顏閩秀, 徐 輝

(1. 沈陽化工大學 信息工程學院, 遼寧 沈陽 110142; 2. 工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)遼寧省高校重點實驗室, 遼寧 沈陽 110142)

分數(shù)微積分的發(fā)展由于其固有的復(fù)雜性和缺乏預(yù)見性的應(yīng)用,直到近幾十年才應(yīng)用于一些工程中[1-4].分數(shù)階系統(tǒng)模型能夠簡潔地描述出許多具有記憶特性的系統(tǒng)和一些復(fù)雜的材料,如振蕩器[5]、光伏發(fā)電模型[6]、超級電容器建模[7]、土壤鹽堿化程度分類[8]等.相較于整數(shù)階模型,它能夠合理準確地描述現(xiàn)實世界的物理現(xiàn)象,這促進了混沌領(lǐng)域的學者對分數(shù)階混沌理論及分數(shù)階混沌系統(tǒng)模型的探索和研究.

除了經(jīng)典的整數(shù)階混沌系統(tǒng)的分數(shù)階模型[9-15]被研究外,不同的新分數(shù)階混沌系統(tǒng)被學者提出,Gholamin等[16]提出了一個三維分數(shù)階混沌系統(tǒng),Zhang等[17]提出了改變一個參數(shù)即可產(chǎn)生一至四翼的分數(shù)階混沌系統(tǒng),Munoz-Pacheco等[18]提出了變量可調(diào)的分數(shù)階混沌系統(tǒng),Zhou等[19]提出了具有復(fù)雜共存吸引子的分數(shù)階混沌系統(tǒng).這些研究成果豐富了分數(shù)階混沌理論和分數(shù)階混沌系統(tǒng)的數(shù)量,促進了分數(shù)階混沌系統(tǒng)在工程方面的應(yīng)用.在混沌領(lǐng)域的研究中,混沌同步控制一直是研究的熱點.為了實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)同步,這方面的學者成功地提出了各種控制方案,如PID控制[20]、反饋控制[21]、主動控制[22]、狀態(tài)觀測器控制[23]、投影同步控制[24]、滑模同步控制[25]、魯棒控制[26]和自適應(yīng)控制[27-29]等.

本文基于Caputo定義提出了一個新的、僅含一個非線性項的三維分數(shù)階混沌系統(tǒng),采用預(yù)估校正法[30]對系統(tǒng)進行數(shù)值仿真,發(fā)現(xiàn)它能夠產(chǎn)生復(fù)雜的雙渦卷混沌吸引子.相較于一般的混沌系統(tǒng),它的結(jié)構(gòu)更為簡單,僅含一個非線性項,且易于實現(xiàn).在通過理論分析和數(shù)值仿真驗證了系統(tǒng)的混沌特性后,為驗證系統(tǒng)實現(xiàn)的可能性,文中設(shè)計了系統(tǒng)的分數(shù)階混沌電路并于Multisim中進行模擬實驗,實驗結(jié)果驗證了系統(tǒng)實現(xiàn)的可能性.最后針對帶有未知參數(shù)和擾動的分數(shù)階系統(tǒng)的同步問題,設(shè)計了基于自適應(yīng)的滑?？刂破?在擾動上界未知、系統(tǒng)參數(shù)不確定的情況下,實現(xiàn)了系統(tǒng)的同步控制.

1 系統(tǒng)模型

本文在研究Silnikov定理的應(yīng)用時,提出了在Caputo定義下的同量階分數(shù)階混沌系統(tǒng),其模型為

(1)

其中:0

圖1 混沌吸引子Fig.1 Chaos attractor

圖2 x-z相圖Fig.2 x-z phase diagram

圖3 y-z相圖Fig.3 y-z phase diagram

由圖1～3可以看出,系統(tǒng)(1)的吸引子的幾何形狀非常復(fù)雜,具有很強的吸引性、復(fù)雜的折疊和拉伸軌線,所有軌線被限定在一個特定的區(qū)域內(nèi).

為驗證系統(tǒng)的混沌特性,使用計算機求出分數(shù)階混沌系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù),得到λL1=0.112 5,λL2=0,λL3=-0.642 1,它們隨時間變化的曲線如圖4所示.

圖4 李雅普諾夫指數(shù)Fig.4 Lyapunov exponents

再由下式計算出系統(tǒng)的李雅普諾夫維數(shù)DL:

(2)

其中j為滿足下式的最大整數(shù)：

(3)

得到：

(4)

由上述計算可知,系統(tǒng)的三個李雅普諾夫指數(shù)中一個為正,一個為負,另外一個為0,且李雅普諾夫維數(shù)為分數(shù),所以表明系統(tǒng)(1)為混沌系統(tǒng).

為進一步驗證系統(tǒng)的混沌特性,利用計算機繪制出系統(tǒng)關(guān)于變量x的功率譜(如圖5所示)以及x-y平面關(guān)于z=0的龐加萊截面圖(如圖6所示).

圖5 功率譜Fig.5 Power spectrum

圖6 龐加萊截面Fig.6 Poincare surface of section

從圖5和圖6可以看出,系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)譜,沒有明顯的波峰;龐加萊截面圖并不是一條封閉的曲線,而是由密集點構(gòu)成的具有吸引子輪廓的曲線.這再次表明了系統(tǒng)(1)為混沌系統(tǒng).

2 平衡點及其穩(wěn)定性

令式(1)等式左邊為0,得到:

(5)

求解方程組(5),解得方程的三個平衡點,分別為

(6)

代入數(shù)據(jù)a=0.5,得到:

求得系統(tǒng)的Jacobian矩陣J為

(7)

令det(λI-J)=0,求得其特征多項式為

f(λ)=λ3+A2λ2+A1λ+A0

(8)

其中：A0=ax2+2xz-a-1,A1=x2,A2=a.

將平衡點E1=(0,0,0)代入式(7)進行線性化處理,得到Jacobian矩陣為

(9)

再將平衡點E1代入式(8),求得式(9)的特征值,為λ11=1,λ12,13=-0.75±0.968 2i,由特征值可知平衡點E1是指標為1的不穩(wěn)定的鞍點.

同理,在平衡點E2、E3處線性化得到Jacobian矩陣為

(10)

求得式(10)的特征值為λ21=λ31-0.894 7,λ22=λ32=0.197 3 + 1.82i,λ23=λ33=0.197 3-1.82i.由特征值可知平衡點E2、E3是指標為2的不穩(wěn)定的鞍點.

3 分岔圖

由第2節(jié)求出的特征值以及相關(guān)的分數(shù)階穩(wěn)定性理論可知,下式為系統(tǒng)(1)產(chǎn)生混沌的必要條件：

q>|argλ22,32|=|argλ23,33|=0.931 3

(11)

系統(tǒng)(1)所選取的階次q=0.98>0.931 3,符合式(11).為進一步研究階次q對系統(tǒng)(1)的動力學特性的影響,將系統(tǒng)的階次q作為系統(tǒng)的分岔參數(shù),繪制并分析系統(tǒng)關(guān)于q的分岔圖.

固定參數(shù)a,令q∈[0.92,1],初始值為(0.5,0.5,0.5),繪制出系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)q的分岔圖如圖7所示.

圖7 q-x分岔Fig.7 q-x bifurcation diagrams

從圖7可以看出,在[0.97,0.983]∪[0.99,1]時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).在q=0.963 5處出現(xiàn)叉式分岔,并在q=0.968 4處發(fā)生倍周期分岔,最終系統(tǒng)經(jīng)過一系列的倍周期分岔進入混沌狀態(tài).之后在q=0.982 7處發(fā)生鞍結(jié)分岔,并于q=0.987 5處發(fā)生叉式分岔,進而在q=0.988 5處發(fā)生倍周期分岔,最后經(jīng)一系列倍周期分岔系統(tǒng)進入混沌狀態(tài).

現(xiàn)在,為分析系統(tǒng)參數(shù)a對系統(tǒng)動力學特性的影響,繪制并分析系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)a的分岔圖.

固定參數(shù)q,令a∈[0.3,1.1],初始值為(0.5,0.5,0.5),繪制得到系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)a的分岔圖如圖8所示.

圖8 a-x分岔Fig.8 a-x bifurcation diagram

從圖8可以看出,當參數(shù)在區(qū)間[0.43,0.573]∪[0.632,0.7]∪[0.85,0.88]∪[0.9,0.94]時,分岔圖中出現(xiàn)由密集點構(gòu)成的區(qū)域,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

考慮到分數(shù)階混沌系統(tǒng)(1)中含有x2z這種交叉高階項時,系統(tǒng)(1)可能對x變量的初始值非常敏感.現(xiàn)在改變x變量的初始值x0繪制分岔圖,來確認該模型動力學特性是否依賴于x變量的初始值,實現(xiàn)混沌與周期模態(tài)的切換.

固定q=0.98,a=0.5,取初始值(x0,0.5,0.5),其中x0=[0.45,0.65],繪制x0-x分岔圖,如圖9所示.

圖9 x0-x分岔Fig.9 x0-x bifurcation diagram

由圖9可知,系統(tǒng)的混沌特性受到變量x初始值的影響.特別地,當x0在區(qū)間[0.57,0.62]時,分數(shù)階系統(tǒng)(1)處于周期2模態(tài).

取x0=0.6,則初始值為(0.6,0.5,0.5),此時系統(tǒng)會產(chǎn)生周期2軌道,如圖10所示.

圖10 周期2軌道Fig.10 Orbit of period 2

由上述分析可知,系統(tǒng)具有豐富的混沌特性.

4 電路設(shè)計

通過設(shè)計分數(shù)階混沌電路進行模擬來判斷系統(tǒng)(1)是否具有實現(xiàn)的可能性,并對上述理論分析和仿真結(jié)果進行驗證.電路將采用線性電阻、運算放大器、模擬乘法器(增益為1)以及圖11所示的鏈型電路.其中模擬乘法器用于實現(xiàn)系統(tǒng)中的非線性項,運算放大器及其相關(guān)電阻用于實現(xiàn)加、減運算,鏈型電路用來實現(xiàn)1/s0.98的單元電路.

圖11 1/s0.98的單元電路Fig.11 Unit circuit of 1/s0.98

當分數(shù)階次q=0.98時,1/s0.98的波特圖近似式為

(12)

鏈型電路中,A與B之間的傳遞函數(shù)F(s)為

(13)

式中:C0為單位參數(shù),取C0=1 μF,H(s)=F(s)C0=1/s0.98,將式(13)與式(12)對比可以得到

(14)

由式(14)可知：

(15)

通過以上對q=0.98階單元電路的分析,用Multisim設(shè)計實現(xiàn)該電路的原理圖如圖12所示,圖中U1=x,U2=y,U3=z.

圖12 分數(shù)階混沌系統(tǒng)電路原理 Fig.12 Circuit schematic diagram of fractional order chaotic system

復(fù)頻域中分數(shù)階混沌系統(tǒng)的方程表示為

(16)

將式(16)與式(1)比較,可作如下取值：

(17)

基于上述數(shù)據(jù)進行電路模擬,模擬結(jié)果如圖13和圖14所示.

圖13 U1-U3相圖Fig.13 The phase trajectory of U1-U3

圖14 U2-U3相圖Fig.14 The phase trajectory of U2-U3

從圖13和圖14可以看出,電路模擬結(jié)果與上文數(shù)值仿真結(jié)果一致,表明分數(shù)階混沌系統(tǒng)具有實現(xiàn)的可能性.

5 自適應(yīng)滑模同步控制

5.1 滑?？刂破骷皡?shù)自適應(yīng)律的設(shè)計

將系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng),并寫成如下形式：

(18)

其中參數(shù)a=0.5,階次q=0.98.取響應(yīng)系統(tǒng)為

(19)

式中：a1為a的估計參數(shù)；ui為自適應(yīng)滑?？刂破?；ri為干擾；i=1,2,3.

定義同步誤差ei=yi-xi,未知參數(shù)估計誤差ea=a1-a.由式(19)減去式(18)得到誤差系統(tǒng)為

(20)

為便于滑模控制器的設(shè)計,作下面的假設(shè).

假設(shè)1：干擾有界,但是未知,即|ri|≤di,di未知.

設(shè)計滑模面函數(shù)為

(21)

定義Di為擾動上界di的估計值,其估計誤差為edi=Di-di,設(shè)計Di的自適應(yīng)律為

(22)

由于常數(shù)的q階Caputo導(dǎo)數(shù)為0,因此對于干擾上界的誤差,有

(23)

針對未知參數(shù),設(shè)計其自適應(yīng)律為

(24)

式中：控制參數(shù)k2>0.最后設(shè)計自適應(yīng)控制器為

(25)

式中:fi=-(Di+k1|ei|μ)sgn(si)-k3si,i=1,2,3,4;控制參數(shù)k3>0.

定理1在干擾上界的自適應(yīng)律式(22,23),參數(shù)自適應(yīng)律式(24)以及自適應(yīng)控制器式(25)的作用下,響應(yīng)系統(tǒng)(19)將與驅(qū)動系統(tǒng)(18)實現(xiàn)同步.

證明構(gòu)造如下的李雅普諾夫函數(shù)：

對其求q階的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)得到

(27)

將式(21,24)代入式(27)得

(28)

將擾動估計誤差edi=Di-di、誤差系統(tǒng)(20)、控制器(25)代入式(28),得到

(29)

計算式(29),并對其進行放縮:

(30)

令Ti=-|si|+sisgn(ei),有下式成立：

(31)

由式(31)可知

Ti=-|si|+sisgn(ei)≤0

(32)

假設(shè)1中|ri|≤di,又因為si≤|si|,所以可得

siri-di|si|≤0

(33)

聯(lián)立式(30，32，33),可得

(34)

綜上所述,定理得證.

5.2 同步仿真實驗

為驗證所設(shè)計的控制器具有可行性和有效性,本文采用預(yù)估校正算法并使用Matlab進行數(shù)值仿真.取驅(qū)動系統(tǒng)的初始值為(0.8,-0.5,0.4),響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為(-0.2,0.5,-0.1),并取干擾r1=0.5sint,r2=sint,r3=cost,估計參數(shù)a1=5,控制參數(shù)ki=20 (i=1,2,3),μ=0.5.

基于上述數(shù)據(jù)進行模擬仿真,同步誤差的仿真結(jié)果如圖15所示,參數(shù)a1的識別過程如圖16所示.

圖15 同步誤差Fig.15 Synchronization error

圖16 參數(shù)a1的辨識過程Fig.16 Identification process of parameter a1

從圖15可以看出,系統(tǒng)的同步誤差很快趨于0,主從系統(tǒng)實現(xiàn)了同步.從圖16可以看出,響應(yīng)系統(tǒng)的估計參數(shù)在較短的時間內(nèi)達到穩(wěn)定且趨于主系統(tǒng)的參數(shù)a=0.5.這驗證了本文所設(shè)計的自適應(yīng)滑模控制器以及自適應(yīng)律的可行性和有效性.

6 結(jié)論

本文提出了一個僅含有一個非線性項的新三維分數(shù)階混沌系統(tǒng),通過系統(tǒng)的相軌跡圖、李雅普諾夫指數(shù)譜、功率譜、龐加萊截面、平衡點的穩(wěn)定性以及系統(tǒng)關(guān)于分數(shù)階次和參數(shù)的分岔圖等來分析系統(tǒng)的動力學特性.緊接著,設(shè)計了系統(tǒng)的分數(shù)階混沌電路并進行模擬實驗去驗證系統(tǒng)的可實現(xiàn)性.最后研究了帶有擾動以及未知參數(shù)的分數(shù)階系統(tǒng)的同步和參數(shù)識別問題,設(shè)計出合適的自適應(yīng)滑?？刂破饕约拔粗獏?shù)和擾動的自適應(yīng)律.基于上述研究結(jié)果得出如下結(jié)論：

1) 提出的三維分數(shù)階系統(tǒng)是混沌系統(tǒng),結(jié)構(gòu)簡單，僅含有一個非線性項,具有豐富的混沌特性.

2) 當該系統(tǒng)的階次或參數(shù)變化時,系統(tǒng)的混沌特性更為豐富.

3) 該系統(tǒng)具有電路實現(xiàn)的可能性,在保密通信等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價值.

4) 設(shè)計的自適應(yīng)滑?？刂破?、參數(shù)的自適應(yīng)律以及擾動的自適應(yīng)律是切實可行且有效的,不需要知道擾動的上界即能實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步控制以及系統(tǒng)不確定參數(shù)的辨識,更符合實際的工程應(yīng)用.