侯森 胡長(zhǎng)青 趙梅?

1) (中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所東海研究站, 上海 201815)

2) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué), 北京 100049)

通過(guò)測(cè)量含氣泡水的聲衰減反演氣泡群參數(shù)是獲取水中氣泡分布的重要方法, 但是經(jīng)典方法忽略了較高濃度氣泡水中的強(qiáng)頻散特性和氣泡振動(dòng)參數(shù)的改變, 導(dǎo)致反演較高濃度氣泡群分布時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大誤差.為解決這個(gè)問(wèn)題, 本文基于等效媒質(zhì)理論建立起了聲衰減和相速度的聯(lián)系, 并考慮了含氣泡水平均量對(duì)氣泡阻尼系數(shù)和共振頻率的影響.在此基礎(chǔ)上, 通過(guò)將反演氣泡分布和修正相速度及氣泡振動(dòng)參數(shù)交替迭代的方法,有效地消除了高濃度氣泡水中由頻散和氣泡振動(dòng)特性改變引起的誤差.與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn), 氣泡群孔隙率達(dá)到10–5 時(shí), 考慮含氣泡水的頻散特性會(huì)顯著降低反演誤差; 而當(dāng)氣泡群孔隙率達(dá)到10–3 時(shí), 氣泡阻尼系數(shù)和共振頻率的修正會(huì)對(duì)反演結(jié)果變得重要.本文方法在反演孔隙率為10–3—10–2 的高濃度氣泡群時(shí), 仍有較好效果, 這可為獲取水下較高濃度氣泡群分布提供方法借鑒.

1 引 言

獲取水下氣泡群分布在軍事領(lǐng)域[1]、工業(yè)領(lǐng)域[2]以及科研領(lǐng)域[3]都有巨大的應(yīng)用價(jià)值, 其中通過(guò)聲衰減或聲散射反演氣泡群分布是探測(cè)水下氣泡群參數(shù)的重要方法[4?7].上世紀(jì)七十年代, Medwin[5]提出了共振估計(jì)方法(resonant bubble approximation, RBA), 在求解氣泡群聲衰減過(guò)程中只保留共振態(tài)氣泡的貢獻(xiàn), 簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程, 得出了簡(jiǎn)明的由聲衰減系數(shù)反演氣泡分布的公式, 成為了經(jīng)典的氣泡參數(shù)反演理論.此后很多學(xué)者在RBA 模型的基礎(chǔ)上做了更深入研究.Commander 和Moritz[8,9]指出忽略非共振態(tài)氣泡的影響會(huì)造成反演誤差, 并通過(guò)數(shù)值方法將非共振氣泡的貢獻(xiàn)引入到反演過(guò)程中.Caruthers 和Elmore[10]通過(guò)采用聲衰減數(shù)據(jù)和假定氣泡分布交替計(jì)算校正的方法, 在孔隙率低于10–6的條件下獲得了良好的反演結(jié)果.Choi等[11,12]則通過(guò)引入聲速修正結(jié)合奇異值分解的數(shù)值反演方法, 實(shí)現(xiàn)了對(duì)孔隙率為10–4氣泡群的反演.此外, 還有很多學(xué)者研究了基于聲衰減反演氣泡群分布的方法, 但這些方法都只適用于反演孔隙率低于10–4的氣泡群[13?16].

為了反演更高濃度氣泡群分布, Duraiswami[17]提出了通過(guò)聲衰減和相速度聯(lián)合反演氣泡群參數(shù)的方法.Wu 和Chahine[18], Chahine[19]進(jìn)一步發(fā)展了該方法, 并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了可以對(duì)孔隙率高于10–3的氣泡群進(jìn)行較為精確的反演.但Leighton等[20]指出, Duraiswami 方法同樣存在問(wèn)題, 在一些情況下得到的反演值可能會(huì)偏離真實(shí)值.原因有兩方面, 一方面精確測(cè)量高濃度氣泡水中的相速度技術(shù)難度大[20?22], 并且相速度在氣泡共振頻段附近測(cè)量誤差遠(yuǎn)大于聲衰減的測(cè)量誤差[22]; 另一方面, 隨著氣泡孔隙率的增加, 含氣泡水中平均量對(duì)氣泡振動(dòng)參數(shù)的影響變得明顯[23,24], Duraiswami的方法由于沒(méi)有考慮氣泡本身振動(dòng)參數(shù)的變化, 會(huì)在反演高濃度氣泡群時(shí)產(chǎn)生誤差.

考慮到RBA 模型及其改進(jìn)方法只適用于反演較低濃度氣泡群分布, 而Duraiswami 的方法受限于相速度測(cè)量困難, 應(yīng)用場(chǎng)景有限.因此, 研究?jī)H通過(guò)聲衰減值實(shí)現(xiàn)對(duì)較高濃度氣泡群的準(zhǔn)確反演具有重要意義.

本文基于等效媒質(zhì)理論(effective medium theory)[25,26], 在考慮了氣泡孔隙率增高對(duì)氣泡阻尼系數(shù)和共振頻率影響的基礎(chǔ)上, 推導(dǎo)了聲衰減-氣泡分布和聲衰減-相速度的關(guān)系.通過(guò)利用聲衰減反演氣泡分布和利用氣泡分布修正聲速及氣泡振動(dòng)參數(shù)交替迭代校正的方法, 將氣泡群頻散特性和氣泡參數(shù)修正量引入到反演計(jì)算中.通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比對(duì)發(fā)現(xiàn), 本文方法在反演孔隙率達(dá)到10–3—10–2量級(jí)的氣泡群時(shí), 依然有較好的效果.拓寬了利用聲衰減難以反演較高濃度氣泡群的限制條件.

2 氣泡群分布的反演方法

2.1 氣泡振動(dòng)模型與線性化求解

假設(shè)氣泡群在水中分布均勻, 且僅考慮氣泡在小振幅波下做線性振動(dòng), 則基于等效媒質(zhì)理論, 可以給出聲波在含氣泡水中傳播時(shí)的等效波數(shù)[23?26]:

式中, kl為純水中的波數(shù); r 為氣泡半徑; n (r) 為氣泡概率密度函數(shù); ω 為入射聲角頻率; ω0m和 bm分別為氣泡的共振角頻率和阻尼系數(shù), 通?？梢杂删€性化Keller 方程獲得, 同時(shí)考慮氣泡濃度較高時(shí)含氣泡水平均量對(duì)氣泡的作用, 則含氣泡水中的氣泡振動(dòng)特性如(2)式所示[23,26]:

其中, pB為氣液界面處液體側(cè)壓強(qiáng), 可以表示為如下公式:

式中, R 為任意時(shí)刻下的氣泡半徑; r 為氣泡平衡半徑, 與(1)式中表達(dá)相一致; p0為環(huán)境壓強(qiáng); δ 為張力系數(shù); μ 黏滯系數(shù); cm為含氣泡水中的復(fù)聲速;γ為多方指數(shù); ρm為含氣泡水的密度, 易得ρm≈(1 ?β)ρl, ρl為液體密度; β 為氣泡群孔隙率, 物理含義為單位體積內(nèi)氣泡的體積, 可由下面公式表示:

當(dāng)入射波為線性小振幅波時(shí), 氣泡作小振幅振動(dòng), 即 R =r(1+Xeiωt) , 且 X ?1.則通過(guò)線性化(2)式, 可以得到阻尼系數(shù)和氣泡共振角頻率分別如下公式所示:

其中 Φ 為一復(fù)數(shù)函數(shù), 其主要由熱擴(kuò)散系數(shù) D 決定, 如下式所示:

在考慮了含氣泡水中單個(gè)氣泡振動(dòng)特性的基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步考慮氣泡群整體對(duì)聲傳播的影響.不失一般性地假設(shè), 平面波沿 x 軸在含氣泡水中傳播,可以寫(xiě)成如下式:

式中, a 為復(fù)波數(shù) km的虛部, 表征聲衰減; ω /cre為km的實(shí)部, 其中 cre為含氣泡水中的聲速, 令u=cl/cre, cl為純水聲速, 則復(fù)波數(shù) km可以展開(kāi)為

將(1)式做同樣展開(kāi)處理, 則可以得到:

將(10)式和(11)式聯(lián)立并化簡(jiǎn), 可以得到a和 u 的表達(dá)式如下:

(12)式和(13)式分別為考慮含氣泡水平均量影響時(shí)的聲衰減和頻散特性的表達(dá)式, 對(duì)(12)式逆求解即可以通過(guò)聲衰減反演得到氣泡概率密度函數(shù) n (r).從(12)式中可以看出, 相速度 cre取值對(duì)聲衰減產(chǎn)生了直接的影響.此外, 結(jié)合(5)式和(6)式,含氣泡水平均量通過(guò)改變氣泡阻尼系數(shù) bm和共振角頻率 ω0m間接影響了聲衰減.為了在下文更清晰地討論這兩種影響, 不妨在忽略含氣泡水平均量影響下重寫(xiě)(12)式和(13)式.即將 km→kl, ρm→ρl代入到(5)式和(6)式中, 則可得 ω0=ω0m, b =Re(bm) ,Im(bm)=0 , 其中 ω0和 b 分別為氣泡在純水中的共振角頻率和阻尼系數(shù), 則(12)式和(13)式可以得到化簡(jiǎn):

(14)式和(15)式分別為不考慮含氣泡水平均量影響時(shí)聲衰減和頻散特性的表達(dá)式.將在第4 節(jié)通過(guò)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比對(duì), 具體探討聲速頻散和氣泡振動(dòng)特性改變對(duì)反演結(jié)果的影響.

2.2 正則化方法與迭代算法

反演的核心問(wèn)題在于對(duì)(12)式進(jìn)行逆求解運(yùn)算, 由于未知量 cre, ω0m和 bm的取值并不影響反演過(guò)程, 我們不妨先假設(shè)它們已知.首先做離散化處理, 將氣泡半徑區(qū)間 [ rlo,rhi] 劃 分為 m 個(gè)子區(qū)間, 則(12)式可以寫(xiě)成為

其中 a (ωj) 為角頻率為 ωj時(shí)的氣泡群聲衰減系數(shù).Ni=n(r)×dr, 為氣泡分布函數(shù), 表示單位體積內(nèi)第 i 個(gè)半徑區(qū)間內(nèi)氣泡數(shù), dr 為區(qū)間寬度; Aj,i表示半徑為 ri的單個(gè)氣泡在角頻率為 ωj時(shí)的聲衰減系數(shù), Aj,i可以表示為

由于(18)式中的方程組存在不適定問(wèn)題, 數(shù)據(jù)微小變化會(huì)引起解集巨大波動(dòng).這里運(yùn)用Tikhonov正則化方法, 將方程組的求解轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題,如下式所示:

式中, λ 為正則化參數(shù), 經(jīng)測(cè)試發(fā)現(xiàn)采用GCV(Generalized Cross-Validation)準(zhǔn)則作為 λ 的選取策略有較好的穩(wěn)定性, 如下面公式所示[27].其中 λ 為?GCV(λ)最小時(shí)的取值.

為了方便表達(dá), 將(16)式—(20)式離散化和正則化求解過(guò)程記為算子TIK.為了獲取準(zhǔn)確的相速度、氣泡阻尼系數(shù)和氣泡共振角頻率, 利用迭代方法對(duì)真實(shí)值進(jìn)行逼近.首先以純水中的參數(shù)作為初始值代入到第一次反演過(guò)程中, 即 cre=cl,bm,1=b , ω0m,1=ω0, 則對(duì)氣泡分布第一次求取過(guò)程可以寫(xiě)成:

假設(shè)第一次反演結(jié)果 n (r)1為氣泡真實(shí)分布,對(duì)各迭代參數(shù)進(jìn)行更新.聯(lián)立(1)式、(4)式和(5)式可以求得 bm; 聯(lián)立(1)式、(4)式和(6)式可得 ω0m; 將 bm, ω0m代入(13)式可以得到 cre.同樣為了簡(jiǎn)化表達(dá), 將上述參數(shù)的求解過(guò)程記為算子PAR, 可以寫(xiě)成為

將更新后的參數(shù)和氣泡分布 n (r)1代入到(12)式可以求得聲衰減 a1, 并以相對(duì)誤差?=|a1?a|/a檢驗(yàn)反演值是否收斂到真實(shí)值, 將上述過(guò)程記為算子ERR, 可以寫(xiě)成為

重復(fù)(21)式—(23)式步驟, 直到滿足迭代次數(shù)為止, 反演過(guò)程的流程圖如圖1 所示.

圖1 迭代方法反演氣泡分布流程圖Fig.1.Flow diagram of the iterative inverse method.

3 數(shù)值仿真

上一節(jié)給出了利用聲衰減反演氣泡群分布的方法, 本節(jié)通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)該方法有效性進(jìn)行驗(yàn)證, 并具體展示迭代反演的過(guò)程.在本節(jié)算例中,選取具有典型性的冪律分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布作為氣泡群假定分布.其中冪律分布代表以小氣泡為主的分布情況, 算例中設(shè)概率密度函數(shù) n (r)Power-law正比于 r?4.對(duì)數(shù)正態(tài)分布代表氣泡集中于平均半徑的分布情況, 概率密度函數(shù)如下式所示.

(24)式中, 設(shè)氣泡平均半徑 r0=0.1 mm , 并設(shè)對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差 ε =0.1.在給出氣泡分布的基礎(chǔ)上, 設(shè)氣泡群孔隙率 β =10?3, 純水聲速 cl=1500 m/s , 分別對(duì)半徑分布于 3 ×10?4— 8 ×10?4和 0.5×10?4—1.5×10?4m 的氣泡群做參數(shù)反演, 結(jié)果如圖2.

對(duì)照組使用常規(guī)護(hù)理措施，所涵蓋的護(hù)理項(xiàng)目和措施有健康告知、基礎(chǔ)護(hù)理操作、反應(yīng)各項(xiàng)生命體征和身體指標(biāo)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)[1]。觀察組的在實(shí)施上述護(hù)理操作的同時(shí)，輔之必要的心理護(hù)理操作，主要涵蓋的護(hù)理項(xiàng)目有：（1）滿足患者合理需求，消除負(fù)面情緒和負(fù)面影響，促進(jìn)患者適應(yīng)能力的提升[2]；（2）借助于交流、溝通、啟迪的方式完成對(duì)患者的針對(duì)性心理護(hù)理，促進(jìn)患者自我護(hù)理能力的提升。（3）依據(jù)評(píng)估-計(jì)劃-實(shí)施-評(píng)價(jià)等步驟，對(duì)患者開(kāi)展個(gè)性化的心理護(hù)理。

圖2 中, 每個(gè)子圖中的首張圖對(duì)應(yīng)TIK 算子反演氣泡分布的過(guò)程, 第二張圖對(duì)應(yīng)了通過(guò)PAR算子校正聲速的過(guò)程, 第三張圖對(duì)應(yīng)了通過(guò)ERR算子計(jì)算聲衰減的過(guò)程.圖2(a)中, 第一次迭代反演結(jié)果與假定分布差距巨大, 這對(duì)應(yīng)了含氣泡水中聲速等參數(shù)與純水的巨大差異.隨著迭代次數(shù)增加, 誤差迅速減小, 且最終反演值與假定分布吻合較好.圖2(b)所示為冪律分布, 從圖中可以看出除了最終結(jié)果符合假定分布外, 前幾次迭代結(jié)果的誤差明顯要比圖2(a)更小, 主要原因是沒(méi)有充分考慮含氣泡水頻散特性時(shí), 反演結(jié)果往往會(huì)出現(xiàn)小氣泡占多數(shù)而大氣泡數(shù)較少的分布特征[11,15], 正如四個(gè)子圖中氣泡分布反演圖所示.這使得相較于圖2(a)和圖2(b)的第1 次反演結(jié)果與假定分布更接近,即分布不同對(duì)收斂速度有一定影響.圖2(c)和圖2(d)為氣泡群半徑在 0.5×10?4— 1.5×10?4m 范圍內(nèi)的反演結(jié)果, 對(duì)比圖2(a)和圖2(b)可以看出, 不同半徑范圍內(nèi)的氣泡群反演結(jié)果相似, 說(shuō)明半徑區(qū)間不同對(duì)迭代算法的影響較小.計(jì)算四個(gè)算例輸出的孔隙率誤差分別為: ?a=+2.7 %, ?b=?0.9 %,?c=+3.6 %, ?d=+0.7 %, 可以看出雖然算例間的誤差存在微小差別, 但均在5%以?xún)?nèi), 可以認(rèn)為在以上四個(gè)算例中, 氣泡分布和氣泡半徑區(qū)間的不同沒(méi)有明顯影響反演結(jié)果的準(zhǔn)確性.通過(guò)本節(jié)仿真可以看出, 本文方法在反演較高濃度氣泡群分布時(shí)能得到較為穩(wěn)定準(zhǔn)確的解集.

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比對(duì)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的實(shí)用性, 并比對(duì)不同方法的反演結(jié)果.采用四份實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的聲衰減反演氣泡分布, 其中實(shí)驗(yàn)中獲得的氣泡分布參數(shù)如表1 所列.Wilson[28]于2005 年測(cè)量了孔隙率為6.2×10?5含氣泡水的聲衰減和相速度, 并通過(guò)拍照獲得了氣泡分布, 數(shù)據(jù)如表1 中例1 所列.本文在4.1 節(jié)中用例1 數(shù)據(jù)對(duì)比不同方法反演低孔隙率氣泡群的結(jié)果.Leroy[22]于2008 年采用向膠質(zhì)注射氣泡的方法獲取了半徑單一穩(wěn)定地高濃度氣泡群, 并在此基礎(chǔ)上測(cè)量了聲衰減、相速度和氣泡分布, 數(shù)據(jù)如表1 中例2 和例3 所列.本文在4.2 節(jié)中用以對(duì)比不同方法反演高孔隙率氣泡群的結(jié)果.Silberman[21]于1957 年測(cè)量了聲衰減數(shù)據(jù), 并給出了大致的氣泡分布范圍, 如表1 中例4 所列.本文在4.3 節(jié)中說(shuō)明當(dāng)聲衰減測(cè)量數(shù)據(jù)稀疏時(shí)遇到的問(wèn)題并討論相關(guān)解決方法.

圖2 迭代算法反演結(jié)果 (a) 對(duì)數(shù)正態(tài)分布, r ∈[3×10?4 m,8×10?4 m]; (b) 冪律分布, r ∈[3×10?4 m,8×10?4 m]; (c) 對(duì)數(shù)正態(tài)分布, r ∈[0.5×10?4 m,1.5×10?4 m]; (d) 冪律分布,r ∈[0.5×10?4 m,1.5×10?4 m]Fig.2.Theinversion results: (a) Log-normal, r ∈[3×10?4 m,8×10?4 m]; (b) Power-law, r ∈[3×10?4 m,8×10?4 m];(c) Log-normal, r ∈[0.5×10?4 m,1.5×10?4 m]; (d) Power-law, r ∈[0.5×10?4 m,1.5×10?4 m].

表1 各實(shí)驗(yàn)算例中的氣泡分布Table 1.Bubble distribution of 4 experimental examples.

4.1 低孔隙率氣泡群的反演

RBA 模型及其改進(jìn)方法是利用聲衰減反演氣泡群參數(shù)最常用的方法, 但通常認(rèn)為RBA 模型在反演孔隙率為10–5以上的氣泡群時(shí), 誤差會(huì)急劇增大.為了比較本文方法和RBA 理論模型的反演結(jié)果, 對(duì)例1 中的數(shù)據(jù)做反演, 結(jié)果如圖3 所示.

圖3 中, 圖例中RBA 所示虛線代表RBA 模型的反演結(jié)果, 方法一代表未考慮含氣泡水平均量影響的反演結(jié)果, 即以(14)式和(15)式代入迭代算法得到的反演結(jié)果.方法二代表考慮含氣泡水平均量影響后的反演結(jié)果, 即以(12)和(13)式代入迭代算法得到的反演結(jié)果.沒(méi)有特殊說(shuō)明, 后文圖例標(biāo)注和圖3 一致.

氣泡分布反演結(jié)果如圖3(a)所示, 方法一與方法二均與測(cè)量值較為吻合, 兩者間差別不大.而RBA 模型的反演值與實(shí)際分布誤差巨大.在實(shí)驗(yàn)測(cè)得的氣泡分布區(qū)間, 即0.62—0.65 mm 范圍內(nèi),反演值遠(yuǎn)低于實(shí)測(cè)值; 而在偏離實(shí)際氣泡分布的大氣泡區(qū)間和小氣泡區(qū)間, 均有明顯的高估現(xiàn)象.其誤差來(lái)源主要有兩方面: 一方面為忽略了氣泡非共振衰減的影響; 另一方面為將聲速假設(shè)為常數(shù)忽略了聲速頻散.而方法一和方法二在TIK 算子計(jì)算中沒(méi)有做與RBA 模型中類(lèi)似的近似求解, 保留了非共振衰減項(xiàng).并通過(guò)引入迭代方法, 在反演氣泡分布的過(guò)程中校正了聲速, 使得反演結(jié)果相較于RBA 模型有了明顯的改善.

含氣泡水的聲速如圖3(b)所示, 方法一和方法二計(jì)算得到的聲速值差別不大, 與測(cè)量值相比在5200—5800 Hz 段吻合較好, 而在高聲速段存在一定偏差但可以大致反映相速度變化趨勢(shì).相比于RBA 模型中將聲速假定為純水聲速, 由迭代方法校正的聲速改善效果明顯.由反演得到的氣泡分布計(jì)算出的聲衰減如圖3(c)所示, 方法一和方法二均與實(shí)驗(yàn)值符合較好, 表明了迭代算法的輸出結(jié)果較好地收斂到真值附近.而基于RBA 模型反演分布計(jì)算得到的聲衰減結(jié)果與實(shí)測(cè)值偏離較大, 對(duì)應(yīng)了RBA 得到的氣泡分布嚴(yán)重偏離真實(shí)值.

圖3 例1數(shù)據(jù)的反演結(jié)果圖, 氣泡群孔隙率β =6.2×10?5, 平均半徑 r =6.36×10?4 m (a) 氣泡分布反演結(jié)果; (b) 相速度計(jì)算結(jié)果; (c) 聲衰減計(jì)算結(jié)果Fig.3.Inversion results of Example 1, void fractionβ =6.2×10?5, mean radius r =6.36×10?4 m : (a) Bubble distributions; (b) phase speed; (c) sound attenuation.

從反演結(jié)果看, 方法一和方法二得到的結(jié)果差距不大, 都能較好地符合氣泡分布, 這說(shuō)明當(dāng)氣泡群孔隙率較低時(shí), 引入含氣泡水平均量對(duì)氣泡群反演結(jié)果影響較小.而相比于RBA 模型, 方法一和方法二的結(jié)果有明顯改善, 表明孔隙率在10–5量級(jí)時(shí), 聲速頻散和非共振衰減是影響反演結(jié)果準(zhǔn)確性的主要因素.

4.2 高孔隙率氣泡群反演

為了驗(yàn)證對(duì)孔隙率達(dá)到10–3以上氣泡群的反演能力.本節(jié)對(duì)例2 和例3 的數(shù)據(jù)做了反演, 分別如圖4 和圖5 所示.通過(guò)比較不同方法獲得的反演結(jié)果, 著重討論影響反演高濃度氣泡群準(zhǔn)確度的因素.

圖4 例2數(shù)據(jù)的反演結(jié)果圖, 氣泡群孔隙率β =1.5×10?3, 平均半徑 r =8.2×10?5 m (a) 氣泡分布反 演 結(jié)果; (b) 相速度計(jì)算結(jié)果; (c) 聲衰減計(jì)算結(jié)果Fig.4.Inversion results of example 2, void fractionβ =1.5×10?3, mean radius r =8.2×10?5 m : (a) Bubble distributions; (b) phase speed; (c) sound attenuation.

例二反演的氣泡分布如圖4(a)所示, 除了RBA 模型反演結(jié)果嚴(yán)重失真外, 方法一也存在較大偏差.方法一高估了85—100 μm 的大氣泡數(shù)量,低估了77 μm 以下的小氣泡數(shù)量, 同時(shí)反演得到的氣泡峰值位置與實(shí)測(cè)值相比向小氣泡區(qū)間偏離.方法二較好地估計(jì)了氣泡平均半徑, 但反演得到的氣泡分布相比于實(shí)測(cè)值更加集中, 即峰值更高分布區(qū)間更窄.考慮到氣泡分布標(biāo)準(zhǔn)差存在一定波動(dòng)范圍, 可以認(rèn)為方法二反演值與實(shí)測(cè)值符合較好, 相比于方法一有明顯的改善.計(jì)算得到的孔隙率上,方法一為1.42 × 10–3, 方法二為1.47 × 10–3, 兩者都與測(cè)量值1.5 × 10–3較為一致, 其中方法二符合更好.

反演得到的聲速值如圖4(b)所示, 兩種方法反演值在聲速上升和下降的頻段吻合較好, 而在高聲速區(qū)間均存在一定偏差, 但方法二更好地符合了聲速在峰值處的變化趨勢(shì).計(jì)算得到的聲衰減數(shù)據(jù)如圖4(c)所示, 可以看出, 方法一和方法二的結(jié)果均與實(shí)驗(yàn)值較為吻合, 說(shuō)明迭代算法輸出結(jié)果較好地收斂至輸入實(shí)測(cè)值附近.

圖5 例3數(shù)據(jù)的反演結(jié)果圖, 氣泡群孔隙率β=9.4×10?3, 平均半徑 r =8.6×10?5 m (a) 氣泡分布反演結(jié)果; (b) 相速度計(jì)算結(jié)果; (c) 聲衰減計(jì)算結(jié)果Fig.5.Inversion results of example 3, void fractionβ =9.4×10?3, mean radius r =8.6×10?5 m : (a) Bubble distributions; (b) phase speed; (c) sound attenuation.

例三氣泡分布反演結(jié)果如圖5(a)所示, 相比于圖4(a), 可以發(fā)現(xiàn)隨著氣泡孔隙率升高, 方法一誤差增大.方法一反演得到的氣泡分布峰值明顯向小半徑區(qū)間偏移, 同時(shí)高估了95 μm 以上的大氣泡數(shù).而方法二的反演值更符合實(shí)測(cè)值, 較好地估計(jì)了氣泡分布平均半徑和分布趨勢(shì).方法一得到的孔隙率為8.6 × 10–3, 方法二為8.8 × 10–3, 兩種方法結(jié)果相近且方法二更符合實(shí)驗(yàn)值.聲速值的反演如圖5(b)所示, 兩種方法反演值在聲速上升頻段與實(shí)驗(yàn)值吻合較好, 而在高聲速頻段存在一定偏差, 但方法二在聲速峰值頻段及高頻頻段與實(shí)測(cè)值符合更好, 總體看方法二更能代表相速度變化趨勢(shì).圖5(c)中, 兩種方法聲衰減計(jì)算結(jié)果均與實(shí)驗(yàn)值較為符合, 說(shuō)明輸出結(jié)果收斂至實(shí)測(cè)值附近.

圖4 和圖5 的結(jié)果具有一致性, 除了RBA 模型嚴(yán)重失真外, 方法一結(jié)果誤差也較大, 且隨著氣泡群孔隙率增大誤差有變大趨勢(shì).而方法二反演結(jié)果相比于方法一有較為明顯的改善, 可以較為準(zhǔn)確地反演得到氣泡的峰值位置和分布趨勢(shì).相比于低空隙率氣泡群反演結(jié)果, 可以看出當(dāng)氣泡群孔隙率較高時(shí), 考慮含氣泡水平均量對(duì)氣泡的作用對(duì)反演結(jié)果具有不可忽略的影響因素.

4.3 數(shù)據(jù)稀疏時(shí)的氣泡分布反演

在研究氣泡分布反演過(guò)程中發(fā)現(xiàn), 當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)稀疏, 尤其是氣泡共振頻段處數(shù)據(jù)稀疏時(shí), 會(huì)出現(xiàn)反演解集不穩(wěn)定的問(wèn)題, 對(duì)此做了進(jìn)一步探討分析.

如圖6 所示為三組孔隙率 β =1×10?6, 半徑單一的氣泡群聲衰減.從圖6 中可以看出, 氣泡共振頻段處聲衰減對(duì)頻率變化敏感, 而偏離共振頻段后敏感性降低.為了分析半徑相近氣泡的衰減峰位置, 假定氣泡振動(dòng)為絕熱過(guò)程, 可以化簡(jiǎn)(6)式得出氣泡共振頻率公式:

圖6 不同半徑氣泡群衰減峰位置Fig.6.Attenuation peak positions of bubble groups with different radius.

設(shè) f2, f1為兩個(gè)間隔 ? f 的入射聲頻率; ? r 為對(duì)應(yīng)的氣泡半徑間隔, 則由(25)式, 易得 ? f 與?r的關(guān)系如下:

在離散化求解的過(guò)程中, 如果劃分的半徑區(qū)間寬度過(guò)小, 即 d r

將(27)式代入(12)式中可以對(duì)聲衰減公式進(jìn)行化簡(jiǎn), 后續(xù)迭代流程與方法一和方法二類(lèi)似.為了方便表述, 在數(shù)據(jù)稀疏情況下, 只針對(duì)平均半徑和氣泡數(shù)的反演記為方法三.通過(guò)對(duì)例4 數(shù)據(jù)的反演, 來(lái)對(duì)比方法二和方法三在數(shù)據(jù)稀疏時(shí)反演的結(jié)果.

此處以氣泡概率密度函數(shù)表示氣泡分布, 則氣泡分布的反演結(jié)果如圖7(a)所示.通過(guò)圖7(a)可以看出, 方法三得到的氣泡平均半徑與實(shí)測(cè)值較為吻合.而方法二得到的結(jié)果與實(shí)測(cè)值偏差較大, 并沒(méi)有反映出氣泡群集中在2.2 mm 這一趨勢(shì).同時(shí)一般認(rèn)為氣泡分布在一定范圍內(nèi)是連續(xù)函數(shù), 方法二的反演結(jié)果有明顯的不穩(wěn)定現(xiàn)象, 相比之下方法三的結(jié)果與Silberman 給出的2.07—2.31 mm 的氣泡分布區(qū)間十分吻合.圖7(b)為相速度的反演值, 由于實(shí)驗(yàn)只測(cè)量了低頻段的聲速值, 兩種方法雖然在大于1000 Hz 的頻段處有明顯差別, 但在低頻段與實(shí)驗(yàn)值均符合較好.圖7(c)為聲衰減的計(jì)算值, 從圖中可以看出, 雖然兩種方法聲衰減在峰值處差距明顯, 但由于測(cè)量數(shù)據(jù)稀疏且沒(méi)有明顯峰值信息, 使得兩種方法都與反演結(jié)果相近, 其中半徑區(qū)間劃分精細(xì)的方法二與實(shí)驗(yàn)值符合更好.結(jié)合氣泡分布反演結(jié)果中方法二結(jié)果偏離真實(shí)值.這說(shuō)明了由于氣泡群共振頻段處數(shù)據(jù)的稀疏以及共振峰數(shù)據(jù)的缺失, 很容易使反演結(jié)果收斂至偏離實(shí)際分布的錯(cuò)誤解.而方法三通過(guò)簡(jiǎn)化氣泡概率密度函數(shù)有效改善了這個(gè)問(wèn)題.

圖7 例4數(shù)據(jù)的反演結(jié)果圖, 氣泡群孔隙率β =5.3×10?3, 平均半徑 r =2.2 mm (a) 氣泡分布反演結(jié)果;(b)相速度計(jì)算結(jié)果; (c)聲衰減計(jì)算結(jié)果Fig.7.Inversion results of example 4, void fractionβ =5.3×10?3, mean radius r =2.2 mm : (a) Bubble distributions; (b) phase speed; (c) sound attenuation.

5 結(jié) 論

本文通過(guò)迭代方法, 將相速度和氣泡振動(dòng)參數(shù)修正通過(guò)迭代方法代入了反演計(jì)算過(guò)程中.通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn), 在孔隙率為10–5的情況下, 含氣泡水平均量對(duì)反演結(jié)果影響較小, 而聲速頻散的影響顯著.通過(guò)保留非共振衰減和考慮聲速頻散, 本文方法相比于經(jīng)典的RBA 模型有顯著改善; 當(dāng)氣泡群濃度到達(dá)10–3時(shí), 含氣泡水平均量的引入對(duì)反演結(jié)果的改善效果變得明顯, 并隨著孔隙率進(jìn)一步增加而影響變大.最后本文針對(duì)數(shù)據(jù)稀疏時(shí)遇到的問(wèn)題給出了簡(jiǎn)化反演方法, 結(jié)果表明簡(jiǎn)化方法能夠較為準(zhǔn)確地給出氣泡群分布的主要參數(shù).

通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)反演實(shí)例表明, 本文方法可以較好地對(duì)孔隙率達(dá)到10–3以上的氣泡群進(jìn)行反演.拓展了利用聲衰減反演氣泡群的限制條件.在反演氣泡群分布的同時(shí)可以得到近似的氣泡群相速度曲線, 本文方法將為利用聲衰減反演氣泡群參數(shù)的發(fā)展提供有益思考.