王 珂，趙春陽，白 旭，屠本陽

(江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引 言

鈦合金材料廣泛地應(yīng)用于耐壓殼結(jié)構(gòu)中，殼體結(jié)構(gòu)在服役期間會承受海水周期性的往復(fù)載荷，由此造成的疲勞損傷可能會產(chǎn)生裂紋，成為影響結(jié)構(gòu)安全的重要因素。因此對金屬疲勞斷裂的分析一直是工程的研究熱點(diǎn)。大多情況下，結(jié)構(gòu)疲勞分析采用確定性的方法進(jìn)行，然而不論是材料特性、載荷本身等都具有不確定性的特征，而這些特征正是影響疲勞壽命的不確定性因素。針對這些疲勞裂紋擴(kuò)展過程中存在的不確定性，有必要采用可靠性理論[1]對裂紋擴(kuò)展進(jìn)行分析。

傳統(tǒng)疲勞可靠性方法的缺陷主要是沒有考慮到已經(jīng)存在的裂紋對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響，而斷裂力學(xué)恰好彌補(bǔ)了這一缺點(diǎn)。一些學(xué)者提出了可靠性理論與裂紋擴(kuò)展理論相結(jié)合的辦法并開展了疲勞裂紋擴(kuò)展理論工程上的可靠性研究[2-5]，但以往的 Paris疲勞裂紋擴(kuò)展模型具有很多局限性，它不能包括裂紋擴(kuò)展的小裂紋階段。對此，為了解決傳統(tǒng)的裂紋擴(kuò)展模型可靠性分析中存在的局限性，李向陽等[6-8]對新近提出的裂紋擴(kuò)展模型進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)McEvily模型能夠解釋比較多的異常疲勞現(xiàn)象，并提出了針對不同材料的變斜率改進(jìn)形式，改進(jìn)后的McEvily模型對疲勞短裂紋和長裂紋均具有良好的疲勞預(yù)測能力。隨后，王一飛等[9]也將裂紋擴(kuò)展率分子項(xiàng)的冪指數(shù)由固定值改為變量，驗(yàn)證了該模型具備對不同材料的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行預(yù)報(bào)的能力。S.Ishihara[10]在鈦合金疲勞壽命周期內(nèi)，進(jìn)行了一系列高低周循環(huán)試驗(yàn)得到了裂紋長度與加載循環(huán)次數(shù)的函數(shù)關(guān)系，確定了McEvily模型的本構(gòu)關(guān)系且試驗(yàn)結(jié)果與預(yù)測結(jié)果高度吻合。R.Kumble等基于裂紋張開位移考慮的裂紋擴(kuò)展模型在應(yīng)力比R=0載荷情況下，提出了一種修正裂紋擴(kuò)展表達(dá)式以反映裂紋閉合影響下的McEvily關(guān)系。李旭東[11]通過對不同溫度下6 151-T6合金的研究，獲得了一種基于可靠性理論的裂紋擴(kuò)展速率表達(dá)式。羅廣恩等[12]基于改進(jìn)McEvily模型預(yù)測深海結(jié)構(gòu)表面裂紋的疲勞壽命，得到了結(jié)構(gòu)的疲勞壽命和表面裂紋擴(kuò)展的形貌變化。許斐然[13]采用改進(jìn)McEvily裂紋擴(kuò)展模型，預(yù)測壓縮循環(huán)載荷下深海結(jié)構(gòu)物的疲勞壽命，并將預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明此模型可為相關(guān)循環(huán)的壓縮載荷下的結(jié)構(gòu)疲勞壽命評估提供參考?？到14]通過對McEvily公式的深入研究，綜合考慮彈塑性行為的影響、裂紋閉合效應(yīng)，得出McEvily改進(jìn)公式對疲勞裂紋擴(kuò)展壽命具有更強(qiáng)的評估能力。這些針對McEvily模型的疲勞裂紋擴(kuò)展研究也為本文中模型的選取提供了思路。

本文在疲勞分析中引入可靠性理論，將裂紋擴(kuò)展模型中的不確定參數(shù)作為統(tǒng)計(jì)變量，結(jié)合改進(jìn)McEvily裂紋擴(kuò)展模型和疲勞壽命可靠性模型，建立疲勞裂紋擴(kuò)展可靠性的極限狀態(tài)方程，利用一次二階矩法對可靠度指標(biāo)及參數(shù)敏感性進(jìn)行計(jì)算分析，并與傳統(tǒng)的Paris裂紋擴(kuò)展模型可靠度進(jìn)行對比。

1 基于疲勞裂紋擴(kuò)展模型的可靠性

1.1 改進(jìn)McEvily裂紋擴(kuò)展模型的疲勞可靠性

1.1.1 極限狀態(tài)方程的建立

疲勞累積損傷模型由于描述的參量不同，因此結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)有很多種，這就導(dǎo)致在極限狀態(tài)建立的過程中有了較多的選擇。但根據(jù)本文的實(shí)際情況考慮，應(yīng)當(dāng)選擇以應(yīng)力循環(huán)數(shù)為變量的疲勞壽命模型為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，即可表示為：

其中：N為結(jié)構(gòu)在疲勞破壞的臨界狀態(tài)時(shí)的循環(huán)總數(shù)；Nd為設(shè)計(jì)的應(yīng)力循環(huán)總數(shù)。

根據(jù)李向陽的改進(jìn)McEvily模型基礎(chǔ)上可以定義裂紋尺寸從a1到擴(kuò)展到a2時(shí)的疲勞損傷累積方程為φ(a1,a2)，它表示的是裂紋擴(kuò)展疲勞損傷過程。對da/dN=A(M)m進(jìn)行積分可得：

即可知：

因此可得：

其中，A和m為裂紋擴(kuò)展過程中的不確定性參數(shù)。

φ(a1,a2)是隨著裂紋長度遞增的函數(shù)，因此極限破壞狀態(tài)可表示為：

即由此可得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)：

當(dāng)疲勞破壞發(fā)生時(shí)g(x)＜0，g(x)=0為極限狀態(tài)，即

式中：

其中：R為應(yīng)力比；a為裂紋長度；k為裂紋閉合水平；re為材料固有缺陷尺寸； σY為材料的屈服強(qiáng)度；Y為應(yīng)力強(qiáng)度因子修正系數(shù)；Kop為裂紋張開水平下的應(yīng)力強(qiáng)度因子；Keffth為有效應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍；Kopmax為裂紋開口狀態(tài)的最大應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1.1.2 疲勞可靠性分析

由上述內(nèi)容中提出的基于改進(jìn)McEvily裂紋擴(kuò)展模型得到的極限狀態(tài)方程式（8），當(dāng)疲勞循環(huán)數(shù)達(dá)到Nd時(shí)，表示為：

此時(shí)的疲勞可靠度可表示為：

根據(jù)上面的模型分析可知，所涉及到的主要參量為：不確定材料參數(shù)A，m；初始裂紋尺寸a0和臨界裂紋尺寸ac；裂紋閉合水平k；材料固有缺陷尺寸re；材料的屈服強(qiáng)度 σY和最大應(yīng)力 σmax；裂紋的形狀參數(shù)Y；裂紋開口狀態(tài)的最大應(yīng)力強(qiáng)度因子Kopmax；有效應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍。其中等參數(shù)大多是通過試驗(yàn)擬合或數(shù)據(jù)分析得到的，并不存在真實(shí)的物理意義。因此，這些參數(shù)在進(jìn)行可靠性分析時(shí)暫不考慮其統(tǒng)計(jì)特性對可靠度指標(biāo)的影響，通過參考相關(guān)文獻(xiàn)取值作為常數(shù)處理，將值分別設(shè)置為0.65，3，3。模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征如表1所示。

表1 模型參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征Tab.1 Statistical characteristics of random variables

在極限狀態(tài)模型計(jì)算中，默認(rèn)不確定參數(shù)為正態(tài)分布。根據(jù)一次二階矩中的中心點(diǎn)法，通過Matlab進(jìn)行編程計(jì)算，可得到裂紋擴(kuò)展過程中的可靠度指標(biāo)以及失效概率。本文中基于改進(jìn)McEvily裂紋擴(kuò)展模型得到了載人潛水器鈦合金材料的可靠度指標(biāo) β =4.17，失效概率Pf=1.49×10-5。

1.2 Paris裂紋擴(kuò)展模型的疲勞可靠性

基于Paris疲勞裂紋擴(kuò)展模型的極限狀態(tài)方程及其參數(shù)不確定變量的表達(dá)式，則當(dāng)材料循環(huán)壽命次數(shù)達(dá)到Nd時(shí)，疲勞可靠度表達(dá)式為：

根據(jù)上面的極限狀態(tài)方程所涉及的不確定參數(shù)變量主要包括：不確定材料參數(shù)C，n；初始裂紋尺寸a0，臨界裂紋尺寸ac；疲勞循環(huán)次數(shù)Nd。通過擬合新型鈦合金裂紋擴(kuò)展速率試驗(yàn)和參考相關(guān)文獻(xiàn)確定了各不確定參數(shù)的均值和變異系數(shù)，統(tǒng)計(jì)特征值如表2所示。

表2 Paris模型參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征Tab.2 Statistical characteristics of Paris model parameters

基于Paris極限狀態(tài)計(jì)算模型下，不確定參數(shù)變量默認(rèn)為正態(tài)分布。采用一次二階矩的驗(yàn)算點(diǎn)法來進(jìn)行計(jì)算，得到其可靠度為4.08及失效概率為 2.24×10-5。

2 改進(jìn) McEvily 裂紋擴(kuò)展模型的參數(shù)靈敏度分析

將模型中各隨機(jī)變量變異系數(shù)取不同數(shù)值時(shí)對應(yīng)的可靠度指標(biāo)和失效概率分別列于圖1～圖9中。

由以上結(jié)果可知，材料參數(shù)A、最大應(yīng)力 σmax、屈服強(qiáng)度 σy、失效壽命Nd、材料固有缺陷re等變量隨著變異系數(shù)增加其失效概率逐漸增加，呈現(xiàn)出較強(qiáng)的線性關(guān)系。其中材料參數(shù)m在變異系數(shù)達(dá)到0.12時(shí)，其失效概率曲線速率變化較大。初始裂紋尺寸a0、臨界裂紋尺寸ac隨著變異系數(shù)增加到0.16時(shí)，其失效概率呈現(xiàn)大幅增長趨勢。

小裂紋擴(kuò)展過程中的主要影響參數(shù)即裂紋閉合水平k，其變異系數(shù)從0.16過渡到0.2時(shí)，失效速率有進(jìn)一步增長趨勢。其原因可能是，變異系數(shù)的改變導(dǎo)致了裂紋擴(kuò)展速率的增加，進(jìn)而影響了可靠度的變化。又考慮到，在低周疲勞中的結(jié)構(gòu)70%以上壽命用于小裂紋擴(kuò)展階段，因此提出一個(gè)包含小裂紋擴(kuò)展的疲勞可靠性分析模型十分必要。

圖1 隨機(jī)變量A的變異系數(shù)對可靠性的影響曲線Fig.1 The influence curve of variation coefficient of random variable A on reliability

圖2 隨機(jī)變量m的變異系數(shù)對可靠性的影響曲線Fig.2 The influence curve of variation coefficient of random variable m on reliability

圖3 隨機(jī)變量k的變異系數(shù)對可靠性的影響曲線Fig.3 The influence curve of variation coefficient of random variable k on reliability

圖4 隨機(jī)變量a0的變異系數(shù)對可靠性的影響曲線Fig.4 The influence curve of variation coefficient of random variable a0 on reliability

3 結(jié) 語

本文基于斷裂力學(xué)疲勞裂紋擴(kuò)展理論以及可靠性理論，分別建立了改進(jìn)McEvily疲勞裂紋擴(kuò)展公式和Paris疲勞裂紋擴(kuò)展公式的可靠性計(jì)算模型。對提出的計(jì)算模型采用了一次二階矩的驗(yàn)算點(diǎn)法作為可靠性的計(jì)算方法。對載人潛水器鈦合金材料疲勞裂紋擴(kuò)展的可靠度指標(biāo)及參數(shù)敏感性進(jìn)行了計(jì)算及分析，得到以下結(jié)論：

圖5 隨機(jī)變量 a c的變異系數(shù)對可靠性的影響曲線Fig.5 The influence curve of variation coefficient of random variable ac on reliability

圖6 隨機(jī)變量 σ max的變異系數(shù)對可靠性的影響曲線Fig.6 The influence curve of variation coefficient of random variable σ m ax on reliability

1）基于改進(jìn)McEvily裂紋擴(kuò)展可靠性計(jì)算模型，經(jīng)計(jì)算得到可靠度指標(biāo) β =4.17，失效概率Pf=1.49×10-5。基于Paris裂紋擴(kuò)展可靠性計(jì)算模型，可靠度指標(biāo) β =4.08，失效概率Pf=2.24×10-5。Paris模型只考慮了裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展過程中的可靠性，雖簡化模型降低了工作量，但其可靠性計(jì)算結(jié)果較為保守。

圖7 隨機(jī)變量 σ y的變異系數(shù)對可靠性的影響曲線Fig.7 The influence curve of variation coefficient of random variable σ y on reliability

圖8 隨機(jī)變量 r e的變異系數(shù)對可靠性的影響曲線Fig.8 The influence curve of variation coefficient of random variable re on reliability

2）基于改進(jìn)McEvily裂紋擴(kuò)展模型下的極限狀態(tài)方程，對模型中隨機(jī)變量的參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析。不確定材料參數(shù)m、初始裂紋尺寸a0和臨界裂紋尺寸ac的變異系數(shù)分別達(dá)到0.12和0.16時(shí)，材料的可靠度指標(biāo)出現(xiàn)了較大程度的下降，失效概率呈現(xiàn)出指數(shù)級的上升趨勢，存在較大概率的失效風(fēng)險(xiǎn)。其小裂紋擴(kuò)展階段中的主要影響參數(shù)，裂紋閉合水平k的變異系數(shù)對失效概率的總體影響較小但有進(jìn)一步增長趨勢，又考慮到小裂紋擴(kuò)展階段占據(jù)裂紋擴(kuò)展過程的主要疲勞壽命，應(yīng)在設(shè)計(jì)階段或可靠性模型建立時(shí)給予重視。

圖9 隨機(jī)變量 N d的變異系數(shù)對可靠性的影響曲線Fig.9 The influence curve of variation coefficient of random variable N d on reliability