李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

2020年全國高考理科數(shù)學Ⅱ卷的第21題是一個三角函數(shù)題，考查了函數(shù)單調(diào)性、最值以及不等式證明.該題打破了若干年來超越函數(shù)ex、lnx與帶參一、二次函數(shù)的綜合題霸占壓軸題位置的慣例，給我們一線教師帶來很多思考，尤其是第二問，值得研究.

一、試題呈現(xiàn)

(2020年全國高考理科數(shù)學Ⅱ卷第21題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.

(1)略；

(3)略.

二、解法探究

視角1 從極值的角度切入，用極值導出最值

證法1 對原函數(shù)求導得f′(x)=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x，

化簡整理得

f′(x)=2sin2x(4cos2x-1).

由于f(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx，

于是|f(x)|=2|sinx|3|cosx|.

所以|f(x)|極值=0，

評析導數(shù)是解決函數(shù)問題的有力武器，本函數(shù)易于求導，也易于找到極值點，借助三角函數(shù)圖像的連續(xù)特征，可以用極值代表最值，不僅可以解得最大值，也可以求得最小值.充分展示了導數(shù)的工具性.

視角2 從周期性入手，以局部研究整體

證法2 由于f(x+π)=sin2(x+π)sin2(x+π)=f(x)，

所以π是函數(shù)f(x)的一個周期.

f′(x)=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x

=2sinx(sin2xcosx+cos2xsinx)

=2sinxsin3x

當x∈[0，π]時，

于是

評析周期性是三角函數(shù)最典型的性質(zhì)之一，借助周期性可以將復雜的問題簡單化，將抽象的問題具體化.本證法將無限不易具體量化的問題，變成了直觀的簡單三角求值，回歸到課本，回歸到基礎，透視了問題的本質(zhì).

視角3 從均值不等式入手，依托sin2θ+cos2θ=1解答.

證法3 因為f(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx

所以f2(x)=4sin6xcos2x

評析本題題設中有絕對值，這為應用均值不等式提供了必要條件，由于函數(shù)解析式能等價轉化為僅含有正弦函數(shù)和與余弦函數(shù)的乘積式，這使得同角三角函數(shù)基本關系sin2θ+cos2θ=1能夠派上用場，僅需要在構造定值方面下功夫，事實上這不是一個難點.由此可見，這個解法非常值得推廣.

視角4 從統(tǒng)一三角函數(shù)名稱入手，構造高次函數(shù)解答

證法4 因為f(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx

所以|f(x)|=2|sinx|3|cosx|

再令z=t3-t4

評析基于正余弦的關系式，統(tǒng)一三角函數(shù)名易于實現(xiàn)，通過換元能構造定義域已知的高次函數(shù)，將問題等價轉化為求高次函數(shù)的最值，借助導數(shù)很容易完成解答.需注意換元時次數(shù)的選擇.有興趣的同仁，試一試將正弦函數(shù)轉化為余弦函數(shù)，也是可行的.

視角5 從萬能公式入手，構造新函數(shù)解答

則f(x)=sin2xsin2x

=2sin3xcosx

這是一個奇函數(shù)，僅需研究t∈[0,+)的情形.

求導得

評析萬能公式能夠統(tǒng)一三角函數(shù)名稱，換元后可以統(tǒng)一變量，就本題而言也沒改變自變量的取值范圍，為應用導數(shù)求最值奠定了基礎.這個證法思路簡潔，條理清晰，在平時教學中稍作訓練，學生一定能掌握這個技巧.

三、題目溯源

有經(jīng)驗的老師會發(fā)現(xiàn)，與這道題類似的題目曾經(jīng)在2018年高考中出現(xiàn)過：(全國Ⅰ卷理科第16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是____.此題考查的知識點、解題方法與今年這道題十分雷同，難度不比今年這道題小，處于當年小題壓軸題位置，起到了很好的把關作用.這告誡我們，研究高考真題是我們高三的一個必修課，并且要善于總結和拓展，以應對“新”題目.事實上，今年其他高考試卷中也存在不同程度的“老”題翻“新”的現(xiàn)象.筆者對2018年的這道題也曾經(jīng)嘗試著用五種解法解答過，限于篇幅，此處給出其中一種，供參考.

f′(x)=2cosx+2cos2x，由f′(x)=0得，2cos2x+cosx-1=0，

當sinx=0，cosx=-1時，f(x)=0.

四、變式拓展

1.已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x，求f(x)的值域.

說明 本函數(shù)是奇函數(shù)，所以與今年高考原題異曲同工.

2.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2x，求f(x)的最大值.

說明：將原函數(shù)的乘積關系換成求和，問題難度下降，屬于傳統(tǒng)三角函數(shù)性質(zhì)問題.

3.已知函數(shù)f(x)=sinx+sin2x，求f(x)的最小值.

說明：將兩項的次數(shù)錯開，問題難度隨之提升，屬于創(chuàng)新題目.

4.已知函數(shù)f(x)=sinxsin2x，求f(x)的極值.

說明：本函數(shù)是偶函數(shù)，問題變?yōu)闃O值，需要能明白函數(shù)的單調(diào)性，以確定極大值(極小值)，本質(zhì)并未改變，僅需理清概念.

以上變式題都很有意思，有興趣的同仁可以繼續(xù)展開比較研究.

三角函數(shù)的值域(最值)問題既有傳統(tǒng)的題型，使用純?nèi)侵R可以解答；也可和其它模塊內(nèi)容融合在一起進行創(chuàng)新，這類題目往往具有開放性，不局限于使用三角知識解答，借助一些其他知識，如均值不等式、利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、圓錐曲線等，可能更加方便，能綜合考查學生素養(yǎng).在教學中，我們既要加強基礎知識的教學，更要在創(chuàng)新上下功夫，方可達到高考的選拔性要求.