康春濤，貢 力, ，王忠慧，楊軼群，王 鴻

(1. 蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070；2. 蘭州交通大學 調(diào)水工程及輸水安全研究所，甘肅 蘭州730070)

我國西北干寒地區(qū)具有冬長暑短、雨熱同季、日照時間長、年降水少、蒸發(fā)量、晝夜溫差大和年季溫差較大的高寒半干旱氣候特點。據(jù)水利部資料統(tǒng)計，我國西北地區(qū)混凝土水工建筑物70%的破壞受損都與地區(qū)的嚴寒氣候有關(guān)[1-2]。大多數(shù)水工混凝土建筑物出現(xiàn)剝蝕甚至脫落現(xiàn)象。因此，對水工混凝土建筑物劣化預測模型的研究，對于水工建筑物的結(jié)構(gòu)安全和壽命維護具有重要的意義。

目前，對于混凝土劣化預測的方式有很多種。肖前慧等[3]提出了凍融循環(huán)下混凝土抗壓強度指數(shù)衰減規(guī)律預測模型和壽命預測模型；馮忠居等[4]基于灰色系統(tǒng)理論，建立了不同工況下混凝土相對動彈性模量GM(1,1)預測模型；鄔曉光等[5]利用可拓評價模型實現(xiàn)對混凝土梁式橋耐久性的預測；胡宸瑞[6]采用Wiener分布模型對其在不同環(huán)境因素下的服役壽命進行預測；馬俊軍等[7]在Fick第二定律的基礎(chǔ)上，建立了考慮氯離子隨機擴散效應(yīng)的元胞自動機模型等。劉榮桂等[8-10]諸多專家在理論上對混凝土耐久性的預測提出了創(chuàng)新方法。近年來，眾多專家在灰色理論的基礎(chǔ)上，提出了殘差模型和馬爾科夫（Markov）理論相結(jié)合的預測方法[11-12]。張克中等[13]在灰色殘差基礎(chǔ)上提出馬爾科夫殘差修正灰色模型，并將其應(yīng)用于公路網(wǎng)規(guī)劃中運輸量的預測；陳佳琪等[14]采用傳統(tǒng)GM(1,1)模型和改進后的殘差修正GM(1,1)模型分別對房屋建筑面積統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行預測；杜永強等[15]以最大延伸率作為性能變化表征參數(shù)，根據(jù)老化反應(yīng)速率常數(shù)隨溫度的變化關(guān)系，建立了馬爾科夫灰色殘差GM(1,1)模型，對常溫條件下推進劑的老化反應(yīng)速率常數(shù)進行了預測。通過結(jié)合灰色殘差和馬爾科夫模型，不僅讓兩個模型能體現(xiàn)各自的優(yōu)點，而且能彌補數(shù)據(jù)信息波動性大的不足，能更好地提高預測模型精度[16]。目前，針對混凝土劣化的預測模型，大多數(shù)集中在公路、橋梁及房建等混凝土建筑物，對于西北干寒地區(qū)水工建筑物的研究較少；另外，基于灰色殘差GM(1,1)-Markov模型在水工混凝土劣化預測方面的研究較少。

本文將灰色殘差GM(1,1)的馬爾科夫模型應(yīng)用于水工混凝土建筑物劣化試驗預測，通過實驗室方法來驗證預測模型的適用性。首先對混凝土試件進行耐久性劣化試驗，以質(zhì)量和抗壓強度的原始值作為初始數(shù)據(jù)，通過一系列數(shù)據(jù)處理，得到灰色GM(1,1)模型和殘差GM(1,1)模型。然后利用馬爾科夫過程的符號修正，對灰色殘差GM(1,1)模型進行馬爾科夫修正，以此來預估混凝土試件在鹽凍作用下的壽命。

1 利用GM(1,1)模型預測強度或質(zhì)量損失

1.1 灰色GM(1,1)模型

參考郭鵬等[17-18]的理論，本文對灰色GM(1,1)模型的建立過程是將混凝土劣化的質(zhì)量損失和抗壓強度損失過程累加生成數(shù)列模型，再將數(shù)列模型進行處理，最終得到預測值。用X(0)(k)表示劣化試驗壽命的原始數(shù)據(jù)序列，設(shè)原始數(shù)據(jù)為：

對X(0)(k)做一次累加生成算法，生成一階累加生成數(shù)列：

由式（2），計算得到x(1)(k)的緊鄰均值系列Z(1)，Z(1)={z(1)(2), z(1)(3),···, z(1)(n)}，其中：

構(gòu)建微分方程dx(1)/dt+αx(1)=β，其中，參數(shù)α、β可由下式得到：

求解上述微分方程，得到如下GM(1,1)模型：

用如下累減公式還原，即可計算出預測值：

式中：x(0)(k+1)為第（k+1）項的預測值；x(0)(1)為原始數(shù)據(jù)序列的首項；α、β分別為GM(1,1)模型的系數(shù)和常數(shù)項，由最小二乘法（回歸）求得。

1.2 灰色殘差GM(1,1)模型

為了修正預測值與混凝土劣化試驗初始值結(jié)果的差異，建立殘差序列ε1(0)，ε1(0)={ε1(0)(2), ε1(0)(3),···,ε1(0)(n)}，其中：

對得到的ε(0)按式（2）～（6）的步驟建立灰色GM(1,1)模型，可得：

其中，參數(shù)aε、bε按照式（4）求解，則殘差修正值為：

用得到的殘差修正值 修正還原值x(0)，得到：

1.3 馬爾科夫過程的符號修正

由于預測模型僅是對原始數(shù)據(jù)的規(guī)律總結(jié)，可能會導致原始數(shù)據(jù)與預測數(shù)據(jù)的相對誤差較大，因而有必要對模型進行改進。故本文將灰色殘差GM(1,1)和馬爾科夫模型應(yīng)用于水工混凝土劣化試驗的預測中，以提高預測模型的精度[19]。

統(tǒng)計殘差序列的頻數(shù)，規(guī)定狀態(tài)：殘差正值為狀態(tài)1，殘差負值為狀態(tài)2。根據(jù)其狀態(tài)的正負，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

把殘差從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率記為Pij，例如，P12代表從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的概率，Pij≥0，且可由下式確定：

式中：sij為狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的次數(shù)；si為狀態(tài)i出現(xiàn)的次數(shù)。

其余計算過程參考文獻[18]，此處不再贅述。

由下式計算相對誤差：

2 試驗數(shù)據(jù)處理及壽命預估

2.1 數(shù)據(jù)來源與試驗設(shè)計

參考《普通混凝土長期性能和耐久性能試驗方法標準》，試驗采用慢凍法。采用100 mm×100 mm×100 mm立方體標準試件，試件設(shè)計抗凍標號為D200，試件規(guī)格強度為C30的試件，共120塊，其中水泥型號為甘肅省祁連山水泥集團股份有限公司生產(chǎn)的P·O 32.5水泥。另外，考慮細骨料和粗骨料中的含水量（分別為2.4%和1.0%），混凝土材料組成見表1。

表 1 混凝土材料組成Tab. 1 Concrete mix proportion

試件成型后拆模，在養(yǎng)護箱中養(yǎng)護至28 d齡期。試件分為4個部分，每部分為30塊。參考普通混凝土長期性能和耐久性能試驗方法標準，在試驗前4 d把試件從養(yǎng)護地點取出，分別置于清水及質(zhì)量濃度為3、5和7 g/L的Na2SO4溶液中進行浸泡，對應(yīng)試件分類編號為：1-0、1-3、1-5和1-7。

將經(jīng)過浸泡的試件按照其分類，進行鹽凍試驗，每25次小循環(huán)之后，清理試件上的碎渣，并及時稱量，用軸心抗壓試驗儀進行抗壓試驗，計算質(zhì)量損失率及抗壓強度損失率。當質(zhì)量損失率達到5%，或抗壓強度損失率達到25%或達到鹽凍試驗次數(shù)（根據(jù)設(shè)計抗凍標號，其次數(shù)為200～250次），可認定為達到破壞條件，結(jié)束試驗。

2.2 數(shù)據(jù)處理

限于篇幅，本文抽取清水和3 g/L硫酸鈉溶液侵蝕的試件質(zhì)量和抗壓強度損失統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行計算。水工混凝土在鹽凍作用下，試件質(zhì)量和抗壓強度隨著次數(shù)的提高而減小，具體數(shù)據(jù)見表2。

表 2 鹽凍作用下混凝土試件質(zhì)量和抗壓強度原始統(tǒng)計值Tab. 2 Original statistical values of the quality and pressure strength of concrete specimens under the action of salt freezing

以清水浸泡過的混凝土試件為例，計算原始質(zhì)量的灰色模擬值和殘差模擬值如下。本文0～125次鹽凍試驗的質(zhì)量作為原始值，預測150～200次的數(shù)據(jù)。原始數(shù)據(jù)及預測結(jié)果見表3。

表 3 混凝土試件質(zhì)量的模擬結(jié)果Tab. 3 Simulation results of the quality of concrete specimens

由表3可知，基于馬爾科夫的GM(1,1)模型的模擬結(jié)果中，經(jīng)過清水浸泡和鹽凍試驗的混凝土試件質(zhì)量的最大誤差為0.29%，最小誤差為0.01%，平均誤差為0.10%；經(jīng)過3 g/L硫酸鈉溶液浸泡和鹽凍試驗的混凝土試件質(zhì)量的最大誤差為0.20%，最小誤差為0.000 9%，平均誤差為0.03%。

由模擬結(jié)果可見，灰色GM(1,1)模型的質(zhì)量模擬結(jié)果誤差較大（1-0和1-3的最大相對誤差分別為0.37%和0.21%），但是灰色殘差GM(1,1)模型經(jīng)過殘差修正之后，相對誤差明顯降低（1-0和1-3的最大相對誤差分別為0.33%和0.06%）。

相應(yīng)地，可計算出經(jīng)過清水浸泡和鹽凍試驗的混凝土試件抗壓強度模擬結(jié)果見表4。

表 4 混凝土試件抗壓強度的模擬結(jié)果Tab. 4 Simulation results of the pressure strength of concrete test pieces

由表4可知，基于馬爾科夫的GM(1,1)模型的模擬結(jié)果中，經(jīng)過清水浸泡和鹽凍試驗的混凝土試件抗壓強度的最大誤差為1.16%，最小誤差為0.05%，平均誤差為0.51%；經(jīng)過3 g/L硫酸鈉溶液浸泡和鹽凍試驗的混凝土試件抗壓強度的最大誤差為0.33%，最小誤差為0.05%，平均誤差為0.165%。

在不同濃度下，灰色GM(1,1)模型的抗壓強度模擬得出：1-0和1-3系列最大相對誤差分別為2.53%和1.30%。經(jīng)過灰色殘差GM(1,1)模型修正之后，1-0和1-3系列最大相對誤差分別降為1.16 %和0.33%。相對誤差的變化，可以證明經(jīng)過修正的灰色殘差GM(1,1)模型對抗壓強度的模擬效果要比灰色GM(1,1)模型好。

通過以上計算分析得出：相對于灰色GM(1,1)模型，殘差修正GM(1,1)模型能更好地貼合原始數(shù)據(jù)的質(zhì)量損失和抗壓強度損失過程。所以，此模型可用于現(xiàn)有的數(shù)據(jù)預測，并對現(xiàn)有數(shù)據(jù)的規(guī)律得出預測模型經(jīng)驗公式。

2.3 符號修正

由于第225次鹽凍試驗的試件抗壓強度已失效，故本文應(yīng)用灰色殘差GM(1,1)模型，僅對清水及濃度為3 g/L的硫酸鈉溶液侵蝕的混凝土試件的150、175、200次鹽凍試驗的質(zhì)量和抗壓強度進行預測，并確定殘差修正值的符號。

根據(jù)表3混凝土試件質(zhì)量的模擬結(jié)果，對150次鹽凍試驗的質(zhì)量預測如下：

根據(jù)馬爾科夫過程的符號修正，殘差由正數(shù)向正數(shù)轉(zhuǎn)移的次數(shù)是1，正值出現(xiàn)的次數(shù)是2，因此，其概率P11=1/2，同理可得P12=1/2、P21=1/3、P22=2/3。由此可得馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P為：

將鹽凍試驗125次的混凝土質(zhì)量作為初始狀態(tài)，由表3知其殘差值為負，因而初始向量s(0)=(0,1)。由式（13）得到第150次鹽凍試驗的結(jié)果為：

即第150次鹽凍試驗的混凝土質(zhì)量殘差修正值為正的概率為1/3，為負的概率為2/3，因此取正號。預測150次鹽凍試驗的質(zhì)量見表5。以150次鹽凍試驗的質(zhì)量殘差修正值為初始值，同理可得出175、200次質(zhì)量的預測值。同理可得3 g/L硫酸鈉溶液侵蝕的混凝土試件的質(zhì)量（表5）。

表 5 混凝土試件質(zhì)量預測結(jié)果Tab. 5 Prediction results for the quality of concrete test pieces

由表5可知，通過Markov模型的符號修正，在不同硫酸鈉溶液濃度下水工混凝土試件150～200次鹽凍試驗的質(zhì)量原始值與預測值，最大誤差為2.12%，最小誤差為0.10%，且相對誤差隨著鹽凍試驗次數(shù)的增加而變大。

同理，可得清水和3%硫酸鈉溶液浸泡侵蝕的混凝土試件的抗壓強度預測值，見表6。

表 6 混凝土試件抗壓強度預測結(jié)果Tab. 6 Prediction results for the strength of resistance of concrete test pieces

由表6可知，混凝土試件在鹽凍試驗下，抗壓強度預測值的最大誤差為1.91%，最小誤差為0.13%。由于馬爾克夫符號修正預測序列較長，相對誤差略有偏大，但總體來看屬于正常誤差范圍，符合預測模型對于誤差的要求。這表明該模型對于混凝土劣化過程預測具有較好的適用性。

對比質(zhì)量和抗壓強度的初始值、灰色GM(1,1)模型計算值、灰色殘差GM(1,1)模型計算值、馬爾科夫過程符號修正計算值見圖1。如圖1所示，由于質(zhì)量的單位基數(shù)較小，使得質(zhì)量預測的相對誤差較為明顯。

根據(jù)最初的灰色GM(1,1)模型的預測，并對此模型進行殘差修正，得到灰色殘差GM(1,1)模型。通過與初始數(shù)據(jù)的對比，可以發(fā)現(xiàn)灰色殘差GM(1,1)模型精度有了明顯提高。最后，利用馬爾科夫過程的符號修正，對混凝土試件150～200次鹽凍試驗的試件質(zhì)量損失和抗壓強度損失進行預測，使得預測結(jié)果更符合實際情況，為混凝土水工建筑物的劣化預測指標提供理論支撐和技術(shù)保障。

圖 1 數(shù)據(jù)修正與模型預測對比Fig. 1 Data correction and model prediction comparison chart

3 結(jié) 語

（1）以灰色GM(1,1)模型為基礎(chǔ)，經(jīng)過數(shù)據(jù)累加生成數(shù)列模型，依次得到灰色GM(1,1)預測模型和灰色殘差GM(1,1)預測模型。通過殘差值的頻數(shù)統(tǒng)計得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并對預測數(shù)據(jù)的符號進行修正，得到了灰色殘差GM(1,1)-Markov模型。

（2）借助灰色殘差GM(1,1)-Markov模型對經(jīng)過鹽凍試驗的水工混凝土試件的質(zhì)量和抗壓強度進行預測，結(jié)果表明：質(zhì)量和抗壓強度的預測值與原始值相比誤差較小，最大誤差為2.12%，最小誤差僅為0.13%。驗證了在一定的預測范圍內(nèi)，該模型對混凝土劣化的質(zhì)量和抗壓強度損失具有很好的預測效果。