石明寬， 趙榮珍

（蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 蘭州，730050）

引 言

對旋轉(zhuǎn)機(jī)械進(jìn)行故障診斷時，為了獲得可信度高的診斷結(jié)果，必須盡可能多的獲取故障信息［1］。通常采用多個傳感器進(jìn)行多通道的監(jiān)測，提取出多通道、多域的故障特征對故障進(jìn)行全面描述［2］。這導(dǎo)致了大量的冗余信息和高度相關(guān)的信息形成了“維數(shù)災(zāi)難”，不僅加重了分類器的工作負(fù)擔(dān)，同時也很難得到滿意的診斷結(jié)果［3］。因此，對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)據(jù)降維問題進(jìn)行研究，對于推動智能決策技術(shù)向工業(yè)大數(shù)據(jù)驅(qū)動的方向發(fā)展具有良好的促進(jìn)作用。

局部保持映射（locality preserving projection，簡稱LPP）［4］是對傳統(tǒng)拉普拉斯特征譜（Laplacian Eigenmap，簡稱LE）［5］嵌入進(jìn)行線性化近似的結(jié)果，其繼承了LE 算法保持樣本局部鄰域結(jié)構(gòu)不變的特點，同時解決了樣本外點學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的缺點。LPP 本質(zhì)是無監(jiān)督算法，忽略了有利于分類的判別信息，在投影之后會出現(xiàn)樣本點重疊，分類時容易出現(xiàn)錯分現(xiàn)象。線性判別分析（linear discriminant analysis，簡 稱LDA）［6］的 基 本 思 想 是 通 過 最 大 化Rayleigh 商的方式，實現(xiàn)類間散度最大的同時使類內(nèi)散度最小，尋找一個最佳判別投影矩陣，從高維特征集中提取出最具有判別能力的低維敏感特征子集，使得同類特征聚集更緊密，異類特征更分散。這種基于Rayleigh 商的降維方法能夠突出故障數(shù)據(jù)集之間的判別信息，在故障模式識別中具有一定的優(yōu)勢［7］。LDA 是基于保持全局結(jié)構(gòu)信息的降維算法，忽略了特征集的局部幾何結(jié)構(gòu)信息，而局部幾何結(jié)構(gòu)信息更能反映數(shù)據(jù)的幾何結(jié)構(gòu)［5］，且LDA 容易產(chǎn)生小樣本問題。針對上述問題，在LDA 的基礎(chǔ)上，結(jié)合LPP 的基本原理，筆者提出一種局部邊緣判別投影屬性約簡算法，以進(jìn)一步提高LDA 的識別性能。LMDP 引入了局部類內(nèi)相似度與局部類間相似度，不僅能夠反映樣本之間的近鄰關(guān)系，而且能夠反映類中心之間的近鄰關(guān)系。為了避免在實際應(yīng)用中可能出現(xiàn)的小樣本問題，在低維嵌入過程中構(gòu)建散度矩陣跡差形式的目標(biāo)函數(shù)，同時加入正交化約束，以減小投影后特征分量之間的信息冗余。

基于上述分析，本研究對基于LMDP 的轉(zhuǎn)子故障數(shù)據(jù)集降維方法進(jìn)行研究，從海量數(shù)據(jù)中挖掘更充分的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)信息，為智能故障模式識別技術(shù)的發(fā)展提供了一種理論參考依據(jù)。

1 基于LMDP 的故障診斷方法

1.1 LDA 算法簡介

設(shè)有M個訓(xùn)練樣本X=［x1，x2，…，xM］∈RQ×M，且這M個訓(xùn)練樣本被分為C類X1，X2，…，XC，每類含有n個樣本。線性判別分析定義的樣本類內(nèi)散度矩陣、類間散度矩陣可分別表示為

其中：mc為第c類樣本均值；m為總體樣本均值。

LDA 的目標(biāo)準(zhǔn)則函數(shù)為

1.2 LMDP 算法設(shè)計

1.2.1 基本思想

根據(jù)文獻(xiàn)［8］，LDA 的散度矩陣Sb，Sw可等價表示為

根據(jù)式（4），（5）可知，LDA 目標(biāo)函數(shù)的實質(zhì)是通過最大化異類中心點之間的距離，同時最小化同類樣本點之間的距離，實現(xiàn)同類樣本點相互靠近且異類樣本點相互分離的目的。

LDA 是一種基于樣本整體結(jié)構(gòu)的屬性約簡算法，并不能描述樣本之間的近鄰關(guān)系，且容易產(chǎn)生小樣本問題。針對LDA 的不足，LMDP 引入了同類樣本之間的相似度權(quán)重來描述同類樣本點之間的近鄰關(guān)系；同時引入異類中心點之間的相似度權(quán)重來描述異類中心點之間的近鄰關(guān)系；使相鄰的異類之間離的更遠(yuǎn)，相鄰的同類樣本之間聚的更近，在低維空間中更好地保持了局部幾何結(jié)構(gòu)。

1.2.2 目標(biāo)函數(shù)

對于數(shù)據(jù)分類，將相鄰的類區(qū)分開比將相距較遠(yuǎn)的類區(qū)分開要困難的多，只要相鄰的類的區(qū)分性好，那么與其他類將更容易區(qū)分和識別。因此，新的類間散度可定義為

其中：C為樣本類別個數(shù)為第i類樣本投影后的均值為第i類樣本均值；m=［m1，m2，…，mC］；E為對角矩陣，對角線元素Eii=為拉普拉斯矩陣；Sb為類間散度矩陣。

B為樣本均值相似矩陣，其元素為

其中：N（mi）為類i的k1個近鄰類組成的鄰域；k1為相鄰類的個數(shù)，即1≤k1≤C，本研究取k1=2；t為所有樣本之間歐式距離均值的平方［9］。

根據(jù)LPP 算法的主要思想，高維空間中離的很近的點映射到低維空間后也應(yīng)該離的很近［4］。因此，新的類內(nèi)散度可定義為

其中：nc為第c類樣本的個數(shù)；Dc為對角矩陣，對角線元素為拉普拉斯矩陣；為類內(nèi)散度矩陣

Wc為第c類樣本的相似矩陣，其元素為

其中：N（xi）為xi的k2個近鄰點組成的鄰域，近鄰值k2一般滿足大于低維空間維數(shù)d，小于樣本的個數(shù)Ni（i=1，2，…，C），即d＜k2＜Ni［10］，本 研 究 取k2=9。

為了避免小樣本問題，同時尋找一個類間散度矩陣最大和類內(nèi)散度矩陣最小的低維投影子空間，建立一個基于散度矩陣跡差的函數(shù)模型

為了調(diào)節(jié)不同散度的貢獻(xiàn)，將式（10）改寫為線性組合形式

其中：α為調(diào)節(jié)參數(shù)，0≤α≤1。

為了降低投影后特征分量之間的信息冗余，保留原始故障特征集的幾何結(jié)構(gòu)信息，加入正交化約束［1］。建立的目標(biāo)函數(shù)模型為

采用拉格朗日數(shù)乘法求解式（12），將其解轉(zhuǎn)化為

按照特征值由大到小的順序排列，有λ1≥λ2≥…≥λd，取前d個特征值所對應(yīng)的正交性特征矢量組成線性投影矩陣A=［a1，a2，…，ad］。

1.2.3 LMDP 算法步驟

LMDP 算法步驟如下：

1）根據(jù)式（7），式（9）分別計算類間、類內(nèi)相似度矩陣B與Wc；

3）建立式（12）所示的目標(biāo)函數(shù)，對其進(jìn)行特征值分解；

4）按照特征值由大到小的順序λ1≥λ2≥…≥λd，取前d個特征值所對應(yīng)的特征向量組成線性投影矩陣A=［a1，a2，…，ad］，并將高維樣本集X通過映射矩陣A投影到低維子空間上，得到映射后的低維特征子集Y=ATX。

1.3 基于LMDP 的機(jī)械故障診斷

圖1 為基于LMDP 的故障診斷流程圖，具體實現(xiàn)步驟如下。

圖1 故障診斷流程圖Fig.1 Procedure of fault diagnosis

輸入：高維數(shù)據(jù)X=｛x1，x2，…，xn｝，LMDP 算法近鄰值k1，k2，目標(biāo)維數(shù)d以及調(diào)節(jié)參數(shù)α。

輸出：低維敏感特征子集Y和投影矩陣A。

1）提取振動信號的11 個時域特征參數(shù)（P1～P11）和13 個頻域特征參數(shù)（P12～P24），組合得到高維原始故障特征集［11］，統(tǒng)計特征參數(shù)如表1 所示。

表1 統(tǒng)計特征參數(shù)Tab.1 Statistical characteristic parameters.

2）對高維故障特征集歸一化處理后分為訓(xùn)練集X1和測試集X2兩部分，將X1輸入LMDP 算法中進(jìn)行訓(xùn)練，得到線性映射矩陣A。用A對X1，X2特征投影得到低維敏感特征子集Y1，Y2。

3）將Y1，Y2分別輸入到KNN 分類器中進(jìn)行故障分類。

2 實驗驗證及結(jié)果分析

2.1 轉(zhuǎn)子故障模擬實驗Ⅰ

為了研究LMDP 的可行性和有效性，筆者用圖2所示的HZXT-DS-001 型轉(zhuǎn)子振動實驗臺進(jìn)行模擬分析。該實驗臺上4 個加速度傳感器分別采集每個軸承座的2 個徑向（x，y）和一個軸向方向（z）的振動信號；第5，6 個為電渦流傳感器，采集軸的徑向振動信號。在轉(zhuǎn)速為2600 r/min，采樣頻率為20 kHz 的狀態(tài)下，模擬6 種質(zhì)量不平衡轉(zhuǎn)動實驗，分別記為不平衡1、不平衡2、不平衡3、不平衡4、不平衡5 和不平衡6。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)故障狀態(tài)如表2 所示。采集每種故障的數(shù)據(jù)樣本80 組，前30 組作為訓(xùn)練樣本，后50組作為測試樣本。對每個通道傳感器采集的振動信號分別提取24 個特征參數(shù)，14 個通道共得到14×24=336 個特征。

圖2 轉(zhuǎn)子振動實驗臺Fig.2 Experiment of rotor vibration

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的故障狀態(tài)Tab.2 Fault conditions of rotor system

2.1.1 參數(shù)設(shè)定情況

筆者需要設(shè)定的參數(shù)包括LMDP 算法中的近鄰值k1和k2，低維空間維數(shù)d以及調(diào)節(jié)參數(shù)α。這里，k1=2，k2=9；通常將目標(biāo)維數(shù)d設(shè)為樣本類別數(shù)減1［10］，即d=6?1=5。為了測試調(diào)節(jié)參數(shù)α對故障識別精度的影響，設(shè)定間隔為0.1，α為0～1。圖3為不同調(diào)節(jié)參數(shù)α的故障識別率?？梢?，隨著α的增大，識別率先增大后減小，在本研究中取α=0.1。

圖3 不同調(diào)節(jié)參數(shù)α 的故障識別率Fig.3 Fault identification rate of different adjustment parameters α

2.1.2 高維數(shù)據(jù)低維可視化

為了驗證LMDP 的有效性與可行性，選擇與主成分分析（principal component analysis，簡稱PCA），LPP，LDA 等維數(shù)約簡方法進(jìn)行比較。基于上述方法的測試樣本三維特征分布結(jié)果如圖4 所示?？梢姡篜CA 的降維效果最差，同類特征分散，數(shù)據(jù)的隸屬關(guān)系非常模糊；LMDP 的降維效果最好，不同故障特征之間完全分離，各類數(shù)據(jù)清晰可見，相同類型聚集成團(tuán)；LPP，LDA 兩種降維方法的不同類型特征之間都存在一定的混疊，無法完全區(qū)分。

圖4 基于不同方法的測試樣本三維特征分布結(jié)果Fig.43-dimensional features scatter distribution of testing samples based on different dimensionality reduction methods

為了進(jìn)一步說明本研究方法具有較好的降維效果，考察降維后的特征集的可分性，引入了類間、類內(nèi)距離的可分性指標(biāo)對測試樣本集的分類與聚類程度給予量化評價［12］。低維測試集的C類樣本數(shù)據(jù)為yri（r=1，2，…，C；i=1，2，…，N），其聚類中心為低維特征集的類間距、類內(nèi)距和可分性指標(biāo)分別定義為

可見，類間距Sb反映了各類別之間的分離程度，類內(nèi)距Sw體現(xiàn)了每類樣本分布的緊湊程度。低維測試集的類間距越大，類內(nèi)距越小，則可分性指標(biāo)ρ就越大，特征集的分類聚類效果就越好。

各類算法降維后的可分性指標(biāo)如表3 所示?？梢钥闯?，LPP 的可分性指標(biāo)最小，只有8.4966；LMDP 的可分性指標(biāo)最大，高達(dá)347.4101。可見，相對于其他算法，LMDP 具有較好的降維效果和較大的可分性，表明LMDP 具有較好的維數(shù)約簡能力，在數(shù)據(jù)降維中有一定的優(yōu)勢。

表3 各類算法降維后的可分性指標(biāo)Tab.3 The separability index based on different dimensionality reduction algorithms

2.1.3 故障分類效果

為了直觀反映LMDP 等方法的降維效果，將各個算法降維后的特征子集輸入到KNN 分類器中進(jìn)行故障模式辨識。不同維數(shù)約簡算法的識別準(zhǔn)確率如表4 所示。

從表3 和表4 可知：PCA 的平均識別準(zhǔn)確率最低，這是因為PCA 是無監(jiān)督全局保持算法，在屬性約簡過程中忽略了樣本類別信息，同時很難挖掘出數(shù)據(jù)的低維流行特征；LPP 的平均識別率略高于PCA，因為LPP 是無監(jiān)督局部保持算法，沒有利用類別信息，導(dǎo)致故障特征解耦不完全、各個特征之間仍存在混疊；LDA 的平均識別率高于PCA 和LPP，是因為LDA 利用了有利于分類的類別標(biāo)簽信息，充分考慮了樣本的分散性和內(nèi)聚性；LMDP的識別準(zhǔn)確率最高，主要是因為LMDP 將樣本的局部幾何信息有效融入到維數(shù)約簡中，實現(xiàn)了類別信息與數(shù)據(jù)集局部幾何信息的有效結(jié)合，在挖掘原始故障數(shù)據(jù)集中蘊含的轉(zhuǎn)子故障信息的同時，實現(xiàn)對不同轉(zhuǎn)子故障的有效解耦，得到了最有辨別力的低維特征子集，一定程度上提高了故障特征集的可分性。

表4 不同維數(shù)約簡算法的識別準(zhǔn)確率Tab.4 The recognition accuracy of different dimensionality reduction algorithms %

為了驗證LMDP 算法的泛化能力，將上述4 種算法在不同轉(zhuǎn)速下降維得到的低維特征子集輸入KNN 分類器中進(jìn)行故障模式識別，不同算法在不同轉(zhuǎn)速下的識別精度如圖5 所示?？梢钥闯觯诓煌D(zhuǎn)速下，LMDP 降維方法的平均識別率明顯優(yōu)于其他3 種降維方法，表明LMDP 具有廣泛的適用性和較強(qiáng)的故障識別精度。

圖5 不同算法在不同轉(zhuǎn)速下的識別精度Fig.5 Identification accuracy of different algorithms at different speeds

2.1.4 算法復(fù)雜度分析

一般降維算法的復(fù)雜度O主要由樣本個數(shù)M、原始維數(shù)Q、目標(biāo)維數(shù)d以及近鄰值k等因素決定［13］。所提出算法中的復(fù)雜度由3 部分組成，建立近鄰圖需要O（QMlogM），計算鄰接權(quán)矩陣需要O（M2），對M×M矩陣進(jìn)行特征分析，所需要的時間復(fù)雜度為O（pM2）（p為稀疏矩陣中非零元素與零元素比率）。4 種算法的時間復(fù)雜度如表5 所示?？梢姡捎贚MDP 算法需要對局部特征進(jìn)行提取，局部特征提取時同時考慮到鄰域樣本的相似性和鄰域類別的差異性，計算量有所增加，但相差甚微，相對于提高識別精度，此計算代價是可接受的。

表5 算法的時間復(fù)雜度Tab.5 Time complexity of all the algorithms

2.2 轉(zhuǎn)子故障模擬實驗Ⅱ

本次實驗研究對象為文獻(xiàn)［14］中的一套雙跨子轉(zhuǎn)子實驗臺。該實驗臺上12 個電渦流傳感器布置在6 個關(guān)鍵面處相互垂直的方位上，通過不同方位來采集轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動信號。在轉(zhuǎn)速為2800 r/min，采樣頻率為5 kHz 的狀態(tài)下模擬5 種典型轉(zhuǎn)動狀態(tài)實驗，即轉(zhuǎn)子不對中、質(zhì)量不平衡、動靜碰磨、軸承松動和正常狀態(tài)。采集每種狀態(tài)的數(shù)據(jù)樣本80 組，其中30 組作為訓(xùn)練樣本，剩余50 組作為測試樣本。對每個通道的傳感器采集的振動信號分別提取時域和頻域共24 個統(tǒng)計特征參數(shù)，12 個通道共得到288 個特征參數(shù)。

2.2.1 高維數(shù)據(jù)低維可視化

本實驗LMDP 所選近鄰參數(shù)與實驗1 相同，k1=2，k2=9，目標(biāo)維數(shù)d=4，α=0.1。為進(jìn)一步驗證LMDP 的可行性與有效性，將原始高維故障數(shù)據(jù)集經(jīng)PCA，LPP，LDA 和LMDP 降維，基于不同狀態(tài)的測試樣本三維特征分布結(jié)果如圖6 所示。由圖6可知：PCA 的聚類分類效果最差，各類特征比較分散；LPP，LDA 均存在一定的特征混疊；LMDP 的聚類分類效果最好，同類故障特征比較集中，不同故障特征完全分離。

為了進(jìn)一步說明LMDP 的優(yōu)勢，按式（16）計算各降維算法降維后的特征集可分性指標(biāo)，如表6 所示?？梢姡琇MDP 的可分性指標(biāo)遠(yuǎn)大于其他算法，進(jìn)一步證明了LMDP 具有較好的降維效果。

2.2.2 故障分類效果

將低維特征子集用KNN 分類算法進(jìn)行故障分類，上述4 種降維算法的識別準(zhǔn)確率如表7 所示。由表7 可以看出，LMDP 的識別準(zhǔn)確率高于其他3 種降維算法，表明LMDP 降維方法較其他方法有較好的維數(shù)約簡能力，更有利于故障類別的劃分。

圖6 基于不同狀態(tài)的測試樣本三維特征分布結(jié)果Fig.63-dimensional features scatter distribution of testing samples based on different dimensionality reduction methods

表6 各類算法降維后的特征集可分性指標(biāo)Tab.6 The separability index based on different dimensionality reduction algorithms

表7 不同降維算法的識別準(zhǔn)確率Tab.7 The recognition accuracy of different dimensionality reduction algorithms %

3 結(jié)束語

針對轉(zhuǎn)子故障特征集維數(shù)過高而導(dǎo)致的分類困難問題，筆者提出了一種基于局部邊緣判別投影（LMDP）的故障數(shù)據(jù)集維數(shù)約簡方法。首先，將轉(zhuǎn)子振動信號轉(zhuǎn)化為高維特征集；其次，采用提出的LMDP 從高維故障特征集中挖掘出最具有判別能力的低維敏感故障特征子集；最后，通過KNN 對低維敏感特征子集進(jìn)行故障模式辨識。2 個轉(zhuǎn)子實驗結(jié)果表明：LMDP 相對于PCA，LPP 和LDA 等維數(shù)約簡方法，可以提取出可分性更好的低維空間故障特征子集，在模式識別方面具有一定的優(yōu)勢，有效提高了轉(zhuǎn)子故障診斷的精度，為旋轉(zhuǎn)機(jī)械智能故障診斷提供了一種新的解決方案。