探究。古埃及記數(shù),先舉例呈現(xiàn),再發(fā)現(xiàn)規(guī)律,最后讓學生用自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律試寫“5555”。古埃及計數(shù)單位“個、十、百、千”有不同的符號,每個符號需要重復畫5 次,用學生的話來說“手都畫酸了”。隨著數(shù)量增大,古埃及需要統(tǒng)一更多的計數(shù)單位,畫更多次數(shù)“小花”“門洞”等,“手就更酸了”。整個過程都以學生為主體,既拓展學生視野,滿足學生探究未知領(lǐng)域的愿望,又訓練學生的思維能力,同時還讓學生深刻體會到古埃及記數(shù)方法的繁瑣與復雜,以及記數(shù)方法歷史的“豐富性”。

        三、中國算籌的位置制:對比中凸顯“高明美妙”

        同樣是二千多年前,同樣是“5555”,中國算籌卻與古埃及不同。中國算籌中沒有“小花”“”旋風“門洞”等這些專門的記數(shù)符號,只需把算籌“5 根小棒”放在不同的數(shù)位上,就可以表示 5 個千,5 個百,5 個十,5 個一了。學生在對比中,對萬以內(nèi)數(shù)的兩種表示方法進行抽象概括,強烈感受到了位值制的高明與美妙,深刻體會中國古人的智慧與偉大創(chuàng)造。

        第一步,對比古代中國算籌和古埃及記數(shù)法。

        師:對比二千多年前古埃及的5555,與古代中國5555,你想說些什么?

        生:古埃及的千、百、十、一有專門的符號,中國的算籌沒有專門的符號,用不同數(shù)位加以區(qū)分。

        生:古埃及的太麻煩,我們古代中國的算籌更方便。

        生:我們中國人要比古埃及人聰明。用不同數(shù)位的數(shù)表示不同的計算單位。

        生:作為中國人,我很驕傲,我們的祖先太聰明了!

        第二步,對比古代中國算籌和現(xiàn)代記數(shù)法。

        生:現(xiàn)代記數(shù)法采用了我國古人發(fā)明的“十進位值制”。

        生:現(xiàn)代記數(shù)法用阿拉伯數(shù)字代替算籌1~9,更簡約更方便。

        師:數(shù)學追求簡潔美,我們現(xiàn)代人使用的萬以內(nèi)數(shù)表示方法凝聚了一代又一代數(shù)學家的努力和智慧?!笆M位值制”是古代中國人對世界數(shù)學發(fā)展作出的一項不可磨滅的貢獻。

        第一次對比,體會中國算籌位值制的簡約,滲透愛國主義教育。第二次“古代算籌與現(xiàn)代記數(shù)法”對比,讓學生感悟到“知識是發(fā)展的”“數(shù)學是人類共同的文化活動”,而古今中外一代又一代數(shù)學家創(chuàng)造精神的傳承,有利于促進學生良好品格的形成,可謂一舉多得。

        華東師師范大學的汪曉勤教授曾將HPM 研究價值歸納為“知識之諧”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。以上設計中這六大價值均有所體現(xiàn)。如了解算籌的記數(shù)方法,體會“以一當五”,這是感受“知識之諧”;讓學生嘗試探究“中國古人記數(shù)235”“古埃及記數(shù)5555”,體悟的是數(shù)學“探究之樂”;經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程,明白縱橫交替擺法的優(yōu)勢,加強思維訓練,提高解決問題能力,發(fā)揮學生能動性,是“能力之助”;在古代中國算籌和古埃及記數(shù)方法對比中,感受古埃及記數(shù)方法的繁雜,體會中國算籌十進位值制的價值,感受古代中國人民的偉大,是“德育之效”;在歷史發(fā)展進程中,感受數(shù)學是不斷發(fā)展,不斷前進的,數(shù)學是屬于全世界人類的一項文化成果,體會的是“文化之魅”。

        將數(shù)學文化知識“中國算籌”“古埃及記數(shù)”融入“認識萬以內(nèi)數(shù)”課堂教學中,充分體現(xiàn)了趣味性、科學性、有效性、可學性、新穎性。學生學得輕松,學得扎實。

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