楊 戈，劉先瑞，郭 平

（1.湖北三環(huán)智能科技有限公司，湖北武漢 430074；2.江蘇帝達(dá)貝軸承有限公司，江蘇無(wú)錫 2 141923；3.襄陽(yáng)汽車(chē)軸承股份有限公司，湖北襄陽(yáng) 441057）

0 引言

球軸承的剛度計(jì)算屬于典型的非線性求解問(wèn)題。Stribeck 首先應(yīng)用Hertz 理論建立了球軸承的靜力學(xué)分析模型，Jones 則建立了球軸承靜力平衡方程[1-2]。張振強(qiáng)[3]在Jones 建立的靜力平衡方程基礎(chǔ)上，對(duì)具有不同接觸角的軸承進(jìn)行了剛度的計(jì)算，但對(duì)于受純徑向載荷或純軸向載荷的軸承并不適用。張迅雷[4]對(duì)受純徑向載荷及受純軸向載荷的角接觸球軸承剛度分別作了精確計(jì)算，并與簡(jiǎn)化計(jì)算進(jìn)行了對(duì)比分析。但其推導(dǎo)出的徑向剛度、軸向剛度公式的正確性有待商榷。

鑒于此，本文基于滾動(dòng)軸承靜力學(xué)模型，用數(shù)值計(jì)算的方法，對(duì)球軸承受純軸向載荷、純徑向載荷條件下的軸承剛度分別作了詳細(xì)的推導(dǎo)和精確計(jì)算，完善了對(duì)球軸承靜力學(xué)剛度的研究。

1 球軸承剛度的數(shù)值計(jì)算

1.1 軸承套圈位移的計(jì)算

在軸向載荷、徑向載荷的作用下，假設(shè)內(nèi)、外圈保持相對(duì)平行的狀態(tài)移動(dòng)，軸承內(nèi)、外圈相對(duì)軸向位移為δa，相對(duì)徑向位移為δr。軸承徑向游隙為Gr，位置角為φ的鋼球彈性變形量為δ（φ），如圖1 所示。在圖中做位移的矢量合成，可得到以下關(guān)系：

圖1 軸向載荷、徑向載荷作用下套圈的位移和變形量

式中 δ——彈性變形量，mm

δa——套圈滾道相對(duì)軸向位移，mm

δr——套圈滾道相對(duì)徑向位移，mm

φ——滾動(dòng)體位置角，°

α——承載接觸角，°

Gr——徑向游隙，mm

當(dāng)φ=0 時(shí)，即位置角為0°的鋼球與滾道間的彈性變形量最大，為如果不考慮游隙的影響，則δmax=δrcosα+δasinα。

在純徑向載荷條件下，軸承僅產(chǎn)生徑向相對(duì)位移，δa=0。在純軸向載荷條件下，軸承僅產(chǎn)生軸向相對(duì)位移，δr=0。則δa和δr的表達(dá)式分別為在載荷作用下，內(nèi)、外圈滾道之間的相對(duì)位移量等于滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈滾道的彈性變形量之和，因此δmax=δimax+δemax。對(duì)于點(diǎn)接觸，內(nèi)、外圈滾道與滾動(dòng)體彈性變形量為

式中 δ——彈性變形量，mm

K——第一類(lèi)橢圓積分

μ——與接觸區(qū)大小有關(guān)的系數(shù)

Q——滾動(dòng)體載荷，N

ρ——曲率

式（2）為赫茲點(diǎn)接觸彈性變形量計(jì)算式[5]。

1.2 純軸向載荷條件下軸向剛度的計(jì)算

在純軸向載荷條件下，軸承內(nèi)任意一個(gè)滾動(dòng)體所承受的載荷Q 表示為

式中 Q——滾動(dòng)體載荷，N

Fa——軸向載荷，N

Z——鋼球個(gè)數(shù)

α——承載接觸角，°

軸向載荷作用于套圈上將產(chǎn)生軸向位移δa。從圖2 可看出，軸向位移沿接觸線方向的法向位移的分量為δn，其與原始接觸角α0、總曲率B 和鋼球直徑Dw的關(guān)系見(jiàn)式（4）。

圖2 軸向載荷條件下內(nèi)圈的位移

原始接觸角α0的計(jì)算方法見(jiàn)式（5）。

式中 Gr——徑向游隙，mm

ri——內(nèi)圈滾道溝半徑，mm

re——外圈滾道溝半徑，mm

Dw——鋼球直徑，mm

對(duì)于球軸承來(lái)說(shuō)，載荷Q 與載荷位移系數(shù)Kn的關(guān)系見(jiàn)式（6）

將式（4）代入式（6），則

Jones 軸向位移常數(shù)K 與載荷位移系數(shù)Kn有如下關(guān)系：

將式（8）代入式（7），可以得到

將式（9）代入式（3），可得到

式（10）中，K 的值僅僅取決于總曲率B，只有承載接觸角α未知。

式（10）為非線性方程，使用牛頓拉夫遜法對(duì)α 進(jìn)行迭代求解[6]。取原始接觸角α0為α 的初值，取精度控制參數(shù)為0.000 1。

求出承載接觸角α 后，即可通過(guò)以下兩個(gè)公式求出軸向位移δa。

將式（11）代入式（10），得

式（13）即為純軸向載荷條件下，軸向載荷Fa和軸向位移δa的關(guān)系式。將式（13）對(duì)δa求導(dǎo)，即可得到軸向剛度Ra計(jì)算式。

將式（15）～式（17）代入式（14），即可求解出軸向剛度Ra。

1.3 純徑向載荷條件下徑向剛度的計(jì)算

徑向載荷條件下內(nèi)圈的位移如圖3 所示。若徑向游隙為Gr，在純徑向載荷條件下，任意位置角φ的滾動(dòng)體的徑向位移可表示為當(dāng)φ=0 時(shí)（即位置角為0°）鋼球與滾道間的彈性變形量最大，為因此

圖3 徑向載荷條件下內(nèi)圈的位移

于是，δφ與δmax有如下關(guān)系：其中，ε 為承載率

對(duì)于點(diǎn)接觸球軸承，有Q=Kn=δ1.5，而所以

為了滿(mǎn)足靜力平衡，作用的徑向載荷必須等于滾動(dòng)體載荷的法向分量之和，于是

式（18）可以寫(xiě)成積分的形式

Sjovas[7]引入了徑向載荷分布積分Jr：

用Fr代替Qmax，則

聯(lián)立式（20）、式（21）求解δr，首先取簡(jiǎn)化計(jì)算的δr為初值，使用辛普森法求解式（20）中的Jr。然后將Jr代入式（21），使用割線法迭代求解δr，取精度控制參數(shù)為0.000 1。

式（21）為純徑向載荷條件下，徑向載荷Fr和徑向位移δr的關(guān)系式，將該式對(duì)δr求導(dǎo)即可得到徑向剛度Rr計(jì)算式。

將式（23）～式（25）代入式（22），并將Jr和δr代入即可求解出徑向剛度Rr。

2 實(shí)例計(jì)算分析

2.1 實(shí)例計(jì)算

實(shí)例1 來(lái)自文獻(xiàn)[7]第153 頁(yè)，為218ACBB 角接觸球軸承；Z=16；α0=40°；Dw=22.23 mm；鋼球節(jié)圓直徑Dpw=125.26 mm；ri=11.63 mm；re=11.63 mm；工況：純軸向載荷Fa=17 800 N。

該實(shí)例中的角接觸球軸承僅受純軸向載荷，根據(jù)本文1.2節(jié)，以α0=40°為初值，采用牛頓拉夫遜法迭代求出α，進(jìn)而求解出δa。最后將α 和δa代入Ra的計(jì)算公式，即可求解出軸向剛度Ra。本文將數(shù)值計(jì)算求解出的承載接觸角α、軸向位移δa與文獻(xiàn)中Harris 方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)表1。

表1 實(shí)例1 計(jì)算結(jié)果Harris 方法的對(duì)比

實(shí)例2 來(lái)自文獻(xiàn)[7]第148 頁(yè)，為209DGBB 深溝球軸承；Z=9；Gr=0.015 mm；Dw=12.7 mm；Dpw=65 mm；ri=6.604 mm；re=6.604 mm；工況：純徑向載荷Fr=8900 N。

該實(shí)例中的深溝球軸承僅受純徑向載荷，根據(jù)本文1.3 節(jié)，以簡(jiǎn)化計(jì)算的δr為初值，采用辛普森法求出Jr，然后使用割線法迭代求解出δr。最后將Jr和δr代入Rr的計(jì)算公式即可求解出軸向剛度Rr。

將數(shù)值計(jì)算求解出的徑向積分Jr、徑向位移δr與文獻(xiàn)中Harris 方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)表2。

表2 實(shí)例2 的計(jì)算結(jié)果與Harris 方法的對(duì)比

2.2 計(jì)算結(jié)果分析

可以看出，在純徑向載荷或純軸向載荷條件下，球軸承剛度計(jì)算方法不盡相同。為減少計(jì)算量，避免直接對(duì)軸承剛度進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，本文使用數(shù)值計(jì)算方法先求解出套圈相對(duì)位移，而后代入剛度計(jì)算式來(lái)計(jì)算剛度。通過(guò)實(shí)例計(jì)算結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，一方面，本文提出的數(shù)值計(jì)算方法是可行的，計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確的；另一方面，簡(jiǎn)化計(jì)算誤差較大，應(yīng)避免使用。與此同時(shí)，本文摒棄了以往剛度計(jì)算繁瑣的試解法、查表法，使計(jì)算求解過(guò)程變得更加快捷。

3 結(jié)束語(yǔ)

球軸承剛度的計(jì)算涉及赫茲點(diǎn)接觸彈性變形計(jì)算以及載荷分布計(jì)算，理論分析模型必須接近實(shí)際情況，才有助于球軸承的設(shè)計(jì)和選型。本文以球軸承靜力學(xué)模型為計(jì)算依據(jù)，對(duì)球軸承在純軸向載荷條件下、純徑向載荷條件下的剛度計(jì)算作了詳細(xì)推導(dǎo)。同時(shí)，提出了球軸承的剛度數(shù)值計(jì)算方法，并與權(quán)威文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比來(lái)驗(yàn)證計(jì)算的正確性，使得靜力學(xué)模型下的球軸承剛度計(jì)算更加完善。