■江蘇省江陰市晨光實(shí)驗(yàn)小學(xué) 蔣新婭

一、解讀剖析，尋根究因

乘法分配律到底難在哪里？學(xué)生出錯(cuò)的原因是什么？數(shù)學(xué)教師以前在教學(xué)中存在什么共同問題？筆者反復(fù)研讀教材，查閱了相關(guān)資料，也對(duì)學(xué)生進(jìn)行了訪談?wù){(diào)查，與備課組的教師商討分析，有了以下一些思考。

（一）結(jié)構(gòu)復(fù)雜

學(xué)生以前學(xué)過的運(yùn)算律都只涉及一種運(yùn)算，等號(hào)兩邊都只有一種運(yùn)算，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，等號(hào)兩邊數(shù)的個(gè)數(shù)都不變。而乘法分配律等號(hào)兩邊數(shù)的個(gè)數(shù)、運(yùn)算符號(hào)及運(yùn)算順序也不完全一樣。如此復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)生理解、記憶和運(yùn)用的難度增加了。

（二）表述抽象

乘法交換律和乘法結(jié)合律直觀形象，學(xué)生比較容易用語言歸納表達(dá)。而教材中乘法分配律是這樣表述的：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積相加，這叫作乘法分配律。這樣的定義對(duì)學(xué)生來說太長、太過抽象，閱讀、理解記憶起來很有負(fù)擔(dān)。

（三）負(fù)面遷移

前面學(xué)過的其他運(yùn)算律對(duì)于乘法分配律的學(xué)習(xí)，雖然研究方法有一定的正遷移，但也會(huì)造成一定的負(fù)遷移。學(xué)生特別會(huì)將乘法分配律與乘法結(jié)合律混淆，在運(yùn)用它們時(shí)經(jīng)常會(huì)張冠李戴。

（四）變式多樣

應(yīng)用乘法交換律和乘法結(jié)合律簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，等式的兩邊只是交換乘數(shù)的位置或者改變運(yùn)算順序，模式比較固定。而應(yīng)用乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算的題型多樣，有分配形式的順向應(yīng)用，也有合成形式的逆向應(yīng)用，還有其他形式的變式應(yīng)用。學(xué)生既要關(guān)注算式中的數(shù)據(jù)特征，還要思考怎樣運(yùn)用乘法分配律靈活地拆分、合并數(shù)據(jù)等，使計(jì)算簡(jiǎn)便且結(jié)果不變，這對(duì)學(xué)生來說難度相當(dāng)大。

二、實(shí)踐嘗試，探求良策

（一）聯(lián)系生活情境，抽象等式

數(shù)學(xué)教師要設(shè)法挖掘生活素材，使學(xué)生在具體生動(dòng)的情境中形象地理解所學(xué)知識(shí)，感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程。教學(xué)中筆者創(chuàng)設(shè)了這樣兩個(gè)情境：

①農(nóng)莊里有櫻桃樹7行，每行12棵；有杏樹3行，每行12棵。果園里的櫻桃樹和杏樹一共多少棵？

②一張桌子56元，一把椅子24元，15套這樣的桌椅一共要多少元？

果樹、桌椅都是學(xué)生熟悉的生活事物，他們根據(jù)題意列出了兩種不同的綜合算式解答。不同的算式求的是同一個(gè)問題，因此可以自然地抽象得出兩個(gè)等式。這樣的學(xué)習(xí)是生動(dòng)的，學(xué)生真正體會(huì)到了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

（二）采用數(shù)形結(jié)合，直觀解釋

數(shù)形結(jié)合，可以使抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系變得具體形象，便于理解。筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出了如下兩個(gè)示意圖，從而理解等式左右兩邊不同算式的具體意義。

如圖①所示，算式7×12＋3×12是分別算出櫻桃樹和杏樹各有多少棵，再相加；因?yàn)闄烟覙浜托訕涿啃卸际?2棵，也可以先算櫻桃樹和杏樹一共有幾行，再乘每行12棵，算式是（7+3）×12。不管哪種方法，都是求兩種樹的總棵數(shù)，所以7×12＋3×12=（7+3）×12。

如圖②所示，橫著看，算式56×15＋24×15是先分別算出15張桌子和15把椅子的價(jià)錢，再相加；也可以豎著看示意圖，先求出一套桌椅的價(jià)錢，再算15套的總價(jià)，算式是（56+24）×15。不管哪種方法，都是求15套桌椅的總價(jià)錢，所以56×15＋24×15=（56+24）×15。

算式與圖形結(jié)合，豐富了學(xué)生的表象，也更加直觀地解釋了等式左右兩邊在形式上不同的本質(zhì)原因。

（三）挖掘算式意義，理解內(nèi)涵

在教學(xué)中，教師還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生脫離情境，對(duì)學(xué)習(xí)素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化的思考，從算式意義上究其本質(zhì)。

筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從乘法的意義來理解等式的含義。如：7×12＋3×12=（7+3）×12，左邊表示7個(gè)12加上3個(gè)12，也就是10個(gè)12，右邊也表示10個(gè)12，所以相等。56×15＋24×15=（56+24）×15，左邊表示56個(gè)15加上24個(gè)15，就是80個(gè)15，右邊也表示80個(gè)15，所以相等。清晰的數(shù)學(xué)表象在學(xué)生的頭腦中建立起來，他們透過表象挖掘規(guī)律的內(nèi)涵，真正理解了等式兩邊結(jié)構(gòu)變化與運(yùn)算意義的密切聯(lián)系。

（四）創(chuàng)編生活實(shí)例，豐富感知

情境不僅能抽象出等式，也是學(xué)生理解和思考的依托。教學(xué)中，教師應(yīng)該將情境用好、用實(shí)，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有力的支撐。在上述兩個(gè)情境的基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：如果調(diào)整梨樹、杏樹的行數(shù)和每行棵數(shù)（每行棵樹要相等），桌椅的套數(shù)和單價(jià)（桌椅數(shù)量要相等），是否又能得出一些類似的等式？你能試著再創(chuàng)編出其他生活問題來解釋等式嗎？學(xué)生思維被啟發(fā)，感知從單一到豐富，自然而然地明白：不管是這兩個(gè)情境還是自己創(chuàng)編的例子，相關(guān)數(shù)據(jù)改變，還是能夠得到類似等式。根據(jù)這些豐富的等式，學(xué)生自然有了猜想，再舉例驗(yàn)證，最后歸納概括得出規(guī)律，學(xué)生頭腦中一步步自然建構(gòu)出了乘法分配律的模型。

（五）設(shè)計(jì)對(duì)比辨析，厘清本質(zhì)

在簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，學(xué)生將乘法分配律與乘法結(jié)合律混淆的錯(cuò)誤頻頻發(fā)生，這說明學(xué)生只是單純地機(jī)械記憶和模仿，沒有厘清兩個(gè)規(guī)律的本質(zhì)區(qū)別。

針對(duì)這一現(xiàn)象，筆者設(shè)計(jì)了幾個(gè)層次的對(duì)比辨析活動(dòng)。第一個(gè)層次：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比乘法分配律和乘法結(jié)合律的字母表達(dá)式，比較它們有什么相同和不同？第二個(gè)層次：簡(jiǎn)便計(jì)算25×44，要求用不同方法，并比較兩種方法的不同。25×44=25×4×11=100×11=1100；25×44=25×（40＋4）=25×40＋25×4=1000＋100=1100。學(xué)生通過對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)要根據(jù)算式特點(diǎn)決定用哪種運(yùn)算律。三個(gè)數(shù)連乘，應(yīng)該運(yùn)用乘法結(jié)合律；算式中是兩種運(yùn)算，兩個(gè)數(shù)的和乘第三個(gè)數(shù)，可以運(yùn)用乘法分配律。通過這樣的對(duì)比辨析，學(xué)生深刻理解并區(qū)分出了這兩種運(yùn)算律的本質(zhì)區(qū)別，運(yùn)用它們簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)就會(huì)更加自如。

總而言之，所有的教學(xué)研究都應(yīng)該落實(shí)到具體的教學(xué)實(shí)踐中，從而發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。乘法分配律的教學(xué)，一定要聚焦數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律的建構(gòu)過程，從多個(gè)方面理解規(guī)律的外形結(jié)構(gòu)與本質(zhì)內(nèi)涵，從而完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。