吳小雪 丁大偉 任瑩瑩 劉賀平

二維系統(tǒng)與現(xiàn)代過程控制密切相關(guān),在污水處理、多維數(shù)字濾波器、衛(wèi)星氣象云圖分析、圖像處理等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[1?2].由于二維系統(tǒng)具有豐富的工程物理背景,至今仍是控制領(lǐng)域的研究熱點之一.近年來二維系統(tǒng)的分析和控制器設(shè)計方面取得了諸多成果,如文獻(xiàn)[3]給出了二維離散線性模型的穩(wěn)定性判據(jù),文獻(xiàn)[4]給出了二維離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計方法.在此基礎(chǔ)上,二維系統(tǒng)的濾波器設(shè)計、H∞控制等問題也得到了深入研究[5?6].

另一方面,現(xiàn)代工業(yè)過程對于系統(tǒng)安全性和可靠性的要求日益提高,因此故障檢測與故障診斷問題越來越受到重視[7?10].與一維系統(tǒng)相比,二維系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜,其故障檢測濾波器/觀測器的設(shè)計難度更大,需要提出新技術(shù)解決設(shè)計過程中遇到的非凸問題.此外,二維系統(tǒng)的殘差評價函數(shù)以及閾值的設(shè)計亦不同于一維系統(tǒng),需根據(jù)二維系統(tǒng)的特點構(gòu)造合適的殘差評價函數(shù)及閾值.因此,研究二維系統(tǒng)的故障檢測問題是非常必要的,也是存在挑戰(zhàn)的.然而,現(xiàn)有文獻(xiàn)的研究成果相對較少,其中文獻(xiàn)[11?13]研究了二維系統(tǒng)的故障檢測問題,采用了全頻設(shè)計方法,即沒有考慮故障發(fā)生的有限頻信息;文獻(xiàn)[14]研究了二維Roesser 系統(tǒng)在傳感器失效情況下的故障檢測問題;文獻(xiàn)[15]研究了二維FM 系統(tǒng)的故障檢測問題.

文獻(xiàn)[16]指出,系統(tǒng)設(shè)計時控制單元和故障檢測單元是相互關(guān)聯(lián)和作用的,如果將控制單元和故障檢測單元分開設(shè)計,容易忽視兩個單元間的關(guān)聯(lián)性:設(shè)計控制單元時容易影響故障檢測效果,而設(shè)計故障檢測單元時可能會影響控制效果.解決該問題的方法之一是采用集成設(shè)計策略,一方面可減少設(shè)計步驟,一定程度上降低設(shè)計的復(fù)雜度[17];另一方面,集成設(shè)計可以考慮控制單元和故障檢測單元的關(guān)聯(lián)性和相互作用,即兼顧和平衡控制性能和故障檢測性能.此外,集成設(shè)計也有助于在控制器中結(jié)合容錯特性[18].目前,集成設(shè)計的研究成果主要集中在一維系統(tǒng)[19],二維系統(tǒng)的相關(guān)研究成果較少[20].FM 模型作為一類重要的二維系統(tǒng)模型,其同時故障檢測與控制方法具有一定的理論意義和實際應(yīng)用價值,但該研究未見相關(guān)報道,這是本文的研究動機(jī)之一.

本文研究二維FM 系統(tǒng)的同時故障檢測與控制問題,采用有限頻性能指標(biāo)刻畫故障和干擾信號的有限頻特性,提出構(gòu)造切平面方法和兩步算法來解決設(shè)計過程中出現(xiàn)的非凸問題.本文所設(shè)計的故障檢測濾波器/控制器可以同時實現(xiàn)控制功能和故障檢測功能.此外,以往研究成果常采用遞增的殘差評價函數(shù),故障被排除后容易產(chǎn)生故障誤報.本文針對二維系統(tǒng)的故障檢測問題,采用新的殘差評價函數(shù),可降低故障誤報率.

1 系統(tǒng)模型

考慮如下二維離散FM 模型[21]:

其中,xxx(i,j)∈Rn為狀態(tài)向量,ddd(i,j)∈Rnd為外部擾動,fff(i,j)∈Rnf為故障信號,yyy(i,j)∈Rny為測量輸出,zzz(i,j)∈Rnz為被控輸出,A1,A2,Bu1,Bu2,Bf1,Bf2,Bd1,Bd2,C,Dd,Df,E,Fu為已知的具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.

注1.對于FM 模型,由于狀態(tài)向量xxx(i+1,j+1) 可以看做i方向上對xxx(i,j+1) 或者是在j方向上對xxx(i,j+1)進(jìn)行的一步前移運(yùn)算,故FM 模型需要三個向量來描述[22].

本文目標(biāo)是構(gòu)造如下形式的故障檢測濾波器/控制器:

2 問題描述與預(yù)備知識

增廣系統(tǒng)從故障fff(i,j)、干擾ddd(i,j) 到殘差?yyy(i,j) 和被控輸出zzz(i,j) 的傳遞函數(shù)分別由下式給出:

本文要討論的問題可歸納為:對于給定的二維FM 系統(tǒng),設(shè)計故障檢測濾波器/控制器(2),使增廣系統(tǒng)(3) 漸近穩(wěn)定,同時滿足如下控制指標(biāo)和故障檢測指標(biāo):

這里,γ1,γ2,β1,β2是給定的正標(biāo)量,k=1,2.

注2.有限頻H?指標(biāo)(9) 和有限頻H∞指標(biāo)(10)～(12)是相應(yīng)全頻域指標(biāo)的推廣,當(dāng)=π時,有限頻性能指標(biāo)退化為全頻性能指標(biāo).

注3.式(9) 和式(11) 為故障檢測性能指標(biāo),這兩個指標(biāo)保證了發(fā)生在有限頻域的故障對殘差信號有足夠大的影響,同時外部干擾對殘差信號的影響較小;式(10) 和式(12)為控制性能指標(biāo),即抑制故障和干擾信號對被控輸出的影響,保證系統(tǒng)有一定的魯棒性.

本文需要用到如下引理:

引理1[23].對于給定的對稱矩陣Ψ 和矩陣Γ,Λ,存在矩陣X,滿足Ψ+ΓXΛT+ΛXTΓ<0,當(dāng)且僅當(dāng)以下等式成立:

3 主要結(jié)果

接下來考慮系統(tǒng)故障檢測的魯棒性條件.令f(i,j)=0,則增廣系統(tǒng)變?yōu)?/p>

下面定理給出增廣系統(tǒng)(3) 滿足性能指標(biāo)(11) 的充分條件.

定理1～4 給出了故障檢測濾波器/控制器設(shè)計需滿足的有限頻域性能條件,由于廣義KYP 引理并不隱含系統(tǒng)的穩(wěn)定性[28],因此這些條件并不能保證所設(shè)計的系統(tǒng)是穩(wěn)定的.下面給出增廣系統(tǒng)(3) 漸近穩(wěn)定的充分條件:

4 解決方案

4.1 算法

上述定理中得到的矩陣不等式為非凸的,為了解決該難題,采取兩步算法進(jìn)行求解:

步驟1.設(shè)計狀態(tài)反饋控制器,使閉環(huán)系統(tǒng)(32) 滿足控制性能指標(biāo)(10) 和(12),得到控制器參數(shù)?Cc.

設(shè)計如下形式的狀態(tài)反饋控制器:

給定實參數(shù)a,b,若上述優(yōu)化問題可解,則控制器參數(shù)=Y X?1.

步驟2.在步驟1 的基礎(chǔ)上(已知),給定實參數(shù)a1,a2,b1,b2,求解如下的優(yōu)化問題:

注5.與一維系統(tǒng)相比,二維系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件和性能條件復(fù)雜,其故障檢測濾波器/控制器的設(shè)計過程更加困難.求解有限頻H?指標(biāo)時,一維系統(tǒng)可通過Finsler 定理等避免出現(xiàn)非凸問題,而二維系統(tǒng)由于其廣義KYP 引理的特殊形式,需要通過構(gòu)造切平面方法來解決設(shè)計過程中出現(xiàn)的非凸問題.二維系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計難度也更大,需利用廣義KYP 引理的對偶形式進(jìn)行構(gòu)造性證明.

4.2 殘差評價函數(shù)及閾值

受參考文獻(xiàn)[29]啟發(fā),選擇如下殘差評價函數(shù)及閾值:

其中,Jr(i,j) 和Jth分別表示殘差函數(shù)及閾值.閾值Jth可借鑒文獻(xiàn)[30]中的算法求出.根據(jù)如下的邏輯關(guān)系檢測系統(tǒng)是否發(fā)生了故障:

注6.對于二維系統(tǒng)而言,殘差評價函數(shù)需要從水平和垂直兩個方向定義以反映二維特性.本文選擇水平方向i ?s到i,垂直方向j ?t到j(luò)的矩形區(qū)域內(nèi)殘差的平均值作為評價函數(shù).而對于一維系統(tǒng),殘差評價函數(shù)只需要在一個方向上定義,其評估窗口通常為k0到k0+n的時間范圍.

5 仿真例子

考慮文獻(xiàn)[15]中給出的帶鋼軋制過程,如圖1 所示,

圖1 帶鋼軋制過程Fig.1 Strip rolling process

該軋制過程可用如下等式描述:

其中,p表示微分算子d/dt,yyyi(t) 是第i個實際壓輥間隙厚度,FFF m是由電動機(jī)產(chǎn)生的力,M是壓輥間隙調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的總質(zhì)量,λ1表示調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)彈簧,λ2表示帶鋼的硬度,λ=λ1λ2/(λ1+λ2) 是帶鋼和壓輥機(jī)構(gòu)的復(fù)合剛度.通過向后差分并用T1表示采樣周期,則上式可以用離散時間形式表示:

令λ1=λ2=1 800,T1=0.8,M=100,假設(shè)上述系統(tǒng)中發(fā)生了卡死型傳感器故障.利用本文所提出的方法設(shè)計故障檢測濾波器/控制器,同時保證一定的故障檢測性能和控制性能.給定加權(quán)值a1=0.1,a2=0.4,b1=0.4,b2=0.1,由于故障發(fā)生在低頻段,取頻率約束其余參數(shù)取為α=1.6537.根據(jù)上節(jié)所提出的算法,可得如下故障檢測濾波器/控制器參數(shù):

為了驗證該故障檢測濾波器/控制器的有效性,給出仿真結(jié)果(圖1～4).在仿真中,考慮卡死型故障

系統(tǒng)初始狀態(tài)設(shè)為xxxi(k,1)=0,(k,1)=0,xxxi(1,k)=0,(1,k)=0.采用參考文獻(xiàn)[30]中的算法,可得閾值Jth=0.8251.圖2 表示系統(tǒng)的故障,圖3 表示系統(tǒng)干擾,圖4 和圖5 分別給出了三維空間和二維空間的故障檢測效果.從圖5可以看出,當(dāng)i=15,23,35 時,殘差評價函數(shù)的值位于閾值的下方,表明系統(tǒng)沒有發(fā)生故障;當(dāng)i=44,40≤j ≤150 時,殘差評價函數(shù)的值位于閾值的上方,表明此時系統(tǒng)發(fā)生了故障,這與預(yù)設(shè)的故障一致,因此該設(shè)計可以有效地檢測出故障發(fā)生.

圖2 故障fff(i,j)Fig.2 Fault fff(i,j)

圖3 干擾ddd(i,j)Fig.3 Disturbance ddd(i,j)

圖4 三維空間中的殘差評價函數(shù)Jr(i,j) 和閾值JthFig.4 Residual evalution function Jr(i,j) and threshold Jth in three-dimensional space

接下來與傳統(tǒng)的分步設(shè)計方法[15]進(jìn)行比較,仍采用上文中的軋制模型中的數(shù)據(jù),先設(shè)計控制器,再設(shè)計故障檢測濾波器.在相同條件下進(jìn)行仿真研究,仿真結(jié)果如圖6～8 所示.圖6 為故障到殘差傳遞函數(shù)的奇異值比較,可以看出集成設(shè)計方法的故障靈敏性更高(奇異值更大).圖7 和圖8 為兩種方法的控制性能(即擾動抑制性能) 的比較,可以看出當(dāng)故障發(fā)生時,本文所提出的集成設(shè)計方法具有更好的擾動抑制能力.

圖5 二維空間中的殘差評價函數(shù)Jr(i,j) 和閾值JthFig.5 Residual evalution function Jr(i,j) and threshold Jth in two-dimensional space

圖6 故障到殘差傳遞函數(shù)G?yf(ω1,ω2) 的奇異值比較Fig.6 Singular value comparison of transfer functions G?yf(ω1,ω2) from fault to residual signal

6 結(jié)論

本文研究了FM 模型的同時故障檢測與控制問題.借助于二維廣義KYP 引理,直接處理系統(tǒng)需要滿足的有限頻性能指標(biāo),可避免頻率加權(quán)方法的復(fù)雜性.所設(shè)計的故障檢測濾波器/控制器,在檢測故障發(fā)生的同時,還可以滿足給定的控制性能指標(biāo).利用構(gòu)造切平面方法以及兩步法來解決設(shè)計過程中出現(xiàn)的非凸問題.仿真例子驗證了方法的有效性.

圖7 集成設(shè)計方法的控制性能Fig.7 Control performance of integrated design methods

圖8 分步設(shè)計方法的控制性能Fig.8 Control performance of separate design methods