滕兆春, 王俊淋

(蘭州理工大學 理學院, 甘肅 蘭州 730050)

隨著現(xiàn)代社會工程建設的快速發(fā)展,彈性地基上各類板狀結構在工程中的應用前景越來越廣泛[1].工程中常見的地基模型有：彈性連續(xù)介質(zhì)模型、Winkler模型、粘彈性模型、雙參數(shù)模型等.Winkler模型認為地基上某點的沉降只與該點作用的載荷有關,而與其它點的載荷無關[2]；彈性連續(xù)介質(zhì)模型將地基視為完全相連的彈性體,在求解過程中通常都需要求解微分方程,在數(shù)學上較為困難.Winkler-Pasternak地基作為一種對Winkler地基模型的修正[3],同時也沒有彈性連續(xù)介質(zhì)地基模型在數(shù)學上遇到的困難,更接近工程中的實際情況[1].在Winkler地基模型的基礎上,Winkler-Pasternak地基模型假設各彈簧之間存在相互的剪切作用,且該剪切作用通過一層只能產(chǎn)生豎向剪切變形而不能被壓縮的剪切薄層與彈簧單元相連來實現(xiàn)[4].

功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)是指兩種或兩種以上的材料從一側到另一側連續(xù)變化[5],從而使不同材料之間的性能也得以連續(xù)變化,以滿足構件的不同部位對材料使用性能需求的不同, 特別在減緩熱應力方面其性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)復合材料.正是因為這種優(yōu)越的力學性能,使得FGM應用到更多的領域,特別在航空航天、核工業(yè)、光學器件等尖端領域.目前對彈性地基和FGM的研究也較多,諸如：Reddy等[6]用有限元方法對熱機耦合FGM圓柱和板結構的動力學熱彈響應做了分析.蒲育等[7]在二維線彈性理論的基礎上,利用Hamilton建立了FGM 板面內(nèi)自由振動的控制微分方程,然后采用微分求積法(Differential Quadrature Method,DQM),研究了四邊彈性約束條件下FGM 矩形板面內(nèi)自由振動的無量綱頻率.Latifi等[8]在經(jīng)典板理論的基礎上,利用傅里葉級數(shù)展開研究了受面內(nèi)載荷FGM矩形板在各種邊界條件下的動力屈曲.Na等[9]用有限元方法研究了功能梯度陶瓷復合材料的三維熱機屈曲并分析了功能梯度材料結構的長厚比、體積分數(shù)分布和系統(tǒng)幾何參數(shù)對FGM板熱屈曲性能的影響.Gupta等[10]基于非多項式高階剪切和法向變形理論,采用有限元方法研究Winkler-Pasternak地基上FGM板的彎曲與振動問題,并分析了各種邊界條件、幾何條件、地基參數(shù)和兩種微力學材料模型對功能梯度板彎曲和振動響應的影響.周鳳璽等[11]在三維線性熱彈性理論的基礎上,運用Laplace變換和打靶法,求得了在熱沖擊下四邊簡支FGM矩形板的熱響應,并分析了材料的組分分布和功能梯度材料的熱響應行為之間的關系.Liang等[12]利用Laplace變換和微分求積法求得了FGM 圓板在雙參數(shù)黏彈性地基上瞬態(tài)響應的解析解.滕兆春等[13]使用DQM法,數(shù)值研究了變厚度矩形板在彈性地基上橫向自由振動的頻率特性.劉麗威[14]用DQM研究了不同邊界條件下長寬比和剪切變形對FGM板頻率的影響.王小崗等[15]利用撓度試函數(shù)和Galerkin 法求得四邊自由的變厚度矩形板在Winkler彈性地基上的自振頻率方程和算式.國內(nèi)外學者展開的對功能梯度材料在各種載荷作用下力學響應的研究雖然較多,但鮮有關于同時考慮多種邊界條件和Winkler-Pasternak彈性地基上四邊受壓功能梯度矩形板的自由振動與屈曲特性的報道.同時以上求解FGM板自由振動、彎曲和屈曲問題的方法雖多,例如有限元方法,適用于復雜邊界條件,但需要大量的前期準備工作、密集的網(wǎng)格和較大的計算量,才能保證計算結果滿足所需的精度[16],DQM又因為邊界條件的限制或公式推導的繁瑣,使求解變得也較為麻煩.

微分變換法(differential transform method,DTM)是一種相對于有限元等可不采用結點而通過變換式迭代求解獲得較高計算精度結果的一種半解析方法,它可以將邊界條件和微分方程結合,將其變換成相應的代數(shù)方程求解.最初該方法被運用于電路問題的分析[17],近年來也逐漸被用于結構的靜動力學響應求解[18-21],且編寫程序簡單,計算結果精度高,完全能滿足工程實際的要求[22].本文運用DTM對多種邊界條件Winkler-Pasternak地基上四邊受壓FGM矩形板的自由振動和屈曲特性展開研究.

1 問題的描述及基本方程

1.1 問題的基本描述

在均勻的Winkler-Pasternak彈性地基上放置一塊由兩種材料組成的四邊受壓FGM矩形板,并建立如圖1所示坐標系.FGM矩形板的長寬高分別為a、b和h,長寬比為λ=a/b,載荷Ny垂直于y軸截面,載荷Nx垂直于x軸截面,kw、qw分別為地基的彈性剛度系數(shù)以及剪切剛度系數(shù),w表示板橫向的位移分量.y=0和y=b兩處邊界條件為簡支(S),其余兩對邊外的邊界條件為簡支(S)或固支(C).以下FGM矩形板四條直邊的邊界條件表示均按x=0、y=b、x=a和y=0的順序給出.

圖1 Winkler-Pasternak彈性地基上四邊受壓FGM板的幾何模型Fig.1 Geometric model of FGM plate under four-sided compression on Winkler-Pasternak elastic foundation

假設材料常數(shù)沿厚度方向遵循如下規(guī)律變化[23]：

(1)

式中：P表示材料的彈性模量E、剪切模量G或密度ρ;Pc、Pm分別表示兩種材料的物性參數(shù);z表示沿板厚度方向的坐標；k表示梯度指數(shù),它取不同的值代表成分含量不一的功能梯度材料.

Winkler地基假定地基界面上任一點的壓力強度與該點的沉降量成線性變化,則在任意時間t,數(shù)學模型為

H(x,y,t)=kww(x,y,t)

(2)

Winkler-Pasternak考慮各彈簧之間存在相互的剪切作用,且彈性地基之間始終保持接觸,則在任意時間t,地基的載荷與位移關系可表示為

H(x,y,t)=kww-qw2w

(3)

1.2 基本方程

物理中面取薄板的正應變與正應力為零的面(z=z0).

(4)

對式(4)進行積分可得

(5)

式中

位移分量：

(6)

應變分量：

(7)

物理方程為

(8)

式中

A21=A12,A22=A11

FGM板的抗彎剛度、抗扭剛度為

(9)

將式(5)代入式(9),可得

2 控制微分方程及參數(shù)的無量綱化

由經(jīng)典薄板理論可得面內(nèi)受壓FGM矩形板在Winkler-Pasternak彈性地基上的應變能U、動能T、外力引起的勢能V分別表示如下：

(10)

(11)

(12)

對Winkler-Pasternak彈性地基上面內(nèi)受壓FGM矩形板使用廣義Hamilton原理[24]

(13)

式中：δ為變分符號;t為時間.將式(10～12)代入式(13)可得面內(nèi)受壓FGM矩形板在Winkler-Pasternak彈性地基上自由振動和屈曲問題的控制微分方程:

(14)

考慮FGM矩形板在y=0和y=b處的邊界條件為簡支(S),取FGM矩形板的橫向位移函數(shù)為

(15)

(16)

式中

A0=D11ρc/ηDc

A1=-2(2D33+D12)m2π2λ2ρc/ηDc-

Qm2π2λ2ρc/η+Kρc/η

考慮FGM矩形板在X=0和X=1處的邊界條件為簡支(S)或固支(C),其無量綱形式為

(17)

(18)

3 控制微分方程及邊界條件的DTM變換

式(12)結合邊界條件求其固有頻率及臨界屈曲載荷的解析解較為困難,這里采用微分變換法(DTM)求其數(shù)值解.運用DTM求解微分方程,首先需要原函數(shù)可展開為 Taylor 級數(shù),然后經(jīng)DTM變換法則變換,使系統(tǒng)邊界條件和原微分方程(組)能變換為由離散函數(shù)組成的代數(shù)方程(組),在通過迭代解出含有未知量的多項式,最后進行反變換,求得該微分方程級數(shù)形式的解.

基于Taylor公式,Fr為原函數(shù)f(x)經(jīng)過DTM變換后所得,表示為

(19)

式(19)被稱作f(x)在x=x0時的微分變換的正變換式,Fr被稱作f(x)的微分變換形式.

設函數(shù)f(x)可展開為Taylor級數(shù)且收斂,此時Fr能變換為f(x),表示為

(20)

式(20)被稱作微分變換的反變換形式.由式(19)和式(20)可得

(21)

DTM基于Taylor級數(shù)展開后不需要求解函數(shù)的各階導數(shù),因此計算量大大減小.在實際應用中,可用有限的級數(shù)表示f(x),則式(21)可寫成

(22)

式(16)經(jīng)DTM變換后可得其等價代數(shù)方程為

(23)

將式(23)移項化為遞推形式有

(24)

這里r=0,1,2,3,…,n,DTM邊界條件變換如下:

在X=0處,簡支(S):

(25)

在X=0處,固支(C):

(26)

在X=1處,簡支(S):

(27)

在X=1處,固支(C):

(28)

經(jīng)式(23)迭代累加并結合邊界條件式(25～28)可分別求得四邊簡支(SSSS)和三邊簡支一邊固支(SSCS)的頻率特征方程如下:

(29)

(30)

要使其存在非零解,則

(31)

FGM矩形板失穩(wěn)時其固有頻率應為零.式(23)中令無量綱固有頻率Ω=0,則此時對應的最小屈曲載荷為臨界屈曲載荷Ncr,其求解過程類似于Ω的求解過程,可得

(32)

同理在邊界條件為對邊簡支對邊固支(CSCS)和一邊固支三邊簡支(CSSS)時,可得到含有未知量無量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr的特征方程：

由式(32～34),可分別求得邊界條件為SSSS、CSSS、SSCS、CSCS時的無量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr.為了保證無量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr的精度,給定：

式中:η1、η2表示迭代誤差限,這里取η1=η2=0.000 001.

4 計算結果及分析

表1 材料力學性能Tab.1 Mechanical properties of materials

表2 均質(zhì)各向同性方板無量綱固有頻率的比較(Ω2=a5ω2ρH/D11)Tab.2 Comparison of dimensionless natural frequencies for homogeneous isotropic rectangular plates(Ω2=a5ω2ρH/D11)

表3 均質(zhì)各向同性矩形板臨界屈曲載荷的比較Tab.3 Comparison of critical buckling loads for homogeneous isotropic rectangular plates

為了進一步驗證本文有關FGM的計算精確,考慮取不同梯度指數(shù)k,并將問題退化為無地基、無載荷的情形.表4給出了由Al/Al2O3組成的FGM方板在SSSS邊界條件下的前2階無量綱固有頻率值,并與文獻[27]的計算結果對比,計算結果吻合,這表明本文對功能梯度材料的計算正確.

表4 不同梯度指數(shù)k下四邊簡支FGM矩形板無量綱固有頻率的比較Tab.4 Comparison of dimensionless natural frequencies for FGM rectangular plates with different gradient

圖2 不同邊界條件下梯度指數(shù)與FGM方板前三階無量綱固有頻率之間的關系曲線Fig.2 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM square plates and gradient index as boundary condition is different

圖3 不同邊界條件下無量綱彈性剛度系數(shù)與FGM方板前3階無量綱固有頻率之間的關系Fig.3 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM square plates and dimensionless elastic stiffness coefficient as boundary condition is different

由圖2～圖5可知：在無量綱彈性剛度系數(shù)、無量綱剪切剛度系數(shù)、外載荷、長寬比一定時,CSCS邊界的固有頻率最大、CSSS或SSCS的固有頻率次之、SSSS的固有頻率最小.這表明邊界條件約束越強,FGM矩形板的無量綱固有頻率就越大.

圖5 不同邊界條件下長寬比與FGM矩形板前3階無量綱固有頻率之間的關系曲線Fig.5 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM rectangular plates and length-width ratio as boundary condition is different

圖6 不同邊界條件下屈曲載荷與FGM方板前3階無量綱固有頻率之間的關系曲線Fig.6 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM square plates and buckling loads as boundary condition is different

圖7為CSCS和CSSS兩種邊界條件下K=200和Q=20時,長寬比λ對臨界屈曲載荷的影響曲線.由圖7可知：在梯度指數(shù)、無量綱彈性剛度系數(shù)、無量綱剪切剛度系數(shù)、邊界條件一定時,臨界屈曲載荷隨著長寬比的增大而減小；當長寬比小于2時,屈曲載荷Ncr隨著長寬比的變化更顯著；長寬比大于2時,屈曲載荷Ncr隨著長寬比的變化更趨于平緩；長寬比、無量綱彈性剛度系數(shù)、無量綱剪切剛度系數(shù)、邊界條件一定時,臨界屈曲載荷隨著梯度指數(shù)的增大而減小.

圖7 不同梯度指數(shù)下長寬比與臨界屈曲載荷之間的關系曲線Fig.7 Relationship between critical buckling loads and length-width ratio at different gradient indexes

5 結論

本文在經(jīng)典薄板理論和廣義Hamilton原理的基礎上,推導了四邊受壓FGM矩形板在Winkler-Pasternak彈性地基上的自由振動與屈曲控制微分方程并進行無量綱化.使用DTM對無量綱控制微分方程及其邊界條件進行變換,利用MATLAB軟件對計算過程進行編程,計算出不同邊界條件下四邊受壓FGM矩形板在Winkler-Pasternak彈性地基上自由振動的無量綱固有頻率和臨界屈曲載荷并對其特性進行分析.考慮FGM矩形板的邊界條件為對邊簡支和其余兩邊為簡支或固支的任意組合,因此本文能解決FGM矩形板相對較多的邊界條件,并得到以下結論：

1) FGM矩形板的無量綱固有頻率隨著梯度指數(shù)的增大而減小,且k處于0到1之間,頻率減小更顯著,后逐漸趨于穩(wěn)定.

2) FGM矩形板的無量綱固有頻率隨著無量綱彈性剛度系數(shù)、無量綱剪切剛度系數(shù)和長寬比的增大而增大,且高階頻率增大更明顯；邊界條件約束越強,FGM矩形板的無量綱固有頻率越大.

3) FGM矩形板的無量綱固有頻率隨著面內(nèi)壓載荷的增大而減小,且能減小至0,此時對應的壓載荷即為FGM矩形板的臨界屈曲載荷.

4) FGM矩形板的臨界屈曲載荷隨著長寬比和梯度指數(shù)的增加而減小,且當長寬比小于2時,屈曲載荷隨著長寬比的變化更顯著.

5) 本文采用的DTM 法,編寫程序簡單,計算精度高,特別對特征值問題具有明顯的優(yōu)勢,研究可為 FGM矩形板的設計及分析提供有效的依據(jù).