方 欣，丁 勝，荀 晨，郭登倩

（南京林業(yè)大學 經(jīng)濟管理學院，南京 210037）

1 引言

可轉(zhuǎn)換債券作為一種特殊的金融工具，同時擁有債權(quán)和股票的性質(zhì)，并且兩者可以轉(zhuǎn)換。自從可轉(zhuǎn)債誕生以來，國內(nèi)外就開始了對可轉(zhuǎn)債的定價研究，可轉(zhuǎn)債的定價模型也應(yīng)運而生。中國1992 年才首次發(fā)行可轉(zhuǎn)債，可轉(zhuǎn)債的定價研究也相較于國外稍晚些。

蔣殿春和張新（2002）通過二項分布定價即二叉樹定價模型對可轉(zhuǎn)債進行定價研究[1]；陳林軼（2010）對單個工商銀行可轉(zhuǎn)債進行了定價分析[2]；張春林和吳雙勝(2011)對國內(nèi)外可轉(zhuǎn)債定價方法以及未來發(fā)展方向進行了分析[3]；王天宇（2015）以中國石化可轉(zhuǎn)債為例進行二叉樹定價分析[4]。

這些學者的研究都是基于二叉樹定價模型對可轉(zhuǎn)債進行研究，也有對單個可轉(zhuǎn)債進行定價分析的，但基本上是金融板塊的可轉(zhuǎn)債，對農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債定價研究很少。農(nóng)業(yè)是國民經(jīng)濟的基礎(chǔ)，是我國的重要產(chǎn)業(yè)之一，農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債的定價研究也是需要我們研究的重點。本文基于先前學者的研究，以天康轉(zhuǎn)債為例，運用二叉樹定價模型對其進行定價研究，并推廣至其他農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債。

2 二叉樹模型應(yīng)用于可轉(zhuǎn)債

二叉樹定價模型是在1979 年，由考克斯、羅賓斯坦、夏普和羅斯等人提出的[5]。由于其模型簡單直觀，不用過多計算就可以加以運用，所以被廣泛運用在可轉(zhuǎn)債定價研究中。本文采取該方法對農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債進行定價。

2.1 模型的假設(shè)

模型成立需要滿足以下條件：第一，無風險套利的機會在市場中不存在；第二，無交易成本和稅收；第三，投資者和發(fā)行人都是理性的，該模型只考慮可轉(zhuǎn)債既不會贖回也不會回售的情形，所以投資者只有兩種選擇，要么轉(zhuǎn)換成股票，要么還本付息。

2.2 模型參數(shù)的估計假設(shè)

首先我們假設(shè)t 為當前時刻，T 為到期時間，每經(jīng)過一個時間段dt，股票價格會變動，分為上漲和下跌兩種狀態(tài)。其中，當前時刻t的股票價格為S，u為股票價格的上漲幅度，d為股票價格下跌的幅度。那么經(jīng)過一個二叉樹步數(shù)后，股票上漲后的價值為Su，下跌后的價值為Sd。假設(shè)以股票為標的的期權(quán)價值為f,那么當股價上漲，期權(quán)價值為fu，當股價下跌期權(quán)價值為fd?，F(xiàn)假設(shè)存在一種證券投資組合，組合中有一個看漲期權(quán)的空頭頭寸和一個Δ 股股票多頭頭寸。那么根據(jù)以上參數(shù)，可以得到該證券投資組合的價值是：

在一個時間步之后，如股價上漲，則組合的價值為：

如股價下跌，則組合價值為：

無論股票價格處于上漲還是下降狀態(tài)，證券組合的價格都是不變的，因此需要構(gòu)造無風險組合。Δ的選擇將決定組合的價格。因此應(yīng)選擇滿足下述條件的Δ，如下：

因此對于上面建立的無風險組合，利用風險中性原理可得風險中性概率：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，我們可以得到我們在MATLAB中計算可轉(zhuǎn)債價格需要的數(shù)據(jù)：

其中：r 為無風險利率；σ 為可轉(zhuǎn)債對應(yīng)股票價格的波動率；Δt為期權(quán)有效期的時間間隔；u為股票上漲幅度；d為股票下跌幅度。

圖1 二步二叉樹期權(quán)走勢圖

3 實證研究

天康轉(zhuǎn)債是由天康生物股份有限公司發(fā)行的可轉(zhuǎn)債。它的經(jīng)營范圍主要是農(nóng)業(yè)相關(guān)的，如獸藥、飼料的生產(chǎn)和銷售、農(nóng)畜產(chǎn)品的銷售、食用農(nóng)產(chǎn)品的銷售等。

表1 天康轉(zhuǎn)債信息

3.1 模型中各參數(shù)的確定

①r 為無風險利率。本文無風險利率選擇了2019年中央銀行五年期定期存款利率2.75%。

②σ為波動率，是可轉(zhuǎn)債對應(yīng)的標的股票價格的波動率。其計算公式為：股票年波動率=每交易日股價波動率方差×√每年的交易日數(shù)。通常情況下，選取的數(shù)據(jù)越多，那么預計的股票價格的波動率越精準，預測的可轉(zhuǎn)債價格也越接近實際[6]。本文選取了目標股票天康生物最近的180個交易日（2019.7.8-2020.4.3）的每日股票收盤價為參考數(shù)據(jù)，計算出每日的收益率，運用stdev函數(shù)求出181個交易日的方差，乘上根號下的180個交易日，就得出了每交易日股價波動率，最后計算得出天康生物股票的年波動率為0.51。

③Δt 為期權(quán)有效期的時間間隔。本文將時間間隔設(shè)置為百分之一年，天康轉(zhuǎn)債剩余年限為3.54年，那么它的二叉樹步數(shù)為354步。

3.2 二叉樹模型預測效果

所有數(shù)據(jù)搜集完畢，將數(shù)據(jù)代入二叉樹模型中，用MATLAB 軟件運行程序，可以得到2020 年4 月3 日天康轉(zhuǎn)債的理論價格為180.69 元，當日實際價格為176.88 元，偏差不大。于是本文繼續(xù)代入4月3日前30個交易日的數(shù)據(jù)，得出天康轉(zhuǎn)債30個交易日的理論價格。運用折線圖將理論價格與實際價格相結(jié)合，可以更加直觀地看出兩者的差異[7]。如圖2所示。

圖2 30個交易日理論價格與實際價格對比

可以看出通過二叉樹模型計算出的可轉(zhuǎn)債的理論價格與實際價格雖存在著一些偏差，但基本保持一致。同時我們將其他農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債運用二叉樹模型進行定價。與求天康轉(zhuǎn)債的理論價格的方法相同，選取2019年7月8日至2020年4月3日的股票收盤價數(shù)據(jù)，求出波動率。并根據(jù)各個可轉(zhuǎn)債不同的剩余年限代入二叉樹模型中，可以得到理論價格。并將求得的理論價格與2020年4月3日的實際價格進行對比。得到如下數(shù)據(jù)。

表2 農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債理論價格與實際價格對比

由表2可以看出，其他農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債理論價格與實際價格的對比，除宏輝轉(zhuǎn)債外，其他五支可轉(zhuǎn)債的理論價格與實際價格偏差不大。分析宏輝轉(zhuǎn)債偏差加大的原因，可能是在我國實際的資本市場上，并不能完全滿足模型的假設(shè)。如可轉(zhuǎn)債價格的異常變動，很有可能是莊家操縱股價，從而使股價大幅度波動，偏離市場規(guī)律。這樣的情況顯然不能滿足理想假設(shè)，才會使得理論價格與實際價格產(chǎn)生較大偏差。還有一個重要原因是在二叉樹定價模型中，我們假設(shè)了股票上漲或下跌的概率p 是一個常數(shù)。但是市場中上漲或下跌的概率每時每刻都會變化，我們無法得到一個確切的數(shù)字。同時由于農(nóng)業(yè)行業(yè)的特殊性，受到政府扶持力度較大，能夠獲得較多優(yōu)惠政策[8]。相比其他行業(yè)，更加受投資者的青睞，所以農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債的理論價格與實際價格的偏差相比于其他行業(yè)會大一點。

由于這些原因?qū)е露鏄漕A估的可轉(zhuǎn)債理論價格與實際價格有所出入。要改善這一現(xiàn)象，需要對模型進行進一步優(yōu)化，也需要政府加強對農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債的監(jiān)管，讓投資者對農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債的投資趨于理性。

4 結(jié)論與討論

本文以天康轉(zhuǎn)債為例，通過構(gòu)建二叉樹模型對其進行定價研究，可以得到2020年4月3日天康轉(zhuǎn)債的理論價格為180.69 元，當日實際價格為176.88元，兩者相差不大。為了更加直觀地顯示運用二叉樹模型計算出的理論價格與實際價格的偏差，形成30 個交易日的理論價格與實際價格對比圖，研究表明二叉樹法得出的理論價格與實際價格基本一致。于是將二叉樹定價模型運用到其他農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債中，除宏輝轉(zhuǎn)債外，其他可轉(zhuǎn)債理論價格與實際價格偏差不大。該方法能夠較精準地為農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債定價。

發(fā)行可轉(zhuǎn)債對于上市公司來說提供了發(fā)展空間和融資渠道，也為投資者提供了多種選擇[9]。本文采用了眾多學者采用的二叉樹模型對可轉(zhuǎn)債進行定價，但基本上采用二叉樹模型對于農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債的定價很少，而研究農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債的定價問題能夠提升農(nóng)業(yè)上市公司的國際競爭力，避免由于套利機會的存在從而擾亂農(nóng)業(yè)市場的均衡。

本文對農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債的定價研究在一定程度上對農(nóng)業(yè)上市公司發(fā)行可轉(zhuǎn)債提供了一定的指導作用，但由于市場上發(fā)行的農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債較少，本文研究的樣本數(shù)據(jù)較少，可能存在一定的局限性[10]。以及我國的可轉(zhuǎn)債市場不夠成熟，市場機制還未建立完善，政策的改變會對農(nóng)業(yè)可轉(zhuǎn)債市場產(chǎn)生巨大的影響，所以本文所得出的結(jié)論具有一定的時效性。并且本文的定價模型的數(shù)據(jù)來源是以標的股票為主的，一般適用于標的股票價格能夠準確反映其公司價值的可轉(zhuǎn)債，忽略了從公司價值、經(jīng)營管理方面對可轉(zhuǎn)債定價的影響。因此，綜合考慮可能影響可轉(zhuǎn)債價格的各項因素，并將其代入定價模型中，從而提高模型的嚴謹性，是本文接下來研究的一個重點。