李士榮

(江蘇省吳江中等專業(yè)學(xué)校 215200)

直線與圓錐曲線類題型，是一種兼具對學(xué)生基礎(chǔ)考察和能力檢測的題型.當此類題型出現(xiàn)在選擇、填空及解答題型中時，往往是出于學(xué)生對圓錐曲線的定義、標準方程等基礎(chǔ)知識點的考察，只要學(xué)生們按部就班、仔細研判，通常不難得到正確答案.而當此類題型出現(xiàn)在解答題中，往往會與圓錐曲線的軌跡、位置、弦長、最值等相關(guān)聯(lián)，需要學(xué)生能夠融合函數(shù)、方程、幾何等知識點，并對數(shù)形結(jié)合、空間想象及復(fù)雜類計算等能力實施考察.

一、直線與圓錐曲線的基礎(chǔ)性質(zhì)類題型

對于直線與圓錐曲線基礎(chǔ)性質(zhì)類問題，其往往是考察一個圓錐曲線與一條或多條直線之間的組合關(guān)系，又或者是與其它平面圖形相聯(lián)系，對學(xué)生關(guān)于圓錐曲線知識點的掌握進行全面考察.結(jié)合長期的教學(xué)經(jīng)驗，針對此類基礎(chǔ)類題型，可以通過采用待定系數(shù)法的方式，從而實現(xiàn)快速求解.

圖1

例1 已知雙曲線的兩個定點分別為A、B，且點M為雙曲線上的任意一點，其中點A、B、M組成的△ABM為等腰三角形，其鈍角為120°，求雙曲線的離心率.

分析結(jié)合題中已知條件可知，欲求解本題，等腰三角形是最重要的條件.不妨使用待定系數(shù)法，假設(shè)雙曲線方程，利用等腰性質(zhì)實現(xiàn)求解.

二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系類題型

求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，待定系數(shù)法往往是最直接的方法，通過假設(shè)直線方程為Ax+By+C=0(A，B不同時為0)，利用待定系數(shù)的方法，將其代入圓錐曲線的表達式，此時，利用消元法消去其中一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外一個未知數(shù)的方程，再分類討論a≠0及a=0的情況下，便可實現(xiàn)判斷.

分析針對此題，可以利用待定系數(shù)法假設(shè)直線l的方程，再與拋物線聯(lián)立方程組消元求解，并結(jié)合交點個數(shù)，求解直線方程.

三、直線與圓錐曲線的弦長類問題

分析本題雖說包含直線、雙曲線和拋物線，并存在交點、中點等，但若是利用點差法，假設(shè)處各個點的坐標，聯(lián)立方程組，并結(jié)合已知條件，便可實現(xiàn)順利求解.

四、直線與圓錐曲線的最值類問題

圓錐曲線最值問題的題型眾多，但最終的求解方法無異于兩類.一是幾何求解方法，即是利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)及定理等實施求解；二是利用代數(shù)的方法進行求解，即是將最值求解的幾何量或表達式轉(zhuǎn)化成函數(shù)或不等式的形式進行求解.

分析針對該四邊形面積的最值求解，其最大值較為明顯，即是當其中一條直線經(jīng)過通徑時，故本題的難點就在于判斷何時四邊形面積取得最小值.其核心方法就是建立關(guān)于面積變量的目標函數(shù).

總之，對于直線與圓錐曲線的試題類型眾多，解題方法也是千變?nèi)f化.但無論如何，其基本考點無非是對圓錐曲線的概念、性質(zhì)、交點及軌跡等，有效求解方法無非是待定系數(shù)、點差法等.相對重點題型的一對一訓(xùn)練，更重要的還是從題干入手，結(jié)合各題的已知條件及類型，找出針對性的求解方法，實現(xiàn)對癥下藥，從而快捷高效求解.