張彬航，張 聰，畢彥釗，張永紅，袁顯寶，唐海波，馮虹瑛

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

反應(yīng)堆燃耗計(jì)算是反應(yīng)堆設(shè)計(jì)與分析的重要環(huán)節(jié)[1]。在實(shí)際計(jì)算中，其核心是求解燃耗方程，并通常假設(shè)反應(yīng)率在單個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)恒定，因此燃耗方程可被視為一階線性方程組。其矩陣方程和指數(shù)解的形式如下：

(1)

(2)

式中：N(t)∈Rn為t時(shí)刻的核素密度向量；A∈Rn×n為燃耗系數(shù)矩陣，由系統(tǒng)中所有核素的反應(yīng)率和衰變率組成。

由于堆內(nèi)核素繁多，且不同核素的衰變常量數(shù)量級(jí)跨度極大，使得燃耗方程組具有大型、稀疏、剛性的特性，常規(guī)解法無(wú)法精確計(jì)算此問(wèn)題。為精確計(jì)算矩陣指數(shù)eAt，近年來(lái)諸多基于近似理論和矩陣?yán)碚摰挠?jì)算方法得到了廣泛的發(fā)展與應(yīng)用，如切比雪夫有理近似方法(CRAM)和圍道積分有理近似方法(QRAM)[2-3]。CRAM基于復(fù)平面將指數(shù)函數(shù)的最優(yōu)有理近似式擴(kuò)展到矩陣指數(shù)上以逼近eAt：

(3)

QRAM則是基于柯西積分公式和圍道求積組將式(2)轉(zhuǎn)換為復(fù)平面上的積分表達(dá)式：

(4)

式中：C為包圍矩陣At所有本征值的閉合圍道；zk為求積組的插值點(diǎn)；ck為相應(yīng)插值點(diǎn)的權(quán)重；N為展開階數(shù)。點(diǎn)燃耗程序MODEC采用32階QRAM和優(yōu)化后的拋物線圍道求積組用于燃耗計(jì)算中，取得了較好的計(jì)算精度和效率[5]。

由式(3)、(4)可發(fā)現(xiàn)，為求解t時(shí)刻的核素密度，CRAM和QRAM需分別進(jìn)行k/2和N次大規(guī)模稀疏矩陣的求逆計(jì)算，且所有計(jì)算皆為復(fù)數(shù)運(yùn)算，計(jì)算效率有限。

本文研究一種基于最佳一致逼近多項(xiàng)式(MMPA)的燃耗計(jì)算方法，只需進(jìn)行1次矩陣求逆計(jì)算即可求解燃耗方程，具有較高的計(jì)算效率。并研制點(diǎn)燃耗程序AMAC，與蒙特卡羅輸運(yùn)程序OpenMC進(jìn)行耦合，通過(guò)計(jì)算衰變和固定輻照例題、OECD/NEA壓水堆柵元燃耗基準(zhǔn)題和沸水堆組件燃耗基準(zhǔn)題初步驗(yàn)證該方法的正確性和有效性。

1 最佳一致逼近多項(xiàng)式方法

基于近似理論和矩陣?yán)碚揫6]，矩陣指數(shù)eAt可由某一確定矩陣函數(shù)f(At)進(jìn)行逼近。若設(shè)矩陣At的特征值為{λ1,λ2，…，λn}∈C,則矩陣At可通過(guò)非奇異矩陣P轉(zhuǎn)換為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型：

(5)

式中：J(λi)為對(duì)應(yīng)矩陣特征值λi的Jordan塊；矩陣P和P-1對(duì)應(yīng)于每個(gè)Jordan塊J(λi)，可轉(zhuǎn)換為：

(6)

對(duì)于矩陣At的特征值{λ1，λ2，…，λn}，若可為每個(gè)特征值λi定義函數(shù)f(λi)及其到ki-1階的導(dǎo)數(shù)fki-1(λi)，則矩陣函數(shù)f(At)的一般表達(dá)式[7]為：

(7)

式中：ki為最大Jordan塊J(λi)的大??；n為矩陣At的特征值個(gè)數(shù)；Gi為(At-λiI)j在其廣義本征空間上的投射矩陣。由式(7)可得被逼近矩陣指數(shù)eAt的一般表達(dá)式[7]為：

(8)

由式(7)、(8)可知，對(duì)于矩陣At的每個(gè)特征值λi，若函數(shù)f(λi)及其導(dǎo)數(shù)f(j)(λi)在逼近指數(shù)eλi時(shí)有足夠小的誤差，則矩陣指數(shù)eAt可由矩陣函數(shù)f(At)進(jìn)行最佳近似。根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知，燃耗矩陣At的本征值{λ1，λ2，…，λn}位于復(fù)平面上的負(fù)實(shí)軸附近。因此，在矩陣函數(shù)f(At)對(duì)矩陣指數(shù)eAt進(jìn)行最佳逼近時(shí)，應(yīng)滿足如下兩個(gè)條件：1) |f(At)-eAt|在負(fù)實(shí)軸附近足夠??；2) |f(j)(λi)-eλi|/j!在負(fù)實(shí)軸附近足夠小。為求出滿足上述條件的函數(shù)f(At)，本文基于MMPA對(duì)矩陣指數(shù)eAt進(jìn)行了最佳近似，定義多項(xiàng)式函數(shù)f(t)為：

(9)

式中：a0、ai∈R為多項(xiàng)式系數(shù)；n為展開階數(shù)。

(10)

則通過(guò)變量代換后可得到指數(shù)函數(shù)ex的近似表達(dá)式：

(11)

式中，x∈(-∞,0]。根據(jù)文獻(xiàn)[9]可知，當(dāng)常數(shù)c取24.1并進(jìn)行32階展開時(shí)，最大近似誤差的最小值為2.2×10-14，能滿足燃耗計(jì)算的高精度要求?；赗emez算法[10]可得32階MMPA方法的實(shí)數(shù)系數(shù)ai。由于系數(shù)ai皆為實(shí)數(shù)，因此在進(jìn)行燃耗計(jì)算時(shí)不需進(jìn)行復(fù)矩陣運(yùn)算，這是MMPA方法相對(duì)于CRAM、QRAM等有理近似方法的優(yōu)點(diǎn)之一。由式(2)和(11)可得t時(shí)刻的核素密度N(t)為：

(At-cI)-1}iN(0)

(12)

式(12)中，矩陣(At+cI)(At-cI)-1的特征值λ′i為：

(13)

由于矩陣At的特征值{λ1,λ2，…，λn}∈(-∞,0]，因此特征值λ′i∈[-1,1)，則在進(jìn)行多項(xiàng)式逼近過(guò)程中{(At+cI)(At-cI)-1}i的特征值始終在區(qū)間[-1，1]上，具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。如式(12)所示，為了求得t時(shí)刻的核素密度，只需獲得矩陣(At+cI)(At-cI)-1后再進(jìn)行31次迭代相乘即可。相對(duì)于目前廣泛應(yīng)用于燃耗計(jì)算的16階CRAM和32階QRAM分別所需的8次和32次復(fù)矩陣求逆相比，MMPA方法只需進(jìn)行1次矩陣的求逆運(yùn)算，在計(jì)算效率與方法實(shí)現(xiàn)上具有一定的優(yōu)勢(shì)。因此，本文進(jìn)一步基于32階MMPA方法開發(fā)了點(diǎn)燃耗程序AMAC，并耦合蒙特卡羅輸運(yùn)程序OpenMC以驗(yàn)證該方法的正確性和有效性。

2 程序開發(fā)

AMAC采用了精細(xì)燃耗數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行燃耗計(jì)算。該燃耗數(shù)據(jù)庫(kù)整合了ORIGEN-2與ORIGEN-S的最新燃耗數(shù)據(jù)庫(kù)，共包含1 487種不重復(fù)核素、11種衰變反應(yīng)、23種中子截面反應(yīng)和30種重核裂變產(chǎn)額數(shù)據(jù)[11-12]。同時(shí)AMAC也能直接讀取ORIGEN-2或ORIGEN-S的燃耗數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行燃耗計(jì)算。在基于MMPA方法求解燃耗方程的過(guò)程中，由式(12)可知只需對(duì)矩陣(At-cI)進(jìn)行1次求逆運(yùn)算，考慮到該矩陣具有大型、稀疏、剛性的特性，直接采用高斯消元法會(huì)引入較大的舍入誤差。為保證求解的精度和效率，AMAC首先對(duì)該矩陣進(jìn)行符號(hào)LU分解，獲得相應(yīng)的填入矩陣，然后對(duì)填入矩陣進(jìn)行高斯消元，從而完成矩陣(At-cI)的求逆[13]。另外考慮到矩陣的稀疏性，為節(jié)省內(nèi)存及計(jì)算時(shí)間，AMAC采用三元組方法對(duì)稀疏矩陣進(jìn)行壓縮儲(chǔ)存。

AMAC的簡(jiǎn)要程序架構(gòu)如圖1所示。程序主要分為前處理、求解器及后處理3部分。前處理部分主要讀取燃耗計(jì)算中所需的數(shù)據(jù)，包括衰變常量、微觀截面、裂變產(chǎn)額、通量、時(shí)間步長(zhǎng)等信息，并將這些數(shù)據(jù)處理成燃耗矩陣的形式并存儲(chǔ)，由求解器直接調(diào)用計(jì)算。求解器部分主要是根據(jù)不同的計(jì)算方法進(jìn)行燃耗方程的求解。除32階MMPA方法外，AMAC還實(shí)現(xiàn)了16階CRAM和32階QRAM的燃耗計(jì)算方法。后處理部分將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行格式化輸出，輸出數(shù)據(jù)包括核素密度、放射性活度、衰變熱等。在完成點(diǎn)燃耗程序AMAC研制的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步基于Python完成了與OpenMC的耦合以便計(jì)算真實(shí)的燃耗問(wèn)題，并引入預(yù)估-校正和子步法兩種耦合策略以保證燃耗計(jì)算的精度與效率。

圖1 AMAC程序框架簡(jiǎn)圖Fig.1 Brief structure of AMAC code

3 數(shù)值驗(yàn)證與分析

對(duì)于MMPA方法的正確性與有效性的驗(yàn)證，主要基于AMAC來(lái)完成，主要分為兩個(gè)方面：一是在相同數(shù)據(jù)庫(kù)下，計(jì)算了237Np的衰變和UO2燃料的固定輻照問(wèn)題，并與ORIGEN-2和RMC程序進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證MMPA方法在求解燃耗方程時(shí)的精度與效率；二是通過(guò)耦合程序OpenMC-AMAC完成OECD/NEA壓水堆柵元燃耗基準(zhǔn)題和沸水堆組件燃耗基準(zhǔn)題的計(jì)算與驗(yàn)證分析，以評(píng)估MMPA方法計(jì)算實(shí)際燃耗問(wèn)題的能力。

3.1 237Np的衰變計(jì)算

衰變例題計(jì)算了初始含量為1 mol的237Np衰變106a后各核素成分的變化。參考程序選取了ORIGEN-2和RMC，皆基于ORIGEN-2的燃耗庫(kù)完成計(jì)算，計(jì)算結(jié)果和相對(duì)偏差列于表1。以RMC的線性子鏈解析方法的計(jì)算結(jié)果作為基準(zhǔn)解，分別列出了ORIGEN-2和AMAC相對(duì)于基準(zhǔn)解的相對(duì)偏差，可看到MMPA方法的計(jì)算結(jié)果沿燃耗鏈長(zhǎng)度方向的相對(duì)偏差沒有增大趨勢(shì)，且與基準(zhǔn)解吻合良好，最大相對(duì)偏差僅為0.03%。對(duì)于ORIGEN-2的計(jì)算結(jié)果，由于時(shí)間步長(zhǎng)為1.0×106a，根據(jù)ORIGEN-2的處理機(jī)制，當(dāng)核素半衰期小于燃耗時(shí)間步長(zhǎng)的1/10時(shí)，就判定該核素為短壽命核素，需從燃耗矩陣中移除后進(jìn)行平衡性假設(shè)處理，而燃耗矩陣中僅保留長(zhǎng)壽命核素，以解決燃耗矩陣的剛性問(wèn)題。在該例題中，沿燃耗鏈上的核素233Pa、225Ra、225Ac、221Fr、217At、213Bi、213Po、209TI、209Pb被判定為短壽命核素且需進(jìn)行平衡性假設(shè)處理，導(dǎo)致這些核素“過(guò)度”衰變，使得這些核素的計(jì)算結(jié)果小于解析方法的計(jì)算結(jié)果，并最終使得燃耗鏈末端核素209Bi的計(jì)算結(jié)果大于解析解。MMPA方法計(jì)算時(shí)直接對(duì)燃耗矩陣At進(jìn)行處理，不需單獨(dú)處理短壽命核素，因此燃耗鏈長(zhǎng)度的增長(zhǎng)不會(huì)導(dǎo)致計(jì)算精度的明顯下降。同時(shí)基于Remez算法求解多項(xiàng)式系數(shù)時(shí)嚴(yán)格遵守了對(duì)矩陣指數(shù)eAt進(jìn)行最佳近似的兩個(gè)約束條件，能保證求解精度。因此，MMPA方法對(duì)于長(zhǎng)燃耗鏈的計(jì)算具有良好的精度和穩(wěn)定性。在計(jì)算效率方面，ORIGEN-2耗時(shí)0.002 s，而MMPA方法的耗時(shí)僅為0.001 s。

3.2 UO2燃料的固定輻照計(jì)算

固定輻照例題計(jì)算了初始含量為1 mol、富集度為5%的UO2燃料，在3.0×1014cm-2·s-1的中子注量率下輻照1 a再冷卻3 a后的各核素成分變化情況。輻照時(shí)間和冷卻時(shí)間各劃分10個(gè)子步長(zhǎng)，參考程序選取RMC，使用其點(diǎn)燃耗計(jì)算功能完成了該例題的計(jì)算[14]。表2列出重要錒系核素和部分代表性核素的計(jì)算結(jié)果。與RMC所采用的16階CRAM的計(jì)算結(jié)果相比，AMAC所采用MMPA方法的計(jì)算結(jié)果與其最大相對(duì)偏差不超過(guò)0.02%，具有較高的數(shù)值精度和穩(wěn)定性。在計(jì)算效率方面，AMAC還使用了16階CRAM與32階QRAM對(duì)該例題進(jìn)行了測(cè)試，在保留4位有效數(shù)字的情況下，這兩種計(jì)算方法的結(jié)果與32階MMPA方法完全一致。各方法的計(jì)算時(shí)間列于表3，可看到MMPA方法相對(duì)于其他方法在計(jì)算效率上有一定的優(yōu)勢(shì)。

表1 237Np衰變鏈的計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation result of 237Np decay chain

表2 5% UO2燃料的計(jì)算結(jié)果Table 2 Calculation result of 5% UO2 fuel

表3 不同計(jì)算方法的計(jì)算時(shí)間Table 3 Computing time of different methods

3.3 OECD/NEA壓水堆柵元燃耗基準(zhǔn)題

該基準(zhǔn)題的計(jì)算目標(biāo)是通過(guò)計(jì)算壓水堆組件中的單個(gè)柵元以比較不同程序?qū)θ剂现型凰爻煞值挠?jì)算與分析能力。根據(jù)功率和最終燃耗深度的不同，該基準(zhǔn)題包括工況A(27.35 GW·d/tHM)、工況B(37.12 GW·d/tHM)和工況C(44.34 GW·d/tHM)，詳細(xì)幾何與材料參數(shù)參考文獻(xiàn)[15]。

耦合程序OpenMC-AMAC采用MMPA方法和ORIGEN-2燃耗數(shù)據(jù)庫(kù)完成了工況C的計(jì)算。同時(shí)基于數(shù)據(jù)庫(kù)ENDF/B-Ⅶ，Serpent程序采用16階CRAM也完成了計(jì)算[16]，計(jì)算結(jié)果列于表4。由表4可見，OpenMC-AMAC計(jì)算得到的大部分核素質(zhì)量結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)偏差在5%以內(nèi)，表明MMPA方法具有良好的數(shù)值精度和穩(wěn)定性。其中對(duì)于裂變產(chǎn)額的計(jì)算，除核素149Sm外，其余核素的計(jì)算結(jié)果均在合理范圍之內(nèi)。149Sm的相對(duì)偏差為-26.493 6%，可能是149Sm的產(chǎn)生量太少或消失量太多所導(dǎo)致。149Sm從其先驅(qū)核149Nd經(jīng)過(guò)兩次β-衰變而來(lái)，而其消失途徑主要為(n，γ)反應(yīng)，所以O(shè)RIGEN-2的衰變數(shù)據(jù)和裂變產(chǎn)額會(huì)影響149Sm的產(chǎn)生量，OpenMC給出的(n，γ)截面會(huì)影響149Sm的消失量。因此，OpenMC計(jì)算的截面數(shù)據(jù)或ORIGEN-2的衰變數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度會(huì)導(dǎo)致149Sm產(chǎn)生較大偏差。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)Serpent的計(jì)算結(jié)果與AMAC吻合較好，但同樣與測(cè)量值相差很大，因此該基準(zhǔn)題的149Sm測(cè)量值可能存在問(wèn)題[17]。對(duì)于錒系核素的計(jì)算，238Pu的相對(duì)偏差相對(duì)于其他一些錒系核素較大，為-4.828 9%。在燃耗計(jì)算中，238Pu、237Np這些核素主要由其他核素衰變產(chǎn)生，衰變庫(kù)的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度直接決定了這些核素的計(jì)算精度。同時(shí)OpenMC的統(tǒng)計(jì)誤差也會(huì)影響核素的最終計(jì)算精度。為精確比較不同燃耗計(jì)算方法的耗時(shí)情況，統(tǒng)計(jì)了OpenMC-AMAC與Serpnet僅在進(jìn)行燃耗計(jì)算時(shí)的耗時(shí)情況，其中AMAC耗時(shí)26.45 s，Serpent耗時(shí)26.41 s，兩者效率相當(dāng)。

3.4 OECD/NEA沸水堆組件燃耗基準(zhǔn)題

該基準(zhǔn)題由OECD/NEA發(fā)布，旨在比較不同燃耗程序在計(jì)算含可燃毒物組件時(shí)的能力。該沸水堆組件采用了8×8的排列方式進(jìn)行燃料棒布置，其中包含8根含釓燃料棒以吸收壽期初的剩余反應(yīng)性?？偟娜己纳疃葹?0 MW·d/kgHM，功率密度為25.6 W/gHM，詳細(xì)的幾何與材料參數(shù)參考文獻(xiàn)[18]。

表5列出核素密度的16套參考程序的計(jì)算結(jié)果、平均參考值和OpenMC-AMAC的計(jì)算結(jié)果。由表5可看出，本文計(jì)算結(jié)果均在參考值范圍內(nèi)，且大部分核素的計(jì)算結(jié)果與平均參考值的相對(duì)偏差在5%以內(nèi)。對(duì)于相對(duì)偏差較大的核素，如243Am及Gd同位素，由于缺乏實(shí)驗(yàn)值和各程序所采用的數(shù)據(jù)庫(kù)、輸運(yùn)方法及燃耗計(jì)算方法的不同，難以評(píng)價(jià)其計(jì)算結(jié)果的精確性。尤其對(duì)于Gd同位素，由于其中子吸收截面很大，對(duì)于燃耗步長(zhǎng)、可燃毒物棒的徑向劃分等因素十分敏感。為進(jìn)一步驗(yàn)證MMPA方法的正確性和穩(wěn)定性，在燃耗步長(zhǎng)相同的情況下，對(duì)8根含釓燃料棒進(jìn)行了徑向分區(qū)和計(jì)算，表6列出徑向均分為3區(qū)、5區(qū)、7區(qū)、10區(qū)4種情況下Gd同位素的相對(duì)偏差。由表6可見，隨徑向分區(qū)數(shù)目的增加，Gd同位素的相對(duì)偏差顯著下降。由于Gd同位素的吸收截面很大，這一特性將引起燃耗過(guò)程中中子注量率分布在短時(shí)間內(nèi)的顯著變化，因此進(jìn)行合理的徑向分區(qū)能有效提高釓棒的計(jì)算精度，得到合理的燃耗計(jì)算結(jié)果。

表4 工況C下OpenMC-AMAC核素質(zhì)量的計(jì)算結(jié)果Table 4 Calculation result of OpenMC-AMAC under condition C

表5 OpenMC-AMAC核素密度的計(jì)算結(jié)果Table 5 Calculation result of nuclear density of OpenMC-AMAC

續(xù)表5

表6 不同徑向分區(qū)下OpenMC-AMAC計(jì)算核素Gd的相對(duì)偏差Table 6 Relative deviation of Gd calculated by OpenMC-AMAC in different radial zones

表7列出組件的無(wú)限增殖因數(shù)k∞的計(jì)算結(jié)果，包括參考值、平均參考值、Serpent和OpenMC-AMAC隨燃耗深度變化的計(jì)算結(jié)果。由表7可見，MMPA方法得到的k∞在參考值的區(qū)間內(nèi)，且隨燃耗深度變化的趨勢(shì)相同，并與平均值的相對(duì)偏差較小。在燃耗計(jì)算效率方面，OpenMC-AMAC的燃耗計(jì)算耗時(shí)為1 664 s，Serpent耗時(shí)為1 710 s。總體來(lái)看，MMPA方法在進(jìn)行燃耗計(jì)算時(shí)具有良好的計(jì)算精度與效率。

3.5 計(jì)算效率分析

通過(guò)上述基準(zhǔn)題的驗(yàn)證與分析，可看到MMPA方法在燃耗計(jì)算中具有良好的計(jì)算精度和數(shù)值穩(wěn)定性。在計(jì)算效率方面，對(duì)于32階MMPA方法，由式(12)可知，為了求得t時(shí)刻的核素密度，只需獲得矩陣(At+cI)(At-cI)-1后再進(jìn)行31次矩陣的迭代相乘和相加。對(duì)于16階CRAM方法，由式(3)可知，需對(duì)復(fù)矩陣進(jìn)行8次求逆和7次相加即可求得t時(shí)刻的核素密度。理論上大型稀疏矩陣的1次求逆計(jì)算耗時(shí)高于矩陣的1次相乘或相加計(jì)算，因此MMPA方法的耗時(shí)應(yīng)比CRAM方法少，這一點(diǎn)通過(guò)上述例題的耗時(shí)分析得到了驗(yàn)證，只是時(shí)間上的縮短效果有限。

表7 OpenMC-AMAC的k∞計(jì)算結(jié)果Table 7 k∞ calculation result of OpenMC-AMAC

為了分析實(shí)際計(jì)算效率與理論分析的差異，本文進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)了AMAC中涉及矩陣求逆、乘法、加法等計(jì)算的耗時(shí)情況，發(fā)現(xiàn)32階MMPA方法中計(jì)算矩陣(At-cI)-1的耗時(shí)與16階CRAM方法中進(jìn)行矩陣αi(At+θiI)-1的計(jì)算耗時(shí)相當(dāng)，但在矩陣{(At+cI)(At-cI)-1}i的迭代相乘計(jì)算中，耗時(shí)較為嚴(yán)重，約6次矩陣(At+cI)(At-cI)-1的自迭代相乘與矩陣αi(At+θiI)-1的計(jì)算耗時(shí)相當(dāng)，從而導(dǎo)致32階MMPA方法在實(shí)際計(jì)算效率上沒有顯著優(yōu)于16階CRAM方法。本文嘗試使用C++矩陣處理庫(kù)Eigen替換AMAC中自編寫的相關(guān)矩陣計(jì)算函數(shù)后，重新計(jì)算了OECD/NEA沸水堆組件燃耗基準(zhǔn)題，發(fā)現(xiàn)32階MMPA方法相比于16階CRAM方法能加速約30%，加速效果較為顯著，但應(yīng)用于實(shí)際燃耗計(jì)算中還需大量的測(cè)試和程序優(yōu)化，后續(xù)工作中對(duì)于AMAC中矩陣的計(jì)算效率需重點(diǎn)研究與優(yōu)化。

4 結(jié)論

本文研究了一種基于最佳一致逼近多項(xiàng)式(MMPA)的燃耗計(jì)算方法。相比于CRAM和QRAM在求解中的多次復(fù)矩陣求逆，該方法僅需1次矩陣求逆即可求解燃耗方程，且所有計(jì)算皆為實(shí)數(shù)運(yùn)算，數(shù)值穩(wěn)定性好且求解效率高。同時(shí)基于MMPA方法開發(fā)了點(diǎn)燃耗程序AMAC，并與OpenMC進(jìn)行耦合。為驗(yàn)證MMPA方法的正確性和有效性，基于AMAC對(duì)衰變問(wèn)題和固定輻照問(wèn)題進(jìn)行了點(diǎn)燃耗測(cè)試，并與ORIGEN-2和RMC的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果吻合良好且計(jì)算效率較高?；贠penMC-AMAC對(duì)OECD/NEA壓水堆柵元燃耗基準(zhǔn)題和沸水堆組件燃耗基準(zhǔn)題分別進(jìn)行了計(jì)算分析，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值及各參考值吻合良好，且與Serpent所采用的16階CRAM的燃耗計(jì)算效率和精度相當(dāng)。上述例題及基準(zhǔn)例題的計(jì)算驗(yàn)證了MMPA方法在理論和數(shù)值上的正確性和有效性。后續(xù)工作將重點(diǎn)優(yōu)化程序中的矩陣計(jì)算效率，進(jìn)一步提高M(jìn)MPA方法的計(jì)算效率。