耿煜,郭振,陳渭

(西安交通大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計(jì)及轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

鉸接副作為必要的連接部件在機(jī)械系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用,由于受到加工誤差、材料變形、磨損等因素的影響,鉸接副大多存在間隙,導(dǎo)致機(jī)構(gòu)連接處發(fā)生碰撞、振動(dòng),加快鉸接副的磨損,因此間隙鉸接副通常依靠潤(rùn)滑將不利影響降到最低。

滑動(dòng)軸承非線性油膜力模型是含潤(rùn)滑間隙鉸接副多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析與研究的基礎(chǔ)和關(guān)鍵,油膜力的計(jì)算精度和速度將直接影響非線性動(dòng)力學(xué)特性分析的效率。目前關(guān)于油膜力模型的研究已取得很大進(jìn)展,涌現(xiàn)出了多種求解非線性油膜力的理論與方法,其中應(yīng)用較為普遍的為有限差分法(FDM)[1-4]和有限元法(FEM)[5-8]。雖然數(shù)值方法精度高,但是計(jì)算效率很低,因此運(yùn)用近似解析法求解油膜力的研究日漸增多,目前滑動(dòng)軸承非線性油膜力近似解表達(dá)式主要有無(wú)限短軸承假設(shè)下的Capone模型[9]和Sommerfeld提出的無(wú)限長(zhǎng)軸承油膜力模型[10],但是考慮到油膜的溫升和端泄,滑動(dòng)軸承的寬徑比通常在0.8～1.0之間[11],現(xiàn)實(shí)中較少存在無(wú)限短或無(wú)限長(zhǎng)軸承,實(shí)際應(yīng)用受到限制,近年來(lái),很多學(xué)者針對(duì)有限長(zhǎng)軸承做了相當(dāng)多的工作。Chasalevris等基于油膜假設(shè),利用變分原理求出有限長(zhǎng)軸承非線性油膜力的近似解析解,但是并沒(méi)有考慮空穴效應(yīng)[12-14]。在流體潤(rùn)滑問(wèn)題中,由于發(fā)散間隙的存在會(huì)導(dǎo)致油膜出現(xiàn)負(fù)壓,當(dāng)油膜達(dá)到最大可承受負(fù)壓時(shí)會(huì)發(fā)生破裂現(xiàn)象,進(jìn)而產(chǎn)生空穴,所以不考慮空穴效應(yīng)所獲得的油膜力是不可靠的[14]。張永芳等基于下游雷諾邊界條件,運(yùn)用變分原理和分離變量法提出了一種針對(duì)有限長(zhǎng)軸承的近似解析解方法,計(jì)算精度較高,但是計(jì)算速度相比傳統(tǒng)有限差分法并沒(méi)有得到很大的提升[11,15]。除此之外,還有諸如數(shù)據(jù)庫(kù)法和精確解析法等油膜力計(jì)算模型,但是由于通用性不強(qiáng)、計(jì)算效率較低等問(wèn)題,并不適合于一般性徑向滑動(dòng)軸承油膜力的求解。因此,建立考慮空穴效應(yīng)、通用性較高、計(jì)算速度較快的滑動(dòng)軸承非線性油膜力模型對(duì)于提高含潤(rùn)滑間隙鉸接副多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析效率和滿足實(shí)際工程應(yīng)用至關(guān)重要。

廣義特征分解法(PGD)主要是通過(guò)將求解域轉(zhuǎn)變?yōu)閺埩糠e函數(shù)之和來(lái)減少待求未知量個(gè)數(shù),從而有效提高計(jì)算效率。將待求函數(shù)u分解為N維Q個(gè)張量積之和的形式,表達(dá)式如下

(1)

使用M個(gè)自由度對(duì)每個(gè)張量進(jìn)行離散,待求未知量有NQM個(gè),而如果使用傳統(tǒng)的FEM法或FDM法,待求未知量則為MN個(gè)。Amine等第一次使用PGD法對(duì)偏微分方程進(jìn)行求解[16];Dumon等將PGD法成功應(yīng)用到流體力學(xué)領(lǐng)域,并證明了PGD法的高效性[17];Tamellini等使用PGD法對(duì)穩(wěn)態(tài)不可壓縮Navier-Stokes方程進(jìn)行求解[18-19];Cherabi等使用PGD法求解穩(wěn)態(tài)工況下的雷諾方程[20],但是并沒(méi)有考慮空穴對(duì)油膜力分布的影響,實(shí)際應(yīng)用具有一定的局限性。

本文針對(duì)含潤(rùn)滑間隙鉸接副中油膜力的計(jì)算問(wèn)題,在文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上,建立了動(dòng)載滑動(dòng)軸承非線性油膜力的PGD計(jì)算模型,并引入雷諾邊界條件,充分考慮空穴效應(yīng)對(duì)油膜力分布的影響。利用Matlab數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了模型的高效性和穩(wěn)定性,明晰了PGD法的適用范圍。將模型引入到含潤(rùn)滑間隙鉸接副多體系統(tǒng)的計(jì)算中去,解決了模型的收斂問(wèn)題,證明了模型的可靠性和工程應(yīng)用價(jià)值。

1 計(jì)算模型的建立

1.1 動(dòng)載雷諾方程

動(dòng)載雷諾方程如下式

(2)

可以將雷諾方程轉(zhuǎn)換為以下的形式

(3)

即

(4)

將式(5)代入式(4),得

?x=R?θ;U=Rω

(5)

可得到式(4)圓柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式

(6)

油膜厚度表達(dá)式如下

h=c(1+εcosθ)

(7)

式中:θ為周向坐標(biāo);z為軸向坐標(biāo);h為油膜厚度;R為軸承半徑;μ為潤(rùn)滑油黏度;ω為旋轉(zhuǎn)角速度;c為半徑間隙;ε為偏心率。

1.2 PGD求解雷諾方程

將雷諾方程式(6)轉(zhuǎn)換為等效積分的弱形式,若對(duì)于任意的權(quán)函數(shù)p′下式成立

(8)

則式(6)成立。

將油膜力函數(shù)p進(jìn)行分解,獲得其近似解

(9)

式中:i為當(dāng)前維數(shù);Xi和Yi為第i維度下周向和軸向方向向量。一般情況下,維數(shù)越多,近似解越逼近精確解。

采用變方向迭代策略,式(9)轉(zhuǎn)換為

(10)

為了方便計(jì)算,將權(quán)函數(shù)p′設(shè)為

(11)

將式(10)(11)代入式(8),得

(12)

將式(12)進(jìn)行整理,得

(13)

其中

將式(13)進(jìn)一步化簡(jiǎn),得

(14)

式(10)、式(11)轉(zhuǎn)換為

(15)

(16)

將式(15)(16)代入式(8),得

(17)

同理,將式(17)進(jìn)行整理,得

(18)

其中

將式(18)進(jìn)一步化簡(jiǎn),得

(19)

1.3 油膜承載力的求解

采用中差分五點(diǎn)差分形式對(duì)式(14)(19)進(jìn)行求解,將求解得到的Xi(θ)、Yi(z)代入式(9),算出油膜力分布函數(shù)p。

軸承承載力計(jì)算公式如下

(20)

其中

Fx=?pRsinθdθdz;Fy=?pRcosθdθdz

1.4 邊界條件

軸承的端泄邊、周期邊界和雷諾邊界的邊界條件分別如下

(21)

雷諾邊界條件假定在油膜完整區(qū)和油膜破裂區(qū)的交界線上壓力的法向梯度為0,且壓力等于空穴壓力pc,本文空穴壓力設(shè)為0。

(22)

1.5 收斂條件

ξ1和ξ2的計(jì)算表達(dá)式如下

(23)

(24)

1.6 計(jì)算程序

計(jì)算程序的基本流程如下:

步驟1 輸入3個(gè)軸承參數(shù),潤(rùn)滑油黏度、最大允許誤差λ1、最大允許維度數(shù)N=1;

步驟2 劃分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn),計(jì)算油膜厚度分布;

步驟8 由式(9)計(jì)算當(dāng)前油膜力分布,若

步驟9 由式(21)計(jì)算誤差ξ1,如果ξ1<λ1,則轉(zhuǎn)到步驟10,否則q=q+1,重復(fù)步驟4～9。

步驟10 由式(20)計(jì)算軸承承載力,輸出油膜壓力分布。

2 計(jì)算模型的驗(yàn)證

2.1 計(jì)算精度的驗(yàn)證

Kumar和Booker[4]基于JFO邊界條件,采用有限元法對(duì)有限長(zhǎng)軸承進(jìn)行了油膜力求解,已有研究[21]表明,在偏心率小于0.02的情況下,雷諾邊界條件和JFO邊界條件所得到油膜力誤差在5%以內(nèi);當(dāng)偏心率高于0.02時(shí),兩種邊界條件所得結(jié)果幾乎一致。因此本文使用文獻(xiàn)[4]的計(jì)算參數(shù)和結(jié)果,來(lái)驗(yàn)證基于雷諾邊界條件的PGD法的準(zhǔn)確性,具體的軸承參數(shù)意義及數(shù)值見(jiàn)表1。

表1 文獻(xiàn)[4]中的軸承參數(shù)

將有限差分法、有限元法和PGD法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如表2所示,文中不作特殊說(shuō)明FDM和PGD法均采用中差分五點(diǎn)差分格式進(jìn)行數(shù)值求解。采用PGD法得到的油膜承載力和最高壓力的結(jié)果誤差均在10%以內(nèi)。值得注意的是,隨著網(wǎng)格密度的加密,PGD法的計(jì)算精度將得到提高,但是相比FDM法計(jì)算時(shí)間得到了大幅縮減,這將在2.2節(jié)進(jìn)行驗(yàn)證。另外,將使用PGD、FDM、FEM法得出的油膜壓力分布圖進(jìn)行比較,如圖1所示,可以看到圖像曲線具有較好的一致性,再一次驗(yàn)證了基于雷諾邊界條件的PGD法的準(zhǔn)確性。

表2 PGD、FDM、FEM法與文獻(xiàn)[4]方法的結(jié)果對(duì)比

圖1 軸向中心處油膜壓力分布圖

2.2 計(jì)算效率的驗(yàn)證

相比FDM法,FEM法計(jì)算精度更高,處理復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)時(shí)適應(yīng)性強(qiáng),但是FDM法使用簡(jiǎn)單,在處理一般性滑動(dòng)軸承方面應(yīng)用更為廣泛,計(jì)算效率相比FEM法有本質(zhì)上的提高,且其計(jì)算精度已經(jīng)能夠滿足一般性工程需要,因此在這里將采用新模型的FGD法與FDM法進(jìn)行比較,驗(yàn)證FGD法的高效性。

設(shè)置相同的最大允許誤差λ1和SOR迭代因子分別為10-5和1.41,比較PGD和FDM法在不同網(wǎng)格密度下耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間。由于PGD法受到初始隨機(jī)賦值的影響,為了嚴(yán)謹(jǐn),每種網(wǎng)格密度下的PGD計(jì)算時(shí)間和承載力取3次平均值。如表3所示,在低網(wǎng)格密度下,PGD與FDM法的相對(duì)誤差較低,且隨著網(wǎng)格密度的增加,誤差控制在1%以內(nèi),計(jì)算效率最大可以提高3.59倍。在網(wǎng)格密度達(dá)到300×300以上時(shí),兩種方法的計(jì)算誤差開(kāi)始突然增大,通過(guò)承載力可以看出,FDM法算出的承載力發(fā)生明顯突變,而PGD法算出的承載力變化較小,這說(shuō)明在相同的λ1條件下,PGD法具有更好的計(jì)算穩(wěn)定性,隨著網(wǎng)格密度的提高,依舊保持了較高的計(jì)算精度,而FDM法由于網(wǎng)格密度過(guò)高,原有λ1已經(jīng)無(wú)法滿足其計(jì)算精度的要求,導(dǎo)致結(jié)果過(guò)早收斂進(jìn)而使得計(jì)算結(jié)果發(fā)生突變。

為了驗(yàn)證上述結(jié)論,在600×600的固定網(wǎng)格密度情況下,采用不同的λ1進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。在降低最大允許誤差后,PGD與FDM法的相對(duì)誤差始終控制在1%以內(nèi),最大加速比達(dá)到了4.42,表明PGD法具有相當(dāng)高的計(jì)算精度和效率。結(jié)合表2和表3可以看出,與FDM法相比,PGD法不僅保持了較高的計(jì)算精度,而且具有更好的計(jì)算穩(wěn)定性與更快的計(jì)算速度,在高網(wǎng)格密度和低允許誤差條件下,計(jì)算優(yōu)勢(shì)將會(huì)更加明顯。

表3 不同網(wǎng)格密度下PGD和FDM法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表4 不同允許誤差下PGD與FDM法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比

3 PGD法在含潤(rùn)滑間隙鉸接副多體系統(tǒng)中的應(yīng)用

為了提高含潤(rùn)滑間隙鉸接副多體系統(tǒng)的計(jì)算效率,符合工業(yè)應(yīng)用所需要的實(shí)用性特點(diǎn),引入模型對(duì)含潤(rùn)滑鉸接副非線性油膜力進(jìn)行計(jì)算。本文以曲柄滑塊為例,曲柄滑塊機(jī)構(gòu)見(jiàn)圖2,相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表5。

圖2 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)示意圖

表5 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)參數(shù)

采用歐拉-拉格朗日法對(duì)多體系統(tǒng)進(jìn)行建模,引入Flores過(guò)渡模型來(lái)解決潤(rùn)滑間隙鉸接副的工作狀態(tài)過(guò)渡問(wèn)題,具體參數(shù)詳見(jiàn)表6,其中E與μ表示材料的彈性模量與泊松比。接觸力模型與摩擦力模型需要設(shè)定恢復(fù)系數(shù)與摩擦系數(shù),本文分別取為0.9和0.2。Flores模型過(guò)渡臨界值設(shè)為2 μm,潤(rùn)滑油黏度為0.08 Pa·s。具體的公式與計(jì)算步驟在此不作贅述,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

表6 間隙鉸接副參數(shù)

在多體系統(tǒng)計(jì)算中采用FDM法求解雷諾方程時(shí),往往使用上一時(shí)刻計(jì)算得出的壓力分布解作為下一時(shí)刻的初始值進(jìn)行計(jì)算加速,使用PGD法時(shí)同樣使用上一次計(jì)算出的周向和軸向向量Xi、Yi來(lái)作為初始值進(jìn)行計(jì)算加速,但是Xi、Yi不僅參與迭代,還會(huì)影響到迭代系數(shù)Aθ～Fθ,Az～Hz的計(jì)算,因此連續(xù)使用上一次計(jì)算解作初始解會(huì)產(chǎn)生累計(jì)誤差,導(dǎo)致算法難以收斂,因此需要在一定數(shù)量的時(shí)間步長(zhǎng)后,對(duì)初始向量進(jìn)行新一輪的隨機(jī)賦值,以消除累計(jì)誤差對(duì)計(jì)算所帶來(lái)的影響。

曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)3周,設(shè)置相同的λ1為10-5,SOR迭代因子為1.41,驗(yàn)證PGD法在含潤(rùn)滑間隙鉸接副多體系統(tǒng)計(jì)算中的可靠性與實(shí)用性。圖3為PGD與FDM法在30×30網(wǎng)格密度下的軸心軌跡、最小油膜厚度、滑塊速度隨時(shí)間變化的對(duì)比。從圖3可以看出,PGD與FEM法的計(jì)算結(jié)果相差不大,滑塊速度曲線近乎重合,可見(jiàn)PGD法具有較高的計(jì)算精度。

(a)軸心軌跡圖

(b)最小油膜厚度隨時(shí)間變化

(c)滑塊速度隨時(shí)間變化圖3 30×30網(wǎng)格下PGD與FDM法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表7為兩種方法在不同網(wǎng)格密度下運(yùn)轉(zhuǎn)3個(gè)周期的計(jì)算時(shí)間對(duì)比,可以看出PGD法對(duì)于計(jì)算的加速效果是非常明顯的,在30×30和40×40的網(wǎng)格密度下,PGD法平均一個(gè)周期的計(jì)算時(shí)間分別縮短了6 min和20 min,在實(shí)際計(jì)算中,為了觀察間隙鉸接副的潤(rùn)滑效果,至少需要進(jìn)行5個(gè)周期的運(yùn)算,隨著機(jī)構(gòu)復(fù)雜性的提高,達(dá)到穩(wěn)定潤(rùn)滑狀態(tài)所需要的周期數(shù)會(huì)進(jìn)一步增加,因此采用新模型所節(jié)省的時(shí)間將是巨大的。

表7 在含潤(rùn)滑間隙鉸接副多體系統(tǒng)中的計(jì)算時(shí)間對(duì)比

4 結(jié) 論

本文基于廣義特征分解法建立了動(dòng)載有限長(zhǎng)滑動(dòng)軸承非線性油膜力模型,引入雷諾邊界條件充分考慮空穴對(duì)油膜壓力分布的影響,與現(xiàn)有文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,證明了新模型的準(zhǔn)確性與高效性,并研究了采用新模型方法的計(jì)算精度與計(jì)算效率隨網(wǎng)格密度的變化趨勢(shì)。以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例,采用新模型的方法對(duì)含潤(rùn)滑間隙鉸接副進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,證明了新模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值?？梢缘贸鲆韵陆Y(jié)論:

(1)PGD法計(jì)算編程較為復(fù)雜,相較傳統(tǒng)計(jì)算方法更難理解,但是在較低網(wǎng)格密度下,PGD法與FDM法的承載力計(jì)算相對(duì)誤差最高不超過(guò)7%,在較高網(wǎng)格密度下,相對(duì)誤差控制在1%以內(nèi),具有較高的計(jì)算精度且穩(wěn)定性相比FDM法更高。

(2)PGD法計(jì)算效率較高,在不損失精度的前提下,在不同網(wǎng)格密度下優(yōu)勢(shì)明顯,計(jì)算速度相比FEM法提高2～5倍。

(3)使用PGD法對(duì)潤(rùn)滑間隙鉸接副動(dòng)力學(xué)分析,在30×30和40×40網(wǎng)格密度下,單個(gè)運(yùn)算周期節(jié)省時(shí)間分別高達(dá)6 min和20 min,隨著網(wǎng)格密度和機(jī)械系統(tǒng)復(fù)雜性的提高,新模型的計(jì)算優(yōu)勢(shì)將會(huì)更加顯著,證明了模型的可靠性與實(shí)用價(jià)值。

本文只是將PGD法應(yīng)用于普通雷諾方程的求解,考慮表面粗糙度及溫度的影響,例如將PGD法引入平均流模型和熱彈流計(jì)算中是PGD法未來(lái)的發(fā)展方向。本文考慮空穴效應(yīng)的PGD法只是針對(duì)普通滑動(dòng)軸承而言,而對(duì)于織構(gòu)化軸承而言,由于存在大量的收斂、發(fā)散間隙,油膜會(huì)反復(fù)破裂并再形成,這對(duì)算法的收斂問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生巨大挑戰(zhàn),這是PGD法目前所面臨的難題。