唐偉

（重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045）

0 引言

研究表明，疲勞損傷是引起大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)或機(jī)械主要失效原因[1]。結(jié)構(gòu)疲勞損傷過(guò)程具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，如材料隨機(jī)性和荷載隨機(jī)性[2，3]。因此，可靠度方法成為評(píng)估疲勞損傷的有效手段[3]。目前，可靠度方法包括：一次二階矩方法、蒙特卡洛法等[4-5]。一次二階矩方法適用求解線(xiàn)性問(wèn)題，且隨機(jī)參數(shù)需滿(mǎn)足獨(dú)立正態(tài)分布[6]，具有一定的局限性。蒙特卡洛法具有直觀、精確度高、不受線(xiàn)性和非線(xiàn)性影響的特點(diǎn)，但計(jì)算效率低[3]。

21 世紀(jì)以來(lái)，李杰、陳建兵等[7-9]學(xué)者針對(duì)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)建了概率密度演化理論，為解決實(shí)際大型工程結(jié)構(gòu)的可靠性分析等提供了新的思路。外部隨機(jī)激勵(lì)所產(chǎn)生的交變荷載是引起工程結(jié)構(gòu)或機(jī)械結(jié)構(gòu)的疲勞損傷的主要原因，故疲勞損傷過(guò)程與結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)密不可分?；诖?，將概率密度演化方法與結(jié)構(gòu)的疲勞損傷相結(jié)合是未來(lái)疲勞損傷預(yù)測(cè)的一種新途徑。本文將論述概率密度演化方法在結(jié)構(gòu)疲勞可靠度中的相關(guān)研究進(jìn)展。

1 概率密度演化理論

1.1 廣義概率密度演化方程

在隨機(jī)外部激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)方程[8]為

其中隨機(jī)參數(shù)包括：材料的變異性和外部激勵(lì)的隨機(jī)性。將系統(tǒng)所有變量可記作在整個(gè)隨機(jī)過(guò)程中無(wú)隨機(jī)變量的增減，因此該隨機(jī)過(guò)程滿(mǎn)足概率密度守恒原理[7，8]即

式中：ΩY×ΩΘ-聯(lián)合概率空間的聯(lián)合概率密度函數(shù)，對(duì)式（2）進(jìn)一步推導(dǎo)可得

1.2 廣義概率密度演化方程求解步驟

廣義概率密度演化方法將物理空間與概率空間進(jìn)行了解耦處理，將物理方程與概率密度演化方程聯(lián)合并通過(guò)數(shù)值方法求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度演化函數(shù)。具體步驟如下[6-9]：

（1）確定影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)的隨機(jī)參數(shù)Θ 和分布類(lèi)型，建立結(jié)構(gòu)響應(yīng)的狀態(tài)函X 或分析模型。

（2）根據(jù)隨機(jī)參數(shù)數(shù)量和分布利用數(shù)論選點(diǎn)理論獲取隨機(jī)參數(shù)樣本和賦得概率Pq，將隨機(jī)樣本帶入到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)X或分析模型，獲取初始條件：

式中：δ[·]-Dirac 函數(shù)；Nsel-數(shù)論選取樣本數(shù)。

（3）將式（4）帶入式（3），利用 TVD 差分法求解偏微分方程求出結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度函數(shù)：

（4）根據(jù)結(jié)構(gòu)失效的極限狀態(tài)方程Y=F（X），對(duì)式（6）積分，其可靠度為：

2 基于虛擬時(shí)間的疲勞可靠度概率演化方法

趙儉斌等[5]基于概率密度演化理論給出了風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)疲勞可靠度的計(jì)算方法。該方法將風(fēng)荷載視為疲勞損傷過(guò)程中的隨機(jī)參數(shù)，其激勵(lì)荷載如下：

式中：μD-拉力系數(shù)；ρ-空氣密度；Vj-風(fēng)速與隨機(jī)參數(shù)θ 有關(guān)；Bj-塔身面積[5]。

利用Miner 線(xiàn)性疲勞累積損傷模型[10]D 構(gòu)造了依賴(lài)于隨機(jī)參數(shù)θ 的虛擬隨機(jī)過(guò)程Zl：

式中：τ 為虛擬時(shí)間；nk和Nfk分別為第k 級(jí)應(yīng)力幅實(shí)際循環(huán)次數(shù)和疲勞壽命。Zl關(guān)于 τ 的導(dǎo)數(shù)為 D（θ，T），在 τ=1 時(shí)的截口隨機(jī)變量為D（θ，T）。故其概率密度演化方程為：

該方法充分考慮了外界激勵(lì)的隨機(jī)性，在求解疲勞損傷時(shí)，參考了靜力結(jié)構(gòu)可靠度的概率密度演化求解法，引入虛擬時(shí)間，巧妙地解決了疲勞可靠度與時(shí)間的關(guān)系。但該方法未考慮疲勞損傷過(guò)程中材料的不確定，即不同應(yīng)力幅對(duì)應(yīng)的疲勞壽命Nf的隨機(jī)性。

3 一般形式的疲勞可靠度預(yù)測(cè)方法

徐亞洲[3]基于疲勞損傷的一般形式推導(dǎo)了概率密度演化方法的求解思路。該方法假定疲勞損傷模型為：

結(jié)合概率密度演化理論，可得一般形式的疲勞損傷演化偏微分方程：

該疲勞壽命模型將應(yīng)力幅和對(duì)應(yīng)的疲勞壽命視為隨機(jī)參數(shù)，建立了疲勞累積損傷與荷載作用次數(shù)的演化規(guī)律，充分考慮了外界激勵(lì)的隨機(jī)性和材料的隨機(jī)性。但該方法只給了疲勞損傷的一般模型，并未給出考慮多級(jí)變幅疲勞可靠度具體方法。例如多級(jí)變幅線(xiàn)疲勞線(xiàn)性累積損傷模型為：

因該方法考慮了外界激勵(lì)和材料的隨機(jī)性，（13）中隨機(jī)參數(shù)包括各應(yīng)力幅循環(huán)次數(shù)ni和疲勞壽命Nfi，由于ni具有隨機(jī)性，只知其滿(mǎn)足而ni與荷載作用總次數(shù)n 的具體關(guān)系無(wú)法確定。當(dāng)應(yīng)力幅級(jí)數(shù)s 較多時(shí)，導(dǎo)致式（11）疲勞損傷變化率無(wú)法確定，因此利用該方法求解多級(jí)變幅疲勞可靠度難度較大。

4 基于裂紋尺寸擴(kuò)展概率密度演化方法

劉勇[2]對(duì)既有的Paris 疲勞裂紋擴(kuò)展確定性模型進(jìn)行推導(dǎo)給出了隨機(jī)裂紋擴(kuò)展模型，給出了相應(yīng)的概率密度演化方程如下：

式中：m 和C-材料裂紋擴(kuò)展參數(shù)；a-表面裂紋尺寸；Y-幾何修正系數(shù)；β-交變應(yīng)力峰值，其他參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[2]。涉及隨機(jī)參數(shù)為C，m和ξ。其偏微分方程為：

該方法從材料的分散性和荷載的隨機(jī)性引入了疲勞裂紋擴(kuò)展速率公式，給出了疲勞裂紋擴(kuò)展的概率密度演化函數(shù)的求解方法。從裂紋擴(kuò)展微觀角度給出了損傷演化的過(guò)程，具有較強(qiáng)的物理意義。但由于實(shí)際結(jié)構(gòu)的裂紋往往在其內(nèi)部，檢測(cè)難度較大，且該方法相對(duì)較復(fù)雜，因此在實(shí)際工程運(yùn)用中還需進(jìn)一步研究。

5 結(jié)論與展望

上述三種方法，從不同的角度證明了概率密度演化方法在疲勞可靠度預(yù)測(cè)中具有較大的潛力，在解決線(xiàn)性和非線(xiàn)性問(wèn)題上都具有較強(qiáng)的可行性。與經(jīng)典的可靠度求解方法相比，其可靠度為時(shí)變可靠度，且該方法與數(shù)論相結(jié)合，能夠巧妙的避免高維問(wèn)題。

但概率密度演化方法還未被廣泛適用于預(yù)測(cè)疲勞可靠度，其原因在于目前疲勞損傷累積模型較多，其復(fù)雜程度也各有差異，因此，疲勞損傷變化率求解具有一定難度，針對(duì)不同的疲勞損傷模型還需進(jìn)一步研究。

通過(guò)分析以上三種方法，希望能為廣大學(xué)者提供更多的疲勞可靠度思路。隨著廣大學(xué)者的進(jìn)一步研究，此方法會(huì)更加廣泛地應(yīng)用于預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)疲勞可靠度。