李宏揚(yáng)

(陸軍裝甲兵學(xué)院士官學(xué)校, 長春 130000)

0 引 言

在數(shù)學(xué)上很容易求取一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)或微分, 但對(duì)于實(shí)際的工程應(yīng)用卻不是一個(gè)簡單問題, 由于工程實(shí)踐中常常需要提取信號(hào)的微分形式, 因此這個(gè)問題一直困擾著控制領(lǐng)域的學(xué)者們。在工程控制領(lǐng)域, PID(Proportional Integral Derivative)控制算法是最受歡迎的控制方式之一[1], 其微分環(huán)節(jié)的實(shí)現(xiàn)通常采用超前網(wǎng)絡(luò)等方法近似獲取。此方法雖然改善了系統(tǒng)性能[2], 但會(huì)導(dǎo)致精確度下降, 同時(shí)還會(huì)引入噪聲。針對(duì)這一問題, 韓京清[3]提出了跟蹤微分器(TD: Tracking Differentiator)的概念, 為工程上提取微分信號(hào)提供了一種行之有效的方法, 即安排過渡過程的方法[4]。傳統(tǒng)的TD取得了許多實(shí)際應(yīng)用成果, 例如在光電穩(wěn)定平臺(tái)[5]、 橋式吊車[6]和衛(wèi)星姿態(tài)控制[7]等方面都起到了非常好的控制效果, 同時(shí)也衍生出多種不同形式的跟蹤微分器[8-9], 但算法還存在一些缺陷, 例如在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后, 傳統(tǒng)的TD會(huì)產(chǎn)生高頻振顫現(xiàn)象[10]； 此外當(dāng)輸入信號(hào)中混入噪聲時(shí), 傳統(tǒng)TD很容易出現(xiàn)噪聲放大效應(yīng)。為解決傳統(tǒng)跟蹤微分器的缺陷, 筆者提出一個(gè)新的最速綜合控制函數(shù)改進(jìn)算法, 并引入到跟蹤微分器中。

1 跟蹤微分器新舊算法對(duì)比

跟蹤微分器的功能結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 跟蹤微分器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of tracking differentiator

其中v(t)是給定輸入信號(hào), 經(jīng)過跟蹤微分器TD后, 得到兩個(gè)輸出信號(hào)x1(t)和x2(t), 對(duì)給定輸入信號(hào)v(t),x1(t)跟蹤v(t),x2(t)是x1(t)的微分。由此可以看出, TD動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅能快速跟蹤系統(tǒng)的給定輸入信號(hào), 還能提取出近似的微分信號(hào)。

(1)

其中h是函數(shù)的積分步長,v(k)是TD的輸入信號(hào)。于是可以得到二階串聯(lián)積分型系統(tǒng)

(2)

在式(2)中,f(·)是非線性函數(shù), 將二階積分串聯(lián)型系統(tǒng)的原點(diǎn)作為終點(diǎn), 即可求出快速最優(yōu)控制的綜合函數(shù)為

(3)

將式(3)代入式(2)中, 可得

(4)

將式(4)中的x1改為x1-v, 可得

(5)

將式(5)所示的系統(tǒng)稱為非線性跟蹤微分器[12]。將式(5)進(jìn)行離散化可得最速跟蹤微分器

(6)

在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后, 利用式(6)的最速跟蹤微分器會(huì)產(chǎn)生高頻振顫現(xiàn)象, 于是又引入了一個(gè)新的最速綜合控制函數(shù)fhan(x1,x2,r,h0), 其算法如下

(7)

其中h0是TD的濾波因子, 起濾波作用。將式(7)代入式(6)中, 得

(8)

將其稱為新的最速跟蹤微分器, 即改進(jìn)算法。TD對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤快慢取決于r。

下面分別對(duì)采用式(6)和式(8)的跟蹤微分器進(jìn)行對(duì)比分析。速度因子r=16, 積分步長h=0.000 1, 新算法濾波因子h0=0.000 1。對(duì)圖1所示結(jié)構(gòu)的輸入階躍信號(hào), 采用不同算法的微分輸出信號(hào)如圖2所示, 即圖1中的x2(t), 其中圖2b是圖2a微分信號(hào)平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)的局部放大圖, 即6.5 s以后圖像的局部放大圖。由圖2可以發(fā)現(xiàn), 采用傳統(tǒng)算法的跟蹤微分器在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后出現(xiàn)高頻振顫, 而采用改進(jìn)算法的跟蹤微分器則沒有振顫, 這表明采用改進(jìn)算法能克服傳統(tǒng)微分器缺陷, 消除高頻振顫。

a 對(duì)階躍輸入信號(hào)微分的跟蹤 b 對(duì)階躍輸入信號(hào)微分的跟蹤局部放大

2 采用改進(jìn)算法TD的跟蹤特性分析

對(duì)圖1所示的結(jié)構(gòu)圖, 利用Matlab/Simulink分別進(jìn)行階躍和正弦信號(hào)輸入仿真實(shí)驗(yàn)分析。實(shí)驗(yàn)條件如下： 積分步長h=0.000 1, 濾波因子h0=0.000 1, 速度因子r=20。階躍輸入條件下的跟蹤性能如圖3所示。在相同條件下, 通過圖3發(fā)現(xiàn)采用改進(jìn)算法的TD能比傳統(tǒng)算法更快速地跟蹤上階躍輸入, 但改進(jìn)算法在輸出微分信號(hào)時(shí)超調(diào)較大。正弦輸入下的跟蹤性能如圖4所示。圖4表明在相同條件下, 采用改進(jìn)算法的TD能快速準(zhǔn)確地跟蹤上輸入信號(hào)以及準(zhǔn)確提取微分信號(hào), 而采用傳統(tǒng)算法的TD則已經(jīng)發(fā)生了嚴(yán)重的畸變。

a 跟蹤階躍輸入信號(hào) b 跟蹤階躍輸入信號(hào)的微分

a 跟蹤正弦輸入信號(hào) b 跟蹤正弦輸入信號(hào)的微分

不同r時(shí)階躍輸入下的跟蹤性能如圖5所示。在圖5中, 隨著速度因子r的增大, 響應(yīng)時(shí)間越來越快, 提取微分信號(hào)時(shí)滯后越來越小。r不同時(shí)正弦輸入下的跟蹤性能如圖6所示。在圖6中, 隨著速度因子r的增大, 跟蹤正弦輸入越來越快, 誤差越來越小, 而且提取的微分信號(hào)滯后越來越小。通過圖5和圖6可以得到如下結(jié)論, 隨著速度因子r的增大, 跟蹤微分器對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤又快又精確, 信號(hào)的提取滯后越來越小。

a 跟蹤階躍輸入信號(hào) b 跟蹤階躍輸入信號(hào)的微分

a 跟蹤正弦輸入信號(hào) b 跟蹤正弦輸入信號(hào)的微分

3 采用改進(jìn)算法TD的濾波特性分析

由于改進(jìn)算法中引入了濾波因子, 所以具有了濾波功能。對(duì)圖1所示的結(jié)構(gòu)圖, 利用Matlab/Simulink進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)分析。實(shí)驗(yàn)條件如下： 積分步長h=0.000 1, 速度因子r=100, 在系統(tǒng)輸入疊加功率為0.001的白噪聲。不同濾波因子在疊加白噪聲階躍輸入下的跟蹤性能和不同濾波因子在疊加白噪聲正弦輸入下的跟蹤性能如圖7和圖8所示。由圖7和圖8可以發(fā)現(xiàn), 隨著濾波因子的增加, 濾波作用增強(qiáng), 但系統(tǒng)延遲時(shí)間增大, 因此, 在選擇參數(shù)時(shí)要對(duì)濾波和滯后進(jìn)行折中。

a 跟蹤階躍輸入信號(hào) b 跟蹤階躍輸入信號(hào)的微分

a 跟蹤正弦輸入信號(hào) b 跟蹤正弦輸入信號(hào)的微分

4 結(jié) 語

筆者對(duì)跟蹤微分器的改進(jìn)算法和傳統(tǒng)算法數(shù)學(xué)離散過程進(jìn)行了推導(dǎo), 利用Matlab/Simulink軟件中的S-函數(shù)對(duì)階躍輸入以及正弦輸入條件進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)分析。通過仿真對(duì)比傳統(tǒng)與改進(jìn)算法可知, 采用改進(jìn)算法的跟蹤微分器不但能快速跟蹤系統(tǒng)的輸入信號(hào)并能提取輸入信號(hào)的微分信號(hào), 同時(shí)消除了傳統(tǒng)算法進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的高頻振顫現(xiàn)象； 改進(jìn)算法引入了濾波因子, 使跟蹤微分器還能有效抑制噪聲, 恢復(fù)原始信號(hào), 所以濾波作用顯著。傳統(tǒng)PID控制的微分形式和積分形式都只對(duì)給定和反饋的誤差信號(hào)進(jìn)行處理, 而跟蹤微分器卻能提取信號(hào)的微分形式, 根據(jù)這一特性, 可以把跟蹤微分器和PD(Proportional Derivative)控制器結(jié)合起來, 這將是下一步要深入研究的工作內(nèi)容。