劉 楠，葉望博，李 明，呂 甜，張雪霞

(1.中車唐山機(jī)車車輛有限公司，河北唐山063000；2.西南交通大學(xué)唐山研究生院，河北唐山063000)

鋰電池荷電狀態(tài)(SOC)的估算對(duì)于電池管理系統(tǒng)而言，是至關(guān)重要的一環(huán)。電池的SOC 代表鋰電池當(dāng)前剩余容量。在有軌電車運(yùn)行過程中，鋰電池作為一種電動(dòng)機(jī)供能裝置，具有很高的能量密度，并且鋰電池的當(dāng)前狀態(tài)與有軌電車的運(yùn)行方式密切相關(guān)。因此，對(duì)鋰電池的SOC 進(jìn)行估算，能較好地反映鋰電池當(dāng)前剩余容量，從而預(yù)測(cè)有軌電車的運(yùn)行狀態(tài)。

當(dāng)前對(duì)鋰電池SOC 估算的方法主要包括安時(shí)積分法，開路電壓法，卡爾曼濾波法(KF)以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，深度學(xué)習(xí)等等[1-4]。其中安時(shí)積分法較為依靠SOC 初值的準(zhǔn)確性，以及電流測(cè)量的精度，容易產(chǎn)生累計(jì)誤差。而開路電壓法，其開路電壓的獲取方法需靜置電池較長(zhǎng)時(shí)間，無法實(shí)時(shí)獲取。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法則要求龐大的關(guān)于鋰電池SOC 的數(shù)據(jù)，包含各種狀況下SOC 的變化狀況，因此不太實(shí)用。針對(duì)鋰電池這種非線性系統(tǒng)而言，無跡卡爾曼濾波方法[5]常被用于鋰電池SOC 的估算，其計(jì)算速度以及精度均能達(dá)到較好的效果。

本文以2.7 V/20 Ah 的鈦酸鋰電池作為研究對(duì)象，通過實(shí)驗(yàn)及仿真驗(yàn)證，并分析其工作特性，最終建立了一階Thenevin等效模型。此模型的計(jì)算量較少，且精度較高，能夠很好地反映鋰電池的工作特性。利用MATLAB 對(duì)等效模型的各個(gè)元件參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。最后，針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)UT 變換中設(shè)定參數(shù)較多且難以確定，以及因噪聲統(tǒng)計(jì)特性未知而造成估算精度下降的兩個(gè)問題，本文提出了在傳統(tǒng)平方根無跡卡爾曼濾波方法下做球形變換，加入噪聲自適應(yīng)因子[6-8]的估算方法，對(duì)鋰電池SOC 進(jìn)行估算，提升了其估算的準(zhǔn)確性和魯棒性，使估算的誤差不超過1%。

1 鋰電池等效模型及參數(shù)辨識(shí)

1.1 等效模型

為模擬電池充放電特性，需對(duì)鋰電池進(jìn)行等效電路建模。通過不斷地測(cè)試仿真，考慮到SOC 估算的準(zhǔn)確性及計(jì)算量，本文采用一階Thenevin 電路模型[9]作為鈦酸鋰電池的等效模型。此模型由三個(gè)部分組成：(1)電壓源Uoc；(2)歐姆內(nèi)阻R0；(3)極化內(nèi)阻Rp和極化電容Cp組成的并聯(lián)部分，見圖1。

圖1 一階Thenevin模型

圖1 中，極化部分可模擬鋰電池的極化效應(yīng)，而在充放電時(shí)，電壓驟變過程的瞬態(tài)反應(yīng)可由R0表示。通過基爾霍夫定律，得該模型電路方程式：

式中：UL為電池端電壓；I 為總電流，以電池放電方向?yàn)檎?；Up為極化模塊兩端電壓。

利用安時(shí)積分法，可得鋰電池SOC 計(jì)算式：

式中：η 為庫侖效率；Qa為鋰電池標(biāo)稱容量。

1.2 參數(shù)辨識(shí)

鋰電池等效模型的參數(shù)辨識(shí)主要包括4 個(gè)部分：開路電壓Uoc，歐姆內(nèi)阻R0，極化內(nèi)阻Rp以及極化電容Cp。辨識(shí)的步驟為，將鋰電池SOC 從100%到0%分成20 等份，每隔5%，均對(duì)鋰電池進(jìn)行一次HPPC 循環(huán)脈沖實(shí)驗(yàn)[10]，從而獲得鋰電池電壓變化曲線，如圖2。通過式(3)～(7)可辨識(shí)出不同SOC 值下的參數(shù)值。

圖2 HPPC實(shí)驗(yàn)曲線圖

鋰電池在靜置一段時(shí)間后，電壓值會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)電壓即電池的開路電壓值。因此，根據(jù)不同SOC 狀態(tài)下所得到開路電壓值，利用多項(xiàng)式擬合，可得OCV-SOC 之間的關(guān)系見式(3)：

極化模塊的辨識(shí)方法，則可根據(jù)電池在靜置時(shí)間段內(nèi)，所發(fā)生零狀態(tài)響應(yīng)得出：

通過MATLAB 中cftool 工具箱，利用最小二乘法，輸入每個(gè)SOC 點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的Ut，Uoc，It，R0值，可得到對(duì)應(yīng)的極化內(nèi)阻Rp以及時(shí)間常數(shù)τ 的值。最后，與開路電壓擬合方法一樣，利用多項(xiàng)式擬合，將R0，Rp，Cp均擬合成關(guān)于SOC 的7 次多項(xiàng)式，見式(6)～(7)：

式中：內(nèi)阻均為mΩ級(jí)，極化電容為kF 級(jí)。

1.3 模型驗(yàn)證

利用等效電路模型以及參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果，在MATLAB/Simulink 軟件中搭建一階仿真電路。選取脈沖充放電測(cè)試實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型的可行性。

以脈沖充放電實(shí)驗(yàn)為例，以3 C 倍率對(duì)電池放電10 s，靜置40 s，然后以3 C 倍率充電10 s，靜置40 s，再以1 C 倍率放電3 min，直至放電到截止電壓，其仿真電壓曲線與實(shí)驗(yàn)電壓曲線進(jìn)行對(duì)比，見圖3(a)。從圖中可看出仿真端電壓與實(shí)際端電壓的區(qū)別很小，可以反映出電池在工作時(shí)電壓的變化情況。由圖3(b)誤差曲線可知，前中期模型仿真效果最好。隨著容量逐漸減少，即在后期時(shí)，其模型仿真值與實(shí)際值的差別較大，但最大誤差仍未超過0.15 V，誤差較小。因此表明，一階RC 模型滿足要求，為SOC 的估算提供了基礎(chǔ)。

圖3 脈沖充放電下電壓對(duì)比圖

2 鋰電池SOC 的估計(jì)算法

2.1 平方根無跡卡爾曼濾波算法(SRUKF)

SRUKF 是在傳統(tǒng)UKF 的基礎(chǔ)上，運(yùn)用協(xié)方差矩陣的平方根取締原有的協(xié)方差矩陣參與到迭代的過程，通過QR 分解以及Cholesky 一階更新獲取協(xié)方差平方根，保證協(xié)方差矩陣的半正定性，并且此舉能夠提高其算法的精度。

SRUKF 的具體步驟如下：

(1)對(duì)狀態(tài)變量的均值xˉ0和協(xié)方差矩陣平方根S0進(jìn)行初始化操作：

(2)對(duì)k-1 時(shí)刻的狀態(tài)變量進(jìn)行sigma 化：

Sigma 化即將一個(gè)n 維的狀態(tài)變量，利用對(duì)稱采樣取點(diǎn)的方法，得到2n+1 個(gè)與初始狀態(tài)變量相同的統(tǒng)計(jì)特性。并且每個(gè)Sigma 點(diǎn)具有不同的權(quán)重系數(shù)，其權(quán)重值計(jì)算方法如下：

式中:λ 為縮放尺度因子，λ=α2(n+k)-n；n 為維數(shù)；α 為sigma 點(diǎn)以均值xˉ0為中心所分布的范圍大小，一般取范圍在10-6～1 之間的值；β 能夠減小高次項(xiàng)所造成的影響，一般取β=2；k 即輔助尺度參數(shù)，一般k+n≠0。適度改變?chǔ)?以及k 的值可以提高估算的準(zhǔn)確性。

(3)時(shí)間更新

利用xk-1與uk的值，利用狀態(tài)方程式對(duì)xk進(jìn)行預(yù)測(cè)，首先對(duì)sigma 點(diǎn)進(jìn)行更新，得：

依照sigma 點(diǎn)的預(yù)測(cè)對(duì)狀態(tài)變量的誤差協(xié)方差矩陣采取QR 分解，并利用Cholesky 分解保證誤差協(xié)方差矩陣的半正定性，從而消除由α 或k 的取值差異所導(dǎo)致權(quán)值系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值的情況。Sx,k表征狀態(tài)變量協(xié)方差矩陣的平方根，其k 時(shí)刻具體更新方程如式(13)：

(4)量測(cè)更新

(5)狀態(tài)更新

卡爾曼增益的精確性會(huì)直接影響SOC 的估算準(zhǔn)確度，而影響卡爾曼增益的因素主要是狀態(tài)變量和觀測(cè)量的互協(xié)方差，其計(jì)算方法為：

式中：Kk為卡爾曼增益；yk為k 時(shí)刻下所測(cè)得的端電壓值；Sk即誤差協(xié)方差的平方根。

2.2 球形UT 變換

在上述SRUKF 算法中，其UT 變換的權(quán)值計(jì)算包含過多需要設(shè)定的參數(shù)，例如α，β，k等。并且其參數(shù)的設(shè)定對(duì)最后估算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大的影響，所以，在調(diào)整參數(shù)的環(huán)節(jié)，需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行不斷的嘗試后，才有可能獲得更好的結(jié)果。而這個(gè)調(diào)節(jié)的步驟一般較為復(fù)雜，為避免調(diào)整參數(shù)過程的繁復(fù)性，故選擇球型UT 變換方法。球型UT 變換可將sigma 點(diǎn)從2n+1個(gè)點(diǎn)降至為n+2個(gè)點(diǎn)，從而減小了計(jì)算量。具體步驟如下：

(1)確定權(quán)值系數(shù)：

式中：ωi既表示狀態(tài)變量均值的權(quán)值系數(shù)，也表示協(xié)方差矩陣的權(quán)值系數(shù)，且ω0通常取0。

(2)sigma 化：

若j=2,3,4,…,n 時(shí)，對(duì)ξ(1)

i 則可知：

利用球形UT 變換則可替代傳統(tǒng)SRUKF 中sigma 點(diǎn)的選取方式，簡(jiǎn)化計(jì)算量。

2.3 噪聲自適應(yīng)

在實(shí)際的工作狀態(tài)中，無論在計(jì)算過程或是測(cè)量過程都會(huì)帶來難以估計(jì)的噪聲，并且這些噪聲的實(shí)際分布極難獲取。因此，在一般的操作過程都會(huì)將噪聲的協(xié)方差矩陣設(shè)置為一定值，方便計(jì)算。但是，若取得的協(xié)方差矩陣不準(zhǔn)確，則會(huì)導(dǎo)致精度問題，嚴(yán)重時(shí)會(huì)使迭代發(fā)散。對(duì)此，本文引入自適應(yīng)因子，對(duì)噪聲的協(xié)方差自行進(jìn)行匹配，并不斷更新協(xié)方差的值。

計(jì)算自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子矩陣Dk如下：

其中：

式中:ek為觀測(cè)誤差，即ek= yk- y?k|k-1。

在引入自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子后，則式(17)可改寫為：

3 仿真分析

驗(yàn)證平方根球型無跡卡爾曼濾波方法對(duì)鋰電池SOC 估計(jì)的準(zhǔn)確性。本文以2.7 V/20 Ah 規(guī)格的鈦酸鋰電池作為研究對(duì)象，其截至電壓在1.8 V。在標(biāo)準(zhǔn)條件下分別進(jìn)行不同的工況測(cè)試，主要包括恒流充放，HPPC 充放電測(cè)試。并通過EKF，傳統(tǒng)SRUKF 與ASRUKF 進(jìn)行仿真結(jié)果對(duì)比。

首先，為檢驗(yàn)算法的魯棒性，分別設(shè)置SOC 初始值為1，0.8 和0.1 三種情況下的算法收斂程度，如圖4 所示。在放電初期，由于初始噪聲的設(shè)定可能與實(shí)際噪聲差別太大，導(dǎo)致算法的震蕩較為嚴(yán)重，但很快趨于穩(wěn)定，并收斂到可接受的誤差范圍內(nèi)。在放電平臺(tái)區(qū)，算法對(duì)SOC 的估算基本與實(shí)際理論值重合，并一直到放電終止。

圖4 SOC初值在不同狀態(tài)下估算結(jié)果圖

由圖4 可見，當(dāng)設(shè)定的SOC 初始值與真實(shí)值較為接近時(shí)，收斂的時(shí)間較短，其最大估計(jì)誤差不超過2%，而放電平臺(tái)區(qū)至放電結(jié)束，其誤差在0.7%左右。這是由于電流較為穩(wěn)定，對(duì)算法干擾較少，因此算法具有很好的效果。且即使SOC 初始值設(shè)置偏離實(shí)際值，但算法依然能夠很快地收斂到真實(shí)值附近，并保持穩(wěn)定的跟隨。這說明，該算法具有很好的濾波作用，且具有較強(qiáng)的魯棒性，對(duì)鋰電池SOC 估算效果很好。

圖5(a)為3 C 恒流放電下，SOC 理論值與EKF，SRUKF，以及ASRUKF 的估計(jì)值對(duì)比。圖5(b)則為誤差曲線圖。由圖5 可知，EKF 的效果最差，誤差在5%左右，SRUKF 的效果在后期也逐漸變差，誤差在不斷增大，最大誤差為2.5%。而ASRUKF 方法的估計(jì)值最接近理論值，其誤差基本維持在1%左右。因此，ASRUKF 的精度較之其余兩種方法更佳。

圖5 恒流放電下SOC估計(jì)結(jié)果對(duì)比

根據(jù)圖6 HPPC 測(cè)試條件下SOC 估算結(jié)果及誤差對(duì)比，其具體操作流程可見前文參數(shù)辨識(shí)。由圖可見傳統(tǒng)SRUKF

圖6 HPPC 測(cè)試下SOC估計(jì)結(jié)果對(duì)比

在后期誤差明顯增大，且波動(dòng)較為明顯，而EKF 雖在后期誤差也不斷增大，但其波動(dòng)幅度比SRUKF 算法小。經(jīng)過自適應(yīng)處理后的ASRUKF 算法，基本在測(cè)試1 000 s 之內(nèi)，算法趨于穩(wěn)定狀態(tài)，誤差始終保持在1%之內(nèi)，算法穩(wěn)定性很高。

4 結(jié)論

通過實(shí)驗(yàn)仿真說明，一階Thenevin 模型能夠滿足本文所用鈦酸鋰電池的等效模型要求。并且，自適應(yīng)平方根球型卡爾曼濾波方法相較于傳統(tǒng)的SRUKF 方法而言，添加了自適應(yīng)因子后，提高了SOC 的估算精度以及魯棒性，即使在極為復(fù)雜的工況下，仍能使其最大誤差不超過1%，且收斂速度較快，無論SOC 初始值偏離多少，能夠很快收斂到真實(shí)值周圍，濾波效果不錯(cuò)。