李貴勇，鄭開放，陳 洋，孫星陪

(重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065)

0 引 言

在空間調(diào)制系統(tǒng)中[1]，發(fā)送的比特塊被分為2部分，即天線選擇比特和調(diào)制比特。雖然天線選擇比特在每個(gè)傳輸時(shí)隙激活指定的發(fā)射天線，但是調(diào)制比特是實(shí)際調(diào)制和發(fā)送的那部分比特。由于空間調(diào)制(spatial modulation,SM)在每個(gè)傳輸時(shí)隙僅激活單個(gè)發(fā)射天線，因此，SM可以避免信道間干擾和降低接收端的復(fù)雜性，并在發(fā)射端采用單個(gè)射頻鏈路，降低了設(shè)備成本[2-3]。

比特映射是將比特序列分配給不同符號(hào)的過程，比特映射的選擇會(huì)影響任何調(diào)制方案的誤碼率(bit error rate,BER)性能[4]。在傳統(tǒng)幅度相位調(diào)制(amplitude-phase modulation,APM)過程中，用于比特映射的方法是格雷編碼，在同等可能和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立APM符號(hào)情況下被證明是最優(yōu)的。在格雷編碼中，相鄰的符號(hào)被分配的比特序列僅有1 bit不同。SM與APM方案不同，由于其混合特性，SM的比特映射更具有挑戰(zhàn)性，其中使用APM和空間來創(chuàng)建更為復(fù)雜的星座結(jié)構(gòu)。因此，在SM系統(tǒng)中，針對(duì)APM方案提出的經(jīng)典格雷映射將不在實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的BER性能。

文獻(xiàn)[5-8]提出了幾種有效的比特映射方案。在文獻(xiàn)[5]中，假設(shè)在發(fā)射端使用全信道狀態(tài)信息(channel state information,CSI)，作者針對(duì)SSK系統(tǒng)提出一種比特映射算法，稱為原始二進(jìn)制切換算法(original binary switch algorithm,OBSA)，該算法最初以自然比特映射為SM符號(hào)分配比特序列，然后對(duì)于每2個(gè)符號(hào)的組合，該算法切換分配給這2個(gè)符號(hào)的比特序列，在每次切換時(shí)，計(jì)算比特映射的BER，然后選擇具有最佳性能的比特映射。該算法在高BER情況下，其系統(tǒng)性能接近于BER的下界。然而，OBSA 算法的主要問題是計(jì)算復(fù)雜度較高，計(jì)算復(fù)雜度為O(K4)，其中K是符號(hào)數(shù)。在文獻(xiàn)[6]中，假設(shè)發(fā)射端的CSI已知，作者提出了一種應(yīng)用于SM的比特映射方案。該方案將格雷編碼應(yīng)用于APM部分，在空間部分采用隨機(jī)比特映射。該方案僅在APM星座小于8時(shí)為系統(tǒng)性能提高了小于1 dB的改進(jìn)。在文獻(xiàn)[7]中，作者為SM系統(tǒng)提出一種比特映射器，稱為暴力映射器(brute forth mapper,BFM)。BFM找到具有最小距離的2個(gè)SM符號(hào)，并為這2個(gè)符號(hào)分配僅有1比特不同的比特組合。對(duì)于剩余的SM符號(hào)，BFM在空間部分采用自然映射，在APM部分采用格雷編碼。BFM在高信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)情況下實(shí)現(xiàn)接近BER下限的性能，并且具有較低的計(jì)算復(fù)雜度為O(K2)和較低的反饋開銷為2lbK，BFM算法的主要問題是在低SNR下幾乎沒有性能的改善。

在本文中，假設(shè)在發(fā)射端使用全信道狀態(tài)信息，提出一種新穎的低復(fù)雜度比特映射方案，稱為SNM算法。該方案首先以符號(hào)之間的距離最近為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行排序，然后對(duì)排序后的SM符號(hào)應(yīng)用格雷編碼。仿真結(jié)果表明，SNM算法在瑞利衰落信道環(huán)境中，其性能接近于OBSA算法，并且在高SNR情況時(shí)，其性能接近于SM和SSK的BER的下限。在復(fù)雜度方面，所提出的算法復(fù)雜度僅為O(K2)，顯著低于OBSA算法。SNM算法的反饋開銷為(K-1)lbK，略大于BFM算法。然而，SNM算法比BFM算法提供了更好的性能。

1 系統(tǒng)模型

對(duì)于具有SM傳輸?shù)腘t×Nr的多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)系統(tǒng)，其中Nt和Nr分別是發(fā)射天線數(shù)和接收天線數(shù)。SM符號(hào)總數(shù)為K=MNt，其中M是APM大小。假設(shè)Nt和M都是2的整數(shù)冪，令k1=lbNt，k2=lbM，則k=k1+k2比特用于根據(jù)某個(gè)比特映射方案選擇APM符號(hào)和一個(gè)發(fā)射天線，如圖1。

圖1 SM系統(tǒng)模型圖Fig.1 SM system model

接收信號(hào)矢量y∈Nr×1表示為

(1)

(1)式中：H∈Nr×Nt是信道矩陣；ρ是信噪比；n∈Nr×1是噪聲矢量，且n～CN(0,1)；x∈Nt×1是發(fā)射矢量，sm是第m個(gè)APM符號(hào)。

通過文獻(xiàn)[2]可知，在接收端可以通過最大似然(maximum likelihood,ML)檢測(cè)去估計(jì)接收到的信號(hào)，其估計(jì)值為

(2)

2 算法分析

在本節(jié)中，首先對(duì)本文需要解決的問題進(jìn)行描述，給出比特映射的最優(yōu)問題，如果采用窮舉搜索去求解最優(yōu)問題，給出了窮舉搜索的搜索復(fù)雜度，由于窮舉搜索的復(fù)雜度較高，給出了改進(jìn)方向；接著提出了SNM算法，并對(duì)該算法進(jìn)行了詳細(xì)的描述，給出該算法的具體計(jì)算步驟；然后舉例進(jìn)一步地解釋了所提出的算法；最后對(duì)復(fù)雜度進(jìn)行了分析。

2.1 問題描述

在文獻(xiàn)[8-9]中，給定確定的比特映射方案Γ的SM的BER上界，可以用Pe表示為

(3)

(3)式中：DΓ(k,k′)是給定的比特映射方案Γ的第k個(gè)SM符號(hào)和第k′個(gè)SM符號(hào)之間的漢明距離。P(k,k′)是第k個(gè)SM符號(hào)和第k′個(gè)SM符號(hào)之間的成對(duì)錯(cuò)誤概率。

對(duì)于在發(fā)射端使用全CSI的情況，其成對(duì)錯(cuò)誤概率P(k,k′)可以寫為

(4)

由以上的分析可知，比特映射最優(yōu)化問題可以描述為

(5)

(5)式中：Γout是最優(yōu)的比特映射。定義d∈K×K是對(duì)稱矩陣，矩陣d中的各項(xiàng)是距離度量。

可以通過窮舉搜索所有可能的比特映射來尋找最優(yōu)的比特映射Γout，但是采用窮舉搜索是極其復(fù)雜的。對(duì)具有K個(gè)SM符號(hào)進(jìn)行窮舉搜索，需要窮舉搜索所有可能，一共有K!種。即使K很小時(shí)，其搜索復(fù)雜度也較高，例如當(dāng)K=8時(shí)，需要進(jìn)行8!=40 320次搜索才可以得到最優(yōu)的比特映射Γout。

由以上的介紹可知，針對(duì)窮舉搜索復(fù)雜度較高的問題，需要一個(gè)合適的方案去求得最優(yōu)的比特映射 Γout。在空間調(diào)制系統(tǒng)中，距離最近的符號(hào)較容易出現(xiàn)誤判的比特，但如果這2個(gè)符號(hào)所對(duì)應(yīng)的比特之間的漢明距離越小，則在出現(xiàn)誤判時(shí)，出錯(cuò)的比特?cái)?shù)就越小。所以在判決準(zhǔn)確率一定的情況下，使得相鄰星座點(diǎn)之間漢明距離較小的映射方案，將獲得較優(yōu)的BER性能。

因此，本文給出的改進(jìn)方向是通過以SM符號(hào)之間的距離為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)SM符號(hào)進(jìn)行排序，由于格雷編碼相鄰比特序列的漢明距離為1，于是將格雷編碼的比特序列分配給已排序的SM符號(hào)。

2.2 SNM算法

設(shè)w=[1,2,3,…,K]代表一共有K個(gè)SM符號(hào)，v∈1×K用來存儲(chǔ)排序后的SM符號(hào)，定義是第k個(gè)SM符號(hào)和第k′個(gè)SM符號(hào)之間的距離度量，定義d∈K×K，矩陣d中的各項(xiàng)是距離度量。

為便于對(duì)SM符號(hào)進(jìn)行排序，令相同SM符號(hào)之間的距離度量為無窮大，具體SM符號(hào)之間的距離度量計(jì)算表達(dá)式為

d(k,k′)=d(k′,k)=

(6)

在SNM算法的第1步中，是將SM符號(hào)進(jìn)行排序，排序流程如圖2。

圖2 SM符號(hào)排序流程圖Fig.2 SM symbol sorting flow diagram

在SNM的第2步中，是將格雷編碼的比特映射分配給前一步驟中已排列次序的SM符號(hào)。

以上給出了SNM算法的排序流程圖，且給出了w和d的更新規(guī)則，該算法具體計(jì)算步驟總結(jié)如下。

SNM算法

輸入：信道矩陣H，S={s1,s2,s3,…,sM}

輸出：ΓSNM

初始化：d是維度為K×K的矩陣，且初始化所有元素均為0；初始化v為空矩陣；w=[1,2,3,……，K]

1 fork=1∶K

2 fork′=1∶K

3 ifk=k′

4d(k,k′)=∞

5 else

6 計(jì)算d(k,k′)

7d(k′,k)=d(k,k′)

8 end if

9 end for

10 end for

11 從矩陣d中尋找最小的元素d(i,j)

12 更新w，更新d

13 令v(1)=i，v(2)=j，t=3

14N=length(w)

15 whileN==Kdo

16p=矩陣w中等于j的元素的索引

17y=d(p,:)

18q=y中最小元素的索引

19i=p，q=w(j)，更新w，更新d

20v(t)=j

21t=t+1

22N=length(w)

23 end while

2.3 算法舉例

假設(shè)K=4，即有4個(gè)SM符號(hào)，且具有以下任意距離矩陣為

(7)

其排序過程如圖3，其中w記錄矩陣降維處理后剩余的SM符號(hào)；v存儲(chǔ)已排序的SM符號(hào)。

由以上的排序過程可知，SM符號(hào)的排序結(jié)果為v=[1,2,4,3]。

排序結(jié)束后將格雷編碼的比特映射按次序分配給SM符號(hào)，即將00分配給SM符號(hào)#1，01分配給SM符號(hào)#3，11分配給SM符號(hào)#4，10分配給SM符號(hào)#2。

2.4 復(fù)雜度分析

2.4.1OBSA算法

對(duì)于OBSA算法，在文獻(xiàn)[5]中表明，由實(shí)數(shù)乘法和實(shí)數(shù)求和以及比較次數(shù)復(fù)雜度可以表示為

(8)

(9)

(10)

圖3 SM符號(hào)排序過程圖Fig.3 SM symbol sorting process diagram

2.4.2SNM算法

在該算法中，需要計(jì)算K(K-1)/2個(gè)距離度量，還應(yīng)計(jì)算smhl，一共計(jì)算K次，計(jì)算并儲(chǔ)存該結(jié)果。在初始時(shí)應(yīng)尋找距離矩陣d的最小元素，需要經(jīng)過K2次比較，然后確定2個(gè)SM符號(hào)的排列順序；在對(duì)剩余的K-2個(gè)SM符號(hào)排序過程中，確定第ε個(gè)符號(hào)需要經(jīng)過K-ε+2次比較，其中ε=[3,4,…,K]。對(duì)于每個(gè)距離度量的計(jì)算，需要2Nr次實(shí)數(shù)乘法和4Nr-1次實(shí)數(shù)求和；計(jì)算smhl，需要4Nr次實(shí)數(shù)乘法和2Nr次實(shí)數(shù)求和。

由以上分析可知，實(shí)數(shù)乘法、實(shí)數(shù)求和以及比較次數(shù)復(fù)雜度可以表示為

(11)

(12)

(13)

在實(shí)際工程中，接收天線數(shù)Nr一般設(shè)置為2或4，而K在實(shí)際工程中一般設(shè)置為2β，且β∈{5,6,7,8,9,10}。

因此，在實(shí)際中K遠(yuǎn)大于Nr，則SNM算法的復(fù)雜度為O(K2)。因此，該算法的計(jì)算復(fù)雜度比OBSA算法低得多，OBSA算法的復(fù)雜度為O(K4)。并且SNM算法的系統(tǒng)性能接近于OBSA算法。

2.4.3 反饋開銷

SNM算法通過發(fā)送已排序的K-1個(gè)SM符號(hào)的索引反饋給發(fā)射端，之所以只發(fā)送K-1個(gè)SM符號(hào)的索引，是因?yàn)楫?dāng)K-1個(gè)SM符號(hào)的索引確定后，第K個(gè)SM符號(hào)的索引也即確定。由于每個(gè)SM符號(hào)對(duì)應(yīng)lbKbit，所以SNM算法需要(K-1)lbKbit用于反饋。

由以上分析可知，SNM算法的反饋開銷為(K-1)lbKbit ，與BFM算法2lbKbit的反饋開銷相比，SNM算法能提供更好的系統(tǒng)性能來彌補(bǔ)這一點(diǎn)。另一方面，與OBSA算法2lbK!比特的反饋開銷相比，SNM算法具有較低的反饋開銷。

2.5 性能界限

設(shè)Ps是符號(hào)錯(cuò)誤率，k=lbK代表每個(gè)SM符號(hào)的比特?cái)?shù)。最低的BER是Ps/k(每個(gè)符號(hào)SM錯(cuò)誤僅有1 bit誤碼)。因此，誤碼率的下界可以表示為

(14)

(15)

然而，(14)式的下界與Γc性能的差值可以用dB的形式表示為[10]

(16)

(17)

將(16)式作為比特映射方案性能增益的上界，良好的比特映射方案將有接近此界限的性能改進(jìn)。

3 仿真分析

本文對(duì)所提出的算法進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，為了更為直觀的展示SNM算法的性能，對(duì)SNM算法進(jìn)行仿真以驗(yàn)證其性能，具體的仿真參數(shù)見表1。

表1 具體仿真參數(shù)設(shè)定

為了證明本文提出的SNM算法的性能，本節(jié)給出了Γc的BER性能，以驗(yàn)證SNM算法給系統(tǒng)性能帶來的提升。同時(shí)，對(duì)BFM算法、OBSA算法、BER下界進(jìn)行仿真，以進(jìn)一步驗(yàn)證SNM算法的性能。

圖4是Nt=8，Nr=2時(shí)不同信噪比下SM系統(tǒng)的BER性能，圖5是Nt=16，Nr=2時(shí)不同信噪比下SSK系統(tǒng)的BER性能。

圖4 在SM系統(tǒng)中，SNM算法的BER性能(Nt=8,Nr=2)Fig.4 BER performance of the SNM algorithm in the SM system (Nt=8, Nr=2)

從圖4、圖5可以看出，與BER性能的上界Γc相比，SNM算法可以顯著提高系統(tǒng)性能，例如在SNR=16 dB時(shí)，圖4中采用16QAM時(shí)，系統(tǒng)性能提高約3.1 dB，采用4QAM時(shí)，系統(tǒng)性能提高約3.4 dB；圖5中采用16QAM時(shí)，系統(tǒng)性能提高約3.3 dB，采用4QAM時(shí)，系統(tǒng)性能提高約3.7 dB。與BFM算法相比，SNM算法也可以顯著的提高系統(tǒng)性能，例如在SNR=10 dB時(shí)，圖4中采用16QAM時(shí)，系統(tǒng)性能提高約1.5 dB，采用4QAM時(shí)，系統(tǒng)性能提高約1.8 dB；圖5中采用16QAM時(shí)，系統(tǒng)性能提高約1.8 dB，采用4QAM時(shí)，系統(tǒng)性能提高約1.9 dB。雖然SNM算法的反饋開銷大于BFM算法，但SNM算法提供了較好的系統(tǒng)性能。與OBSA算法相比，SNM算法不僅其系統(tǒng)性能與OBSA算法相當(dāng)，并且其復(fù)雜度也較低。與BER的下界相比，在高SNR情況下，SNM算法的系統(tǒng)性能接近于BER下界。

圖5 在SSK系統(tǒng)中，SNM算法的BER性能(Nt=16,Nr=2)Fig.5 BER performance of the SNM algorithm in the SSK system (Nt=16, Nr=2)

通過對(duì)以上仿真結(jié)果的分析得出，SNM算法可以顯著提高系統(tǒng)性能，SNM算法的復(fù)雜度比BFM算法高，但其系統(tǒng)性能遠(yuǎn)優(yōu)于BFM算法；SNM算法在具有較低復(fù)雜度的情況下其系統(tǒng)性能與OBSA算法相當(dāng)，之所以SNM算法與OBSA算法的系統(tǒng)性能相當(dāng)，是由于本文提出的算法與OBSA算法均是通過搜索去確定最優(yōu)的比特映射 Γout；SNM算法在高SNR情況下，系統(tǒng)性能接近于BER下界。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)SM系統(tǒng)的比特到符號(hào)映射方案提出了SNM算法。該算法通過從具有最小距離的符號(hào)對(duì)開始對(duì)SM符號(hào)進(jìn)行排序，接著繼續(xù)對(duì)最近的SM符號(hào)排序，直到所有的SM符號(hào)排序結(jié)束為止。接著將格雷編碼的比特映射按順序分配給已排序的SM符號(hào)。仿真結(jié)果表明，SNM算法在發(fā)射端使用全信道狀態(tài)信息時(shí)，其系統(tǒng)性能接近于SM和SSK算法的BER的下界。