黃 然

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

0 引 言

近年來,橋梁健康檢測(cè)技術(shù)愈發(fā)成熟和完善,基于動(dòng)力的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)是目前研究最為廣泛的一個(gè)方向,橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力參數(shù)是橋梁健康監(jiān)測(cè)的一個(gè)重要指標(biāo),結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)識(shí)別是基于結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)測(cè)試的模態(tài)分析方法,模態(tài)參數(shù)(通常是模態(tài)頻率)反映了結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài)信息。通過研究橋梁模態(tài)參數(shù)的改變來對(duì)橋梁健康狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)測(cè)和量化評(píng)估,是進(jìn)行橋梁健康監(jiān)測(cè)的基本思路[2]。

先前的研究表明溫度是影響模態(tài)參數(shù)尤其是模態(tài)頻率的最主要因素,主要原因有:① 溫度可以直接影響材料的彈性模量,而通常f～E1/2;② 溫度變化可以影響結(jié)構(gòu)的邊界條件,例如冬季基礎(chǔ)凍結(jié)會(huì)提高結(jié)構(gòu)的整體剛度;③ 溫度的變化在超靜定結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生溫度應(yīng)力,應(yīng)力的改變進(jìn)而會(huì)引起頻率的改變。例如,Alampalli[3]通過對(duì)一小橋研究表明,由于溫度下降邊界支座凍結(jié)導(dǎo)致的橋梁固有頻率的變化(變化幅度為=40%～50%)比人為造成損壞而導(dǎo)致頻率變化(變化幅度為=3%～8%)大了一個(gè)數(shù)量級(jí)。Askegaard等[4]發(fā)現(xiàn),一座3跨人行橋的正常頻率在一年中變化10%。

因此,在實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中環(huán)境因素的影響不可忽視,如何從健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中分離出溫度因素的影響一直是健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。因此,本文引入計(jì)量學(xué)中的協(xié)整理論,它在健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中分離這些無害的環(huán)境變化被證明具有巨大的潛力。

1 協(xié)整理論

1.1 概述

Cross[5]最先提出將計(jì)量學(xué)中的協(xié)整理論應(yīng)用到結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域,并且詳細(xì)分析協(xié)整為何可被應(yīng)用到結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中。這里首先介紹單整的定義,如果一個(gè)序列經(jīng)過一次差分后變成平穩(wěn)的,就稱該序列是一階單整序列,記為I(1)。一般地,如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列,則稱原序列是d階單整序列,記為I(d)。

而協(xié)整的定義最早是由Engle和Granger[6]給出的:

由n組的d階單整序列組成的向量yt=[y1t,y2t,…,ynt]′,如果存在一個(gè)向量β=[β1,β2,…,βn]′使得線性組合βyt=β1y1t+β2y2t,…,+βnynt是一個(gè)d-b階單整,其中b>0。則向量yt=[y1t,y2t,…,ynt]′稱為d、b階協(xié)整,記為yt～CI(d,b),向量β稱為協(xié)整向量。

1.2 ADF檢驗(yàn)

協(xié)整是分析非平穩(wěn)序列的一種工具,在應(yīng)用協(xié)整之前需要對(duì)序列進(jìn)行平穩(wěn)性判斷,確定序列的單整階數(shù),這里采用ADF檢驗(yàn)。ADF檢驗(yàn)是在Dickey和Fuller[7,8]提出的DF檢驗(yàn)基礎(chǔ)上擴(kuò)展形成的。對(duì)于一個(gè)p階自回歸模型AR(p):

yt=α1yt-1+α2yt-2+…+αpyt-p+ut

(1)

對(duì)式(1)進(jìn)行差分和整理得:

Δyt=δyt-1+η1Δyt-1+…+ηp-1Δyt-p+1+ut

(2)

式中:δ=α1+α2+…+αp-1;ηi=-(αi+1+…+αp);ut是白噪聲。

當(dāng)δ=0時(shí),即α1+α2+…+αp=1,此時(shí)式(2)作為一個(gè)線性差分方程,其對(duì)應(yīng)的特征方程λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0必存在一個(gè)單位根,因?yàn)棣?1是該特征方程的一個(gè)解,1-α1-α2-…-αp=0。ADF檢驗(yàn)的原假設(shè)和備用假設(shè)是H0∶δ=0和H1∶δ<0。

確定了各個(gè)變量的單整階數(shù)后,在滿足協(xié)整前提下就可以使用Johansen程序?qū)Χ鄠€(gè)序列之間是否存在協(xié)整向量進(jìn)行檢驗(yàn)。

1.3 Johansen協(xié)整檢驗(yàn)

Johansen[8,9]給出了一種基于矩陣的秩和特征根的協(xié)整檢驗(yàn)方法,稱為Johansen協(xié)整檢驗(yàn)?？紤]不包含截距項(xiàng)的n維p階VAR模型:

Yt=A1Yt-1+A2Yt-2+…+ApYt-p+et

(4)

對(duì)上式(4)進(jìn)行變形整理可以得到:

(5)

在滿足r(π)=r的條件下,最大化樣本數(shù)據(jù)[y1t,y2t,…,ynt]′的對(duì)數(shù)似然函數(shù)。為此,須先確定協(xié)整秩r。當(dāng)協(xié)整秩為r時(shí),系數(shù)矩陣π有r個(gè)自由(線性無關(guān))的行向量。當(dāng)協(xié)整秩r越大,對(duì)矩陣π的約束越少,對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)最大值應(yīng)該越大。

據(jù)此進(jìn)行似然比檢驗(yàn),由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量涉及矩陣的跡(主對(duì)角線元素之和),故稱為“跡統(tǒng)計(jì)量”(trace statistics),記為λtrace。

“跡檢驗(yàn)”(trace test)是似然比檢驗(yàn),為單邊右側(cè)檢驗(yàn),為單邊右側(cè)檢驗(yàn),即λtrace越大,則越傾向于拒絕原假設(shè)。

故首先進(jìn)行以下檢驗(yàn):

H0∶r(π)=0vsH1∶r(π)>0

原假設(shè)為協(xié)整秩為0,不存在協(xié)整關(guān)系;替代假設(shè)為協(xié)整秩大于0,存在協(xié)整關(guān)系。如果接受原假設(shè)H0∶r(π)=0,則認(rèn)為不存在協(xié)整關(guān)系。反之,繼續(xù)檢驗(yàn)是否存在多個(gè)協(xié)整關(guān)系,其對(duì)應(yīng)的原假設(shè)和備選假設(shè)為:

H0∶r(π)=1vsH1∶r(π)>1

如果依舊拒絕原假設(shè),則依次順序不斷進(jìn)行以下檢驗(yàn)：

H0:r(π)=2vsH1:r(π)>2

?

H0:r(π)=rvsH1:r(π)>r

直到接受原假設(shè),確認(rèn)協(xié)整秩r為止,即序列之間存在r個(gè)協(xié)整向量。

2 試驗(yàn)?zāi)Ｐ捅O(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的采集和處理

2.1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

為了深入研究協(xié)整算法在消除環(huán)境溫度的影響,本文以一個(gè)長3 m兩端固結(jié)的鋼梁為研究對(duì)象,梁兩端各使用4個(gè)高強(qiáng)螺栓固定在支座上,每個(gè)支座通過2個(gè)地錨固定在預(yù)留在地面的槽中。試驗(yàn)將整個(gè)梁劃分15等份,共布置14個(gè)加速度傳感器用以采集梁體的振動(dòng)信號(hào),加速度采樣頻率為500 Hz。除此之外,還在梁上布置3個(gè)溫度傳感器用以記錄試驗(yàn)過程中梁體的溫度變化,加速度的布置和激振器布置如圖1所示。

圖1 加速度傳感器和溫度傳感器布置

2.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集和數(shù)據(jù)處理

為了得到梁的頻率隨溫度變化的關(guān)系,分別對(duì)梁進(jìn)行升溫和降溫兩種操作,在溫度變化的過程中對(duì)梁使用激振器進(jìn)行脈沖激勵(lì),溫度變化過程中使用高精度的加速度傳感器采集梁體的振動(dòng)信號(hào)、使用溫度傳感器采集梁體的溫度變化。對(duì)采集的加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

梁在無損狀態(tài)下前4階頻率的時(shí)間序列的曲線圖如圖2所示。

圖2 前4階模態(tài)頻率識(shí)別值變化曲線圖

從圖2中可以看出,一方面結(jié)構(gòu)的前4階頻率的變化趨勢(shì)和溫度變化呈相反的趨勢(shì),隨著溫度的升高結(jié)構(gòu)的頻率逐漸降低,另一方面各階頻率隨著溫度變化都呈現(xiàn)出相同的趨勢(shì)。

2.3 基于協(xié)整消除溫度對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響

在進(jìn)行Johansen協(xié)整檢驗(yàn)之前,第一步需求被檢驗(yàn)變量是同階單整的,分別對(duì)這4個(gè)頻率序列進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn),檢驗(yàn)的結(jié)果見表1。

表1 結(jié)構(gòu)前4階頻率以及差分項(xiàng)ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果

由表1可以看出,結(jié)構(gòu)的前4階頻率均不能拒絕單位根的原假設(shè),其一階差分項(xiàng)在5%的顯著性水平下均拒絕原假設(shè),表明這4個(gè)頻率序列均為一階單整,即滿足Johansen協(xié)整的前提條件。圖3描繪了各階頻率之間的關(guān)系,從圖3中可以看出,f1,f2和f4之間有比較明顯的線性關(guān)系,而f3與其他各階頻率之間沒有明顯的線性關(guān)系[10],這也進(jìn)一步顯示了各階頻率序列之間可能會(huì)存在某種線性組合。在確定Johansen協(xié)整檢驗(yàn)的方程特征時(shí),協(xié)整方程存在截距項(xiàng),沒有趨勢(shì)項(xiàng),這4個(gè)變量的檢驗(yàn)的結(jié)果見表2。

圖3 各階頻率之間關(guān)系散點(diǎn)圖

表2 Jonhansen檢驗(yàn)結(jié)果

由檢驗(yàn)結(jié)果可知,4階頻率之間存在且只存在唯一的協(xié)整關(guān)系,通過計(jì)算可以得到標(biāo)準(zhǔn)化的協(xié)整向量為[1,-0.1813,-0.1713, 0.3670,-7.9295],因此,各個(gè)頻率序列之間的協(xié)整方程可以表示為:

f1+0.1813f2+0.1713f3-0.3670f4+7.9295=0

將結(jié)構(gòu)的前4階頻率利用上面的協(xié)整方程計(jì)算出協(xié)整余量序列，如圖4所示。圖4中上下兩條控制線為協(xié)整余量的均值±3標(biāo)準(zhǔn)差,根據(jù)協(xié)整理論可知,如果兩個(gè)或多個(gè)變量是協(xié)整的,那么它們的線性組合是原始數(shù)據(jù)集中共同趨勢(shì)的一個(gè)固定殘差。就結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)所測(cè)的參數(shù)而言,它所消除的共同趨勢(shì)就是環(huán)境和運(yùn)營條件的改變,在本例中消除的就是溫度因素。

圖4 協(xié)整余量曲線

3 結(jié) 論

(1) 結(jié)構(gòu)在無損狀態(tài)下,隨著環(huán)境溫度的升高,結(jié)構(gòu)的頻率逐漸降低,且多階頻率在溫度的變化下都呈現(xiàn)共同的趨勢(shì)。

(2) 通過協(xié)整分析可知,結(jié)構(gòu)的前4階頻率之間存在協(xié)整關(guān)系,通過線性組合得到一個(gè)消除多個(gè)變量共同趨勢(shì)的平穩(wěn)殘差，并且殘差序列在一定的范圍內(nèi)波動(dòng)，可以通過序列是否偏離控制線來判斷結(jié)構(gòu)的狀態(tài)。

(3) 與其他消除環(huán)境因素的方法相比,協(xié)整具有以下優(yōu)勢(shì):① 原理簡(jiǎn)單,理論明確;②不需要對(duì)原始序列進(jìn)行處理,保留了序列的原始特性。