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        求解隨機(jī)微分方程的一個(gè)新的數(shù)值格式*

        2021-03-08 10:12:46朱偉丹王自強(qiáng)
        貴州科學(xué) 2021年1期

        朱偉丹,王自強(qiáng)

        (貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴州 貴陽(yáng) 550025)

        大多數(shù)隨機(jī)微分方程的解析解不容易獲得,許多研究者通過(guò)構(gòu)造數(shù)值格式來(lái)獲得數(shù)值解,常見(jiàn)的數(shù)值解法有Euler法[1],Milstein法[2]等,這些數(shù)值解法都是基于Ito隨機(jī)Taylor展開(kāi)下在不同的地方截?cái)嗟玫降腫3-5],而本文將從一維隨機(jī)微分方程的積分方程形式出發(fā),結(jié)合Simpson公式和Milstein方法的離散思想,建立了一個(gè)求解一維隨機(jī)微分方程的新的數(shù)值格式,第一部分給出隨機(jī)微分方程的高階數(shù)值格式構(gòu)造的過(guò)程,第二部分給出數(shù)值運(yùn)算結(jié)果。

        1 隨機(jī)微分方程的數(shù)值格式構(gòu)造

        考慮如下一維隨機(jī)微分方程:

        dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dw(t),0≤t≤T

        (1)

        滿足如下的初值條件:

        X(t0)=X0

        (2)

        其中,f,g分別稱為漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù),w(t)為標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程,并且滿足以下三個(gè)性質(zhì)[3]:

        1)w(0)=0(概率為1);

        2)對(duì)于0≤s

        3)對(duì)于0≤s

        (1)式可寫(xiě)成如下等價(jià)積分形式:

        k=0,1,…,N-1

        (3)

        現(xiàn)對(duì)f(X(t))進(jìn)行構(gòu)造高階數(shù)值格式,將區(qū)間進(jìn)行離散化,將區(qū)間[0,T]劃分成N份等分小區(qū)間,令t0=0

        (4)

        利用線性插值法,在區(qū)間[t0,t1]上對(duì)f(X(t))作如下逼近:

        f(X(t))≈ψ0(t)f(X(t0))+ψ1(t)f(X(t1))

        (5)

        則在區(qū)間[t0,t1]上,將(4)式和(5)式代入(3)式得到:

        (6)

        其中ψi(t),i=0,1為線性插值基函數(shù),定義如下:

        (7)

        其中:

        (8)

        在區(qū)間[t1,t2]上,利用二次拉格朗日插值法,f(X(t))在[t1,t2]作如下逼近[7]:

        f(X(t))

        ≈φ0,1(t)f(X(t0))+φ1,1(t)f(X(t1))+

        φ2,1(t)f(X(t2))

        (9)

        其中:φi,1(t),i=0,1,2為t0,t1,t2三個(gè)點(diǎn)處的二次拉格朗日插值基函數(shù),定義如下:

        (10)

        將(9)式代入(3)式,令k=1,t=t2得到:

        X(t2)

        (11)

        其中:

        (12)

        現(xiàn)在進(jìn)行下一步的格式構(gòu)造,假設(shè)我們已經(jīng)構(gòu)造出了X(t1),l=0,1,…,k,利用同樣的方法繼續(xù)構(gòu)造X(tk+1)如下:

        X(tk+1)

        (13)

        其中:φi,k(t),i=0,1,2;k=1,2,…,N-1為點(diǎn)tk-1,tk,tk+1上的二次拉格朗日插值基函數(shù):

        (14)

        (15)

        其中R是對(duì)隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行Taylor展開(kāi)的余項(xiàng)。

        由文獻(xiàn)[4],記

        G1(X(tn))=g(X(tn)),

        G2(X(tn))=g(X(tn)+ΔtG1(X(tn))),

        則有如下式子:

        g(X(tn))g′(X(tn))

        (16)

        (17)

        (18)

        設(shè)Xk為X(tk),k=0,1,…,N的近似值,把(18)式代入(6)式,(11)式和(13)式,得到如下數(shù)值格式:

        (19)

        2 數(shù)值試驗(yàn)

        研究如下方程[3]:

        dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dw(t),0≤t≤T

        (20)

        令:

        g(X(t))=μX(t)

        此時(shí)該方程的精確解為:

        X(t)=X(0)exp(λt+μw(t))

        在用MATLAB進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)中,我們令λ=2,μ=1,N=27,為了清晰地比較,我們給出了精確解和Milstein法,精確解和修正的Milstein法兩個(gè)圖像進(jìn)行比較,得到的結(jié)果如下:

        圖1 Milstein法和精確解的比較

        圖2 改進(jìn)Milstein法和精確解的比較

        表1 平均誤差隨著時(shí)間步長(zhǎng)Δt的變化

        由表1可知,本文構(gòu)造的改進(jìn)的Milstein法要比經(jīng)典的Milstein法的逼近效果好。

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