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(上海航天設備制造總廠有限公司，上海 200240)

0 引言

主軸熱誤差是影響機床加工精度的主要因素，約占機床總誤差的75%，嚴重制約著高精度零件的加工[1-3]。采用軟件補償方法是一種有效消除熱誤差的方法，軟件補償方法建立主軸熱誤差補償?shù)年P鍵問題,在于選擇合格的溫敏點和建立合適的熱誤差補償模型。

在溫敏點的布置和選擇上，溫度測量點越多，熱誤差模型建立越精確，但溫度測量點過多，不僅會增大安裝溫度測點的工作量、溫度數(shù)據(jù)的處理量，還會導致各溫度測點信號彼此干擾，影響溫度檢測的精度，最終導致熱誤差模型精度降低。國內(nèi)外學者針對這些問題做了大量的研究[4-6]。王桂龍等[7]提出了一種結合模糊聚類理論和灰色關聯(lián)理論的測點優(yōu)化方法，通過對最優(yōu)溫測點進行實效分析，可有效地實現(xiàn)溫測點選擇。楊漪等[8]通過主成分分析的方法對多個溫度變量進行降維處理，將溫度變量中的主成分作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入，結果顯示基于主成分降維后的模型精度高、殘差小。在建立熱誤差補償模型上，王維等[9]提出一種數(shù)控機床的幾何與熱誤差綜合建模及實時補償方法，利用數(shù)控系統(tǒng)坐標偏置功能進行補償，提高了機床本身的定位誤差。張海妮[10]提出了改進的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的機床熱誤差建模方法，改進后的模型具有較好的預測精度。

本文在對臥式加工中心主軸溫度、熱誤差檢測的基礎上，利用質心聚類、灰色關聯(lián)分析的方法得到關鍵測點，通過建立多元線性回歸的方法建立溫度測點和機床主軸熱伸長的誤差模型，對主軸熱伸長在恒定轉速、變轉速工況下進行補償，以提升精密機床加工精度。

1 多元線性回歸分析

多元線性回歸建模方法是一種可以建立多輸入單輸出的統(tǒng)計學建模方法，在數(shù)控機床主軸熱誤差建模方面有著廣泛的應用，線性回歸的基本模型為

Y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε

(1)

Y為因變量;x1,x2,…,xp為自變量，代表有p個自變量;β0,β1,…,βp為多元回歸模型的回歸參數(shù);ε為服從正態(tài)分布的隨機誤差。假設樣本有n組數(shù)據(jù)，那么轉化成矩陣可以表示為

(2)

簡化為

Y=Xβ+ε

(3)

通過最小二乘方法對參數(shù)β進行估計。設b0,b1,b2,…,bp為β0,β1,…,βp的最小二乘估計，則線性回歸返程可以表示為

(4)

即求解微分方程組

(5)

則最終求解的回歸方程可以表述為

y=b0+b1x1+…+bpxp

(6)

在溫度誤差模型建立中，自變量x1,x2,…,xp為最優(yōu)測量的溫度值，因變量y為主軸熱伸長的測量值，最小二乘估計值b0,b1,b2,…,bp為熱誤差模型的待求解參數(shù)。

2 溫敏點選擇

2.1 傳感器測點布局

本次實驗通過對某型四軸臥式加工中心主軸軸向熱變形進行測量，溫度測量采用Pt100溫度傳感器，主軸的熱伸長采用電渦流位移傳感器。傳感器的布置如圖1所示，溫度傳感器共布置了12組，分別位于主軸端面、前軸承、后軸承、主軸箱、變速箱、主軸電機上；電渦流位移傳感器布置在主軸的蓋板端面、主軸端面以及主軸箱面上，用于測量主軸熱伸長誤差。

圖1 溫度測點布置

2.2 溫度數(shù)據(jù)采集

在上述試驗系統(tǒng)中，設置主軸恒定轉速分別為3 000 r/min、6 000 r/min，以及變轉速為5 000-3 000-1 000-0-5 000-3 000-1 000 r/min共3種工況狀態(tài)，測量環(huán)境溫度保持在(20±3) ℃，每1 min采集1次數(shù)據(jù)，記錄每個溫度傳感器和電渦流位移傳感器的采集數(shù)據(jù)，測量的結果分別如圖2～圖7所示。

圖2 3 000 r/min工況測點溫度變化曲線

圖3 6 000 r/min工況測點溫度變化曲線

圖4 變轉速工況測點溫度變化曲線

由圖2和圖3可以看出，主軸在保持恒定轉速時，各測點溫度達到熱平衡大約在3 h左右，各測點溫度達到熱平衡與主軸轉速成正比，溫升變化最快的測點位于變速箱和主軸電機處，其余各溫度變化不大。同樣對于主軸變速運作時，如圖4所示，變速箱和主軸電機溫度同樣也與轉速呈正比關系。

圖5 3 000 r/min工況測點熱伸長變化曲線

圖6 6 000 r/min工況測點熱伸長變化曲線

圖7 變轉速工況測點熱伸長變化曲線

針對主軸熱伸長量，由圖5～圖7可知：當主軸轉速為3 000 r/min且連續(xù)運轉4 h后，主軸熱伸長達到平衡，且主軸最大熱伸長為47 μm；當主軸轉速為6 000 r/min且連續(xù)運轉3 h后，主軸熱伸長達到平衡，且主軸最大熱伸長為77 μm，主軸熱伸長和轉速成正比。

2.3 溫度敏感點分析

為了排除溫度變量的強耦合性，盡可能減少溫度變量的數(shù)目，采用FCM聚類的方法進行聚類分組。FCM是一種模糊C均值聚類方法，可以根據(jù)樣本的隸屬度來表示該樣本屬于某一類別的程度，其流程如下所述。

a.假定數(shù)據(jù)集為X，將此數(shù)據(jù)劃分為c類，c個類中心為C，每個樣本j屬于某一類i的隸屬度為uij，則FCM目標函數(shù)及約束條件為：

(7)

(8)

xj表示第j個樣本；ci表示第i個類的中心；m為隸屬度因子，一般取2。

b.通過式(7)和式(8)對采集的溫度數(shù)據(jù)進行分類，分類后的結果如表1所示，可將溫度數(shù)據(jù)分成10種聚類方案。

表1 溫度測點聚類結果

c.在聚類分組后，為了判別聚類結果的好壞，計算分組內(nèi)的有效性指標F為

(9)

i,j=1,2,…,ci≠j

c為溫度變量的分組數(shù)，第i組有ci個溫度變量；x(i)為第i組聚類中心。式(9)中分子項為最大的類內(nèi)距離，分母標識最小的類間距離，兩者之比最小，即F值最小，表明該分組后的聚類結果為最優(yōu)聚類。

d.通過式(9)計算表1中10種分類方案的有效性指標F，計算的結果如圖8所示，由圖8可知，聚類數(shù)為2時,有效性指標F最小，表明將溫度數(shù)據(jù)分組為2時最為合適。

圖8 聚類有效性指標F

e.完成聚類分組后，需要選出每組溫度變量與主軸熱伸長誤差進行相關系數(shù)分析，并將相關系數(shù)最大的溫度測點作為溫度敏感點，相關系數(shù)計算公式為

(10)

f.通過式(10)計算聚類數(shù)為2時的相關系數(shù)，計算的結果如表2所示。

由表2可以看出，溫度測點9和測點12的相關系數(shù)在聚類數(shù)為2時組內(nèi)最大，表明該2點與機床主軸熱伸長誤差關系最為密切，因此選擇這2個點作為最優(yōu)溫度敏感點，而這2點也正是變速箱和主軸電機所貼的溫度測點。

表2 相關系數(shù)的數(shù)值和排序

3 主軸熱誤差補償實驗

精密數(shù)控機床主軸實時補償試驗系統(tǒng)整體的邏輯架構如圖9所示。通過預測不同熱敏點溫度確定對應的主軸熱伸長補償值，通過PLC程序改寫數(shù)控系統(tǒng)NC變量，根據(jù)主軸熱伸長補償量實時修正機床空間坐標。

圖9 主軸熱誤差實時補償方法

主軸轉速為3 000 r/min、6 000 r/min以及變速工況下，變轉速主軸補償前后的熱伸長量如圖10～圖12所示。

圖10 3 000 r/min工況主軸熱誤差補償曲線

由實驗結果可知，主軸在恒定轉速下，補償前后的主軸熱伸長量在0左右平穩(wěn)波動，波動范圍約在-12～+12 μm，可較好地補償機床主軸熱伸長帶來的誤差，滿足恒定轉速以及變轉速情況下的補償要求。

圖11 6 000 r/min工況主軸熱誤差補償曲線

圖12 變轉速工況主軸熱誤差補償曲線

針對上述補償結果進行切削試驗，加工材料為鑄鐵，銑刀直徑為10 mm，進給速度為500 mm/min，切深為1 mm。選擇恒定3 000 r/min和上述變轉速工況進行試驗，切削試驗板如圖13所示，切削結果如圖14～圖15所示。

圖13 切削試驗件

圖14 3 000 r/min恒定轉速切削

圖15 變轉速切削

由圖14～圖15可知，有補償后的刀具的相對切深要小于無補償?shù)南鄬η猩?，說明通過誤差補償，減小了主軸熱伸長帶來的誤差，提高機床的加工精度。

4 結束語

本文針對精密數(shù)控機床主軸熱伸長誤差，采用模糊C均值聚類和相關系數(shù)的方法，得到了對主軸熱誤差影響最大的熱敏點，通過多元線性回歸建立了熱敏點和主軸熱伸長的補償模型，通過對恒定轉速和變轉速工況下機床進行誤差補償和切削試驗驗證，表明該方法可有效地降低機床主軸熱伸長誤差。