張高鋒，馬 艷，程 龍，茍耀峰，孫小敏

(1.中國(guó)電建集團(tuán)西北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司,西安 710065；2.西安市二次供水管理中心,西安 710016；3.西安市高新區(qū)農(nóng)業(yè)農(nóng)村和水務(wù)局，西安 710076)

0 前 言

水是生命之源、生產(chǎn)之要、生態(tài)之基，隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)快速發(fā)展，地區(qū)用水需求呈現(xiàn)快速增長(zhǎng)趨勢(shì)，水資源供需矛盾日益凸顯?？茖W(xué)合理的預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展用水需求，是地區(qū)水資源規(guī)劃的基礎(chǔ)和前提，對(duì)于保障地區(qū)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展用水，合理確定供水工程規(guī)模具有重要意義。目前水資源規(guī)劃主要采用定額法、趨勢(shì)法等進(jìn)行經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展需水預(yù)測(cè)，但現(xiàn)有方法計(jì)算成果往往與實(shí)際存在較大偏差。為進(jìn)一步提高規(guī)劃設(shè)計(jì)中需水預(yù)測(cè)成果的準(zhǔn)確性，急需探索新的預(yù)測(cè)理論與方法，為地區(qū)用水量預(yù)測(cè)提供科學(xué)依據(jù)。

始于20世紀(jì)80年代的灰色預(yù)測(cè)技術(shù)，以其對(duì)需水預(yù)測(cè)等研究對(duì)象存在的“小樣本”“貧信息”有效處理，而受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-2]。為了進(jìn)一步提高模型精度和穩(wěn)定性，2003年范習(xí)輝[3]率先將灰色預(yù)測(cè)模型與自憶性原理相結(jié)合，構(gòu)建了具有記憶功能的灰色自記憶模型，隨后灰色自記憶模型在徑流預(yù)報(bào)[4]、凌汛水位預(yù)報(bào)[5]、降水量預(yù)測(cè)[6]、地下水位變化[7]、水電站入庫(kù)徑流預(yù)報(bào)[8]、城市用水量預(yù)測(cè)[9]等領(lǐng)域得到應(yīng)用，取得一定成效，但模型精度仍有待提高。

眾所周知，灰色自記憶模型的回溯階和灰色系統(tǒng)動(dòng)力核形式是影響灰色自記憶模型預(yù)測(cè)精度的2個(gè)重要因素，其中回溯階選取可采用試算法確定，灰色系統(tǒng)動(dòng)力核的形式則取決于灰色微分方程的發(fā)展系數(shù)a和灰作用量b，而a和b兩個(gè)參數(shù)求解又依賴于灰色微分方程背景值的構(gòu)造形式[9]。因此，構(gòu)建更加科學(xué)合理的背景值成為提高灰色自記憶模型精度的關(guān)鍵。本文從影響灰色自記憶模型精度的動(dòng)力核形式出發(fā)，通過對(duì)灰色微分方程的背景值進(jìn)行優(yōu)化，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建基于背景值優(yōu)化的灰色自記憶模型，并將其應(yīng)用于地區(qū)需水預(yù)測(cè)中，以期為水資源規(guī)劃中需水預(yù)測(cè)提供新的依據(jù)。

1 灰色自記憶模型

設(shè)有原始時(shí)間系列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)},將其按照下列累加生成新的數(shù)列：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(1)

對(duì)于新數(shù)列建立一階線性微分方程：

其中：a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，按照公式(3)計(jì)算。

(4)

計(jì)算出灰色微分方程參數(shù)a、b后，將公式(2)移項(xiàng)得到dX(1)(t)/dt=-aX(1)(t)+b，將此微分方程作為動(dòng)力核，運(yùn)用自憶性原理即可建立灰色自記憶模型：

式中： αi,θi為記憶系數(shù)，yi=1/2(xi+xi+1)，f(x,i)為動(dòng)力核，p為回溯階。

若令

則公式(5)可寫成如下的矩陣形式

X=YA+FW

(7)

2 基于四階Newton-Cotes公式優(yōu)化背景值的灰色微分方程

從灰色自記憶模型的建模理論可知，灰色微分方程背景值的構(gòu)造形式，對(duì)于灰色自記憶模型的精度具有重要影響，傳統(tǒng)灰色微分方程背景值采用原始系列一階累加值相鄰數(shù)據(jù)均值進(jìn)行計(jì)算，即采用梯形公式進(jìn)行構(gòu)造，而實(shí)際背景值為一條曲邊梯形(如圖1)，圖中陰影部分即為采用梯形公式構(gòu)建背景值所產(chǎn)生的誤差。為了進(jìn)一步提高模型精度，應(yīng)用四階Newton-Cotes求積公式對(duì)灰色微分方程背景值進(jìn)行優(yōu)化。

圖1 實(shí)際背景值與構(gòu)造背景值對(duì)比

將區(qū)間[n-1,n]=[a,b]劃分為n等分，則區(qū)間上任一等距節(jié)點(diǎn)xk=a+kh，k=0,1…,4，步長(zhǎng)h=(b-a)/n，則曲邊梯形面積z(1)(n)可近似按照下式計(jì)算：

當(dāng)n=4，b-a=1時(shí)，則得：

+7f(t4)]+Rn(f)

公式(10)即為四階Newton-Cotes求積公式優(yōu)化后的背景值公式，將公式(10)帶入灰色微分方程即可得到四階Newton-Cotes公式背景值優(yōu)化后的灰色微分方程：

將公式(11)作為動(dòng)力核，即可構(gòu)建基于四階Newton-Cotes公式優(yōu)化背景值的灰色自記憶模型，并進(jìn)行擬合及預(yù)測(cè)。

3 應(yīng)用實(shí)例

城市需水既包含已知信息，又包含未知信息或未確定信息，屬于灰色系統(tǒng)[9]。根據(jù)上述建模思路，選取北京市1995—2015年用水量作為建模樣本，建立基于四階Newton-Cotes求積公式優(yōu)化背景值的灰色微分方程如下：

將公式(12)作為動(dòng)力核，進(jìn)一步建立基于四階Newton-Cotes求積公式優(yōu)化背景值的灰色自記憶模型。取回溯階p=6，則模型記憶系數(shù)為：

α=[0.1600 -0.4112 0.5893 -0.9702 0.9352 -0.9179 1.6290]T

θ=[0.0756 0.0832 0.0623 0.1039 0.0370 0.1285 0.0032]T

(13)

求出記憶系數(shù)后，即可用所建模型對(duì)北京市2016—2020年用水量進(jìn)行預(yù)測(cè)。模型擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果見表1、圖2。由于回溯階取p=6，所以1995—2001年用水量無擬合值。

表1 基于四階Newton-Cotes求積公式優(yōu)化背景值的灰色自記憶模型擬合及預(yù)測(cè)值

從表1可知，基于四階Newton-Cotes求積公式優(yōu)化背景值的灰色自記憶模型擬合和預(yù)測(cè)效果較好，模型最大相對(duì)誤差3.93%，平均相對(duì)誤差-0.4%。采用后驗(yàn)差法[15]對(duì)所建模型精度進(jìn)行評(píng)價(jià)，檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)見表2，評(píng)價(jià)結(jié)果見表3。從檢驗(yàn)結(jié)果可知，模型擬合部分后驗(yàn)差比值C=0.30，小概率誤差P=1.00，模型精度好；模型預(yù)測(cè)部分后驗(yàn)差比值C偏大(C=0.62)，小概率誤差P減小(P=0.80)，模型精度合格，這主要因?yàn)?019年實(shí)際用水量發(fā)生較大突變，出現(xiàn)了極值，加之預(yù)測(cè)部分樣本較少，一旦某個(gè)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相差較大，都會(huì)極大的影響預(yù)測(cè)部分精度。但總體上來看，模型后驗(yàn)差比值C=0.4，小概率誤差P=0.95，模型精度等級(jí)合格，能夠滿足實(shí)際應(yīng)用要求。

圖2 基于四階Newton-Cotes求積公式優(yōu)化背景值的灰色自記憶模型擬合及預(yù)測(cè)

表2 后驗(yàn)差檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)

表3 模型擬合結(jié)果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

4 結(jié) 論

本文針對(duì)現(xiàn)有需水預(yù)測(cè)方法計(jì)算成果往往與實(shí)際存在較大差距問題，從城市需水的灰色特性出發(fā)，通過對(duì)灰色微分方程的背景值進(jìn)行優(yōu)化，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建基于背景值優(yōu)化的灰色自記憶模型進(jìn)行城市需水模擬和預(yù)測(cè)，得出結(jié)論如下：

(1) 需水預(yù)測(cè)屬部分信息已知，部分信息未知的灰色系統(tǒng)，以往的灰色自記憶模型采用的灰色微分方程背景值按照原始系列一階累加值相鄰數(shù)據(jù)均值進(jìn)行計(jì)算，而灰色微分方程實(shí)際背景值為一條曲邊梯形，探討灰色微分方程背景值優(yōu)化方法，對(duì)于提高模型精度具有重要意義。

(2) 采用四階Newton-Cotes求積公式對(duì)灰色微分方程背景值進(jìn)行優(yōu)化，并結(jié)合自記憶理論，構(gòu)建了基于四階Newton-Cotes求積公式優(yōu)化背景值的灰色自記憶模型；通過在用水量預(yù)測(cè)值應(yīng)用，表明模型精度總體較好，可作為水資源規(guī)劃設(shè)計(jì)中需水預(yù)測(cè)的依據(jù)。

(3) 從模型擬合和預(yù)測(cè)部分精度看，擬合部分精度好，達(dá)到一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，預(yù)測(cè)部分受樣本數(shù)較少以及2019年用水量發(fā)生突變等影響，精度有所降低，達(dá)到合格等級(jí)，這也表明對(duì)于極值預(yù)測(cè)效果，該模型精度有待進(jìn)一步提高。