江蘇省盱眙中學(xué) (211700) 陳海波

一、試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓M的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,C是橢圓上不同的三點(diǎn)，并且O為△ABC的重心，試求△ABC的面積.

本題是2018清華大學(xué)THUSAAT測試題理科第20題，第(1)問考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法，考查了待定系數(shù)法，運(yùn)用了方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想；第(2)問考查橢圓內(nèi)接三角形面積的定值問題，基本涵蓋了解析幾何中三角形面積問題的基本方法.構(gòu)思精心，巧妙，入口寬廣，解法多樣，有好的區(qū)分度，為不同學(xué)生能力的施展提供了一個(gè)非常好的平臺(tái)，要求學(xué)生有一定的分析問題和解決問題的能力，同時(shí)本題第2問內(nèi)涵非常豐富，還可以進(jìn)行深度的挖掘和推廣.

二、解法探究

三、變式探究

波利亞說“好的問題如同某種蘑菇，有些相似，它們大都成堆地生長，找到一個(gè)以后，你應(yīng)該在周圍再找找，很可能附近就有幾個(gè)” .本題中，可以發(fā)現(xiàn)如下變式：

四 、一般性結(jié)論

從特殊對象推廣到一般性結(jié)論是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造的常見方法，也是數(shù)學(xué)研究常用策略，本題中的結(jié)論還可進(jìn)行一般形性的推廣得如下結(jié)論：

五、習(xí)題鏈接

(1)證明：點(diǎn)P在C上；

(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為Q，證明：A,P,B,Q四點(diǎn)在同一圓上．

圖1

六 、結(jié)語

本題既具選拔功能，也凝聚了命題者的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，具有立意高遠(yuǎn)，背景深刻的特點(diǎn)，通過研究可以體會(huì)到其中豐富的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)深層次的聯(lián)系.