王洪云 尚念恒 彭霞

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引言

振動頻率、振型及阻尼比是反映結(jié)構(gòu)動力特性的三個主要指標(biāo)，也是表征結(jié)構(gòu)總體狀態(tài)的重要參數(shù)。斜拉橋的結(jié)構(gòu)體系問題、抗風(fēng)性能、抗震性能均與結(jié)構(gòu)的動力特性密切相關(guān)。

自振頻率和振型是結(jié)構(gòu)固有的動力特性，對于自振頻率相差很大的兩個結(jié)構(gòu)體系，即使外觀上極為相似，但動力特性可能會出現(xiàn)較大差異；反之，對于自振頻率相似的兩個結(jié)構(gòu)，外觀即使差異很大，但在動荷載作用下的動力性能可能保持相近。因此，對橋梁結(jié)構(gòu)體系的自振頻率和振型等進(jìn)行研究對把握結(jié)構(gòu)的動力特性具有重要意義［1］。影響結(jié)構(gòu)自振頻率和振型的主要因素包括結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和剛度，而結(jié)構(gòu)的自振頻率可通過模態(tài)試驗(yàn)來測試。

斜拉橋是結(jié)合梁橋與懸索橋優(yōu)點(diǎn)的組合結(jié)構(gòu)體系，由主梁、索塔和斜拉索三部分組成。其中，斜拉索承受拉力，主梁以承受彎矩為主，索塔以承受斜拉索傳來的軸向壓力為主。斜拉橋自從20世紀(jì)70年代傳入我國后，得到了迅速的發(fā)展。斜拉橋在懸臂施工階段，屬于超低頻振動體系，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性較差，受環(huán)境、施工荷載及索力偏差等因素影響較大，并且隨著主梁懸臂長度的增大，結(jié)構(gòu)的自振特性不斷發(fā)生變化，對結(jié)構(gòu)在施工中的自振頻率進(jìn)行定量分析可作為橋梁施工控制的一種輔助手段，以了解結(jié)構(gòu)的施工狀態(tài)和保證結(jié)構(gòu)的施工安全。

本文擬通過理論分析建立斜拉橋在施工階段的簡化自振頻率計算公式，通過與實(shí)測模態(tài)數(shù)據(jù)的對比分析，研究斜拉橋在施工階段的動力特性，為橋梁施工階段的監(jiān)控和抗震性能的設(shè)計提供參考，同時為斜拉橋概念設(shè)計階段動力特性的框算提供一種手段。

1 斜拉橋動力特性的研究現(xiàn)狀

國內(nèi)外學(xué)者對斜拉橋的動力特性和簡化計算方法已經(jīng)進(jìn)行了一定的研究。1985年，項海帆［2］指出在成橋階段的第一振型中貢獻(xiàn)占絕對優(yōu)勢為縱向水平振動，于是將橋面的全部質(zhì)量集中到塔頂，并將橋塔的自身質(zhì)量換算成等效質(zhì)量同樣集中到塔頂，形成替代體系，建立了單質(zhì)點(diǎn)模型，模型簡化圖示如圖1a所示。單質(zhì)點(diǎn)計算模型和計算結(jié)果與實(shí)際狀態(tài)有較大出入，單質(zhì)點(diǎn)模型的縱飄頻率近似計算方法僅在橋塔抗推剛度與主梁擺動剛度比較接近的情況下，才具有較高的精度，使單質(zhì)點(diǎn)模型的基頻計算公式不具備普遍性。2005年，袁萬城［3］在單質(zhì)點(diǎn)模型基礎(chǔ)上建立了雙質(zhì)點(diǎn)簡化模型，進(jìn)一步提高了漂浮體系斜拉橋動力分析的精度，模型簡化圖示如圖1b所示。但此處的雙質(zhì)點(diǎn)計算模型和計算結(jié)果與實(shí)際狀態(tài)仍有出入，誤差依然存在，僅在橋塔抗推剛度大與主梁擺動剛度較小的情況下，才具有較高的精度。

圖1 力學(xué)簡化模型Fig.1 Simplified calculation model

2010年，龍馭球，包世華［4］指出集中質(zhì)量法、廣義坐標(biāo)法和有限元法是目前常用的建立結(jié)構(gòu)振動分析模型的方法。建立斜拉橋振動方程的方法主要是根據(jù)達(dá)朗伯原理，采用柔度法或者剛度法建立平衡方程。

目前針對斜拉橋的振動特性的研究對象為成橋階段的斜拉橋，并用于成橋階段的驗(yàn)收、橋梁運(yùn)營階段的健康監(jiān)測以及橋梁抗震特性的研究，而針對施工階段的動力特性研究未見相關(guān)文獻(xiàn)，本文在雙質(zhì)點(diǎn)模型基礎(chǔ)上從成橋階段擴(kuò)展到施工階段，并在雙質(zhì)點(diǎn)模型的基礎(chǔ)之上推導(dǎo)出進(jìn)一步簡化計算公式，可對斜拉橋施工階段動力特性的快速計算提供參考。

2 施工階段雙質(zhì)點(diǎn)體系振動模型

在施工階段，斜拉橋一般采用懸臂對稱施工的施工方法，橋塔只承受對稱的恒荷載以及施工荷載，不承受汽車和人群荷載。

2.1 邊界條件簡化

在懸臂施工階段，橋塔與承臺之間的連接視為剛性連接，橋塔與主梁之間的連接（包括臨時連接）也視為剛性連接處理。斜拉橋的懸臂施工結(jié)構(gòu)向橋塔兩側(cè)逐漸推進(jìn)，直至成橋階段，如圖2所示。無論塔梁固結(jié)還是漂浮體系斜拉橋，在施工階段采用臨時固結(jié)或者永久固結(jié)后，橋塔和主梁的聯(lián)系可作為剛結(jié)處理。

圖2 斜拉橋施工階段示意Fig.2 Schematic construction stage of cable stayed bridge

2.2 橋塔振動模型簡化

本模型將質(zhì)量連續(xù)分布的橋塔自身質(zhì)量和作用位置進(jìn)行等效換算，保持橋塔的總質(zhì)量不變，質(zhì)心作用位置放在橋塔的重心處，主塔若為等截面直塔，則質(zhì)心作用位置在承臺以上1/2塔高位置處；主塔若為變截面塔，則質(zhì)心位置在塔高1/2以下位置。

2.3 主梁振動模型簡化

在本模型中，將每個施工階段的質(zhì)量增量和位置計算后，進(jìn)行加權(quán)平均，計算等效的主梁質(zhì)量位置。若0號段沒有張拉斜拉索，則0號段的質(zhì)心位置在實(shí)際的主梁位置處，如圖3a所示。從1號段開始，隨著斜拉橋拉索的張拉，主梁的重量由斜拉索對稱傳遞到橋塔，以軸心受壓的方式作用于橋塔截面，橋塔在斜拉索的錨固點(diǎn)以下，橋塔截面均勻受壓，故軸向壓力的作用點(diǎn)位置在斜拉索錨固點(diǎn)以下1/2位置，如圖3b所示。

圖3 施工階段雙質(zhì)子模型Fig.3 Double-mass model of construction stage

3 施工階段動力特性簡化計算公式

按柔度法建立兩個自由度無阻尼振動體系的自由振動微分方程［5］，并且求出結(jié)構(gòu)的圓頻率ω，設(shè)：

則第一圓頻率為：

第二圓頻率為：

根據(jù)文獻(xiàn)［4，5］得到式（4）和式（5）：

式中：δij為單位力作用在j點(diǎn)在i點(diǎn)引起的位移，稱為柔度系數(shù)；m1為質(zhì)點(diǎn)1的質(zhì)量；m2為質(zhì)點(diǎn)2的質(zhì)量。

則進(jìn)一步推導(dǎo)，得到第一階和第二階自振頻率分別為：

由式（6）和式（7）不難發(fā)現(xiàn)，斜拉橋在施工階段的結(jié)構(gòu)自振頻率f1小于f2，實(shí)際上，分母的4（δ11δ22-δ12δ21）m1m2數(shù)值對f1影響很小，故可以簡化為：

經(jīng)過多次試算發(fā)現(xiàn)，在圖乘法計算δij時，計算結(jié)果對主梁和橋塔的等效高度并不敏感，故采用變化的主梁質(zhì)量和橋塔的質(zhì)量比對式（8）進(jìn)行修正，令修正系數(shù)為：

則公式簡化為：

4 工程應(yīng)用

某黃河公路大橋主橋全長840m，橋跨布置為40m+175m+410m+175m+40m，橋面寬38.0m，見圖4。主橋橋型為雙塔雙索面鋼混組合梁斜拉橋，高138.0m的橋塔采用門式框架結(jié)構(gòu)，采用單箱單室空心箱型截面。索塔兩側(cè)雙索面扇形布置16對斜拉索。鋼主梁由邊箱梁、橫梁和小縱梁組成，橋面板為混凝土。邊鋼箱梁寬2.8m，高3.0m～3.056m，根據(jù)受力區(qū)域不同，頂板厚度為25mm，底板厚度為35mm～45mm，腹板厚30mm。塔的混凝土為C50，彈性模量為3.45×104MPa，塔的抗彎慣性矩為336m4，抗彎剛度為115.92×106kN·m2，塔高為133.5m，有效高度為36.71m，塔的重量為21200t。橋梁設(shè)計汽車荷載為公路-Ⅰ級。

圖4 橋梁工程圖（單位：m）Fig.4 Drawing of bridge engineering（unit：m）

4.1 有限元建模

在建立有限元分析模型時，應(yīng)盡量保證結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量和邊界條件與實(shí)際情況相符，以提高斜拉橋動力分析時模型的準(zhǔn)確性。

采用魚骨形模型建立斜拉橋有限元模型，利用空間有限元模擬索塔、主梁和橫梁，用空間桁架單元模擬斜拉索，斜拉索與主梁、橋塔及橫梁之間采用剛臂連接，墩柱底部采用固結(jié)體系，輔助墩和過渡墩處的主梁的約束類型為橫向約束和豎向約束。

模型約束條件如下：①塔柱在承臺頂部嵌固；②主梁支承在塔柱橫梁上；③主墩承臺下為多排摩擦樁；④輔助墩和過渡墩設(shè)置彈性連接單元模擬支座功能；⑤拉索與主梁連接處、塔柱與塔柱橫梁的交叉點(diǎn)處等使用剛臂單元。

對混凝土斜拉橋進(jìn)行動力特性分析時，主梁模型可采用多種單元進(jìn)行模擬，包括梁單元、板殼單元和實(shí)體單元以及這些單元的組合形式［6］。過于復(fù)雜地模擬主梁單元會大大增加計算負(fù)擔(dān)，且必要性不大。因此，鑒于算例橋梁的主梁由邊鋼箱、橫梁、小縱梁通過拼接板及高強(qiáng)螺栓連接形成鋼構(gòu)架，其上設(shè)預(yù)制橋面板，現(xiàn)澆混凝土濕接縫，與鋼梁上的剪力釘形成整體，組成鋼-混組合梁體系。在文中根據(jù)等效原則，對主梁的剛度、質(zhì)量和支承條件等進(jìn)行合理簡化，采用計算效率更高的雙主梁脊骨模型進(jìn)行模擬，對于預(yù)制橋面板，采用板單元進(jìn)行模擬［7］。在斜拉橋的動力性能計算時，斜拉索采用桁架單元進(jìn)行模擬［8，9］。

對于索塔以及橋墩和基礎(chǔ)等構(gòu)件，由于其剛度較大，采用彈性梁單元進(jìn)行模擬，而樁土相互作用則采用土彈簧進(jìn)行模擬。

基于上述模擬方式，按照簡化計算和保證計算準(zhǔn)確性的原則劃分單元長度，采用Midas程序進(jìn)行有限元建模，全橋2271個節(jié)點(diǎn)，4042個單元，其中梁單元2746個，桁架單元128個，板單元1168個，其有限元離散模型如圖5所示。

圖5 全橋有限元離散模型Fig.5 Discrete finite element model of the whole bridge

4.2 動力特性實(shí)測值

在建立了合理高效的有限元模型以后，對相應(yīng)施工階段的橋梁動力特性進(jìn)行分析。和理論分析相對應(yīng)，測點(diǎn)布置如下：主塔自塔頂至承臺沿塔身高度（等分）分別設(shè)置6個縱橋向和橫橋向速度測點(diǎn)。主梁沿縱向的八分點(diǎn)、四分點(diǎn)、二分點(diǎn)截面布置測點(diǎn)，在主梁的上游和下游側(cè)各布置1個豎向測點(diǎn)、1個橫橋向測點(diǎn)。動力特性試驗(yàn)采用橋梁振動數(shù)據(jù)采集和分析系統(tǒng)，利用DASP大容量數(shù)據(jù)采集處理分析平臺軟件、模態(tài)分析軟件進(jìn)行分析。實(shí)測的阻尼比在0.297%～8.623%之間，為小阻尼振動。

4.3 不同計算方法與實(shí)測值對比分析

有限元分析結(jié)果表明，塔柱縱橋向撓曲振型的頻率最小，屬第一階振型。通過分析對比發(fā)現(xiàn)，隨著懸臂施工過程的推進(jìn)，結(jié)構(gòu)第一階振型模態(tài)并沒有改變，但結(jié)構(gòu)自振頻率隨著施工過程不斷發(fā)生變化，不同方法的頻率變化曲線見圖6。施工階段自振頻率的理論值與實(shí)測值均小于1Hz，為低頻率振動結(jié)構(gòu)，自振頻率理論值與實(shí)測值對比見表1。表中，有限元法的數(shù)值采用Midas進(jìn)行計算，雙質(zhì)點(diǎn)體系的計算結(jié)果采用公式（10）進(jìn)行計算，估算公式采用公式（14）進(jìn)行計算。

圖6 自振頻率理論值與實(shí)測值比較Fig.6 Comparison chart of theoretical and actually measured value of natural frequency

從圖6和表1中可以看出：

（1）從0號段至16號段的施工過程中，各個階段施工后的結(jié)構(gòu)自振頻率理論值和實(shí)測值隨著施工階段的推進(jìn)趨于一致，而且對稱施工的橋梁結(jié)構(gòu)其振型是正對稱或者反對稱，說明采用有限元分析時的計算模型的建立準(zhǔn)確可靠；

（2）從0號段至16號段的施工過程中，各個階段的施工后結(jié)構(gòu)自振頻率實(shí)測值均大于理論值，說明施工的橋梁結(jié)構(gòu)沒有出現(xiàn)缺損等質(zhì)量問題，結(jié)構(gòu)實(shí)際的剛度大于設(shè)計剛度，滿足設(shè)計要求；

表1 自振頻率理論值與實(shí)測值對比Tab.1 Comparison of theoretical value and measured value of natural frequency

（3）伴隨著從0號段至16號段的施工進(jìn)展，梁體的重量逐漸增加，塔柱縱橋向撓曲的自振頻率逐漸遞減，呈線性變化；

（4）除了0號段以外，其他15個施工階段雙質(zhì)點(diǎn)法和估算法對于斜拉橋懸臂施工階段的自振頻率的計算誤差較小，雙質(zhì)點(diǎn)法與有限元法相比，最大誤差在14.1%，估算法與有限元法相比，最大誤差在14.9%。

5 結(jié)語

1.通過工程實(shí)例分析可知，斜拉橋懸臂施工過程中結(jié)構(gòu)自振頻率理論值和實(shí)測基本吻合，說明算例橋梁在施工階段的施工質(zhì)量和成橋階段的動力性能滿足設(shè)計要求；

2.通過分析振型和自振頻率，來評價施工階段的施工質(zhì)量能夠滿足設(shè)計要求，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論分析模型的準(zhǔn)確性；

3.采用簡化計算公式可以幫助橋梁建設(shè)者對斜拉橋施工階段的動力特性進(jìn)行迅速地判斷，可為同類型的橋梁設(shè)計和施工監(jiān)控提供參考。