劉 威，楊 娜,2，白 凡,2，常 鵬,2

(1.北京交通大學土木建筑工程學院，北京100044；2.結構風工程與城市風環(huán)境北京市重點實驗室，北京100044)

對于大型工程結構，通過環(huán)境激勵[1-3]的工作模態(tài)分析(operational modal analysis，OMA)既能確保結構的安全，還能降低維護和管理的成本[4]。通常將環(huán)境激勵視為平穩(wěn)白噪聲，基于這一信號輸入假定以及線性結構分析的前提，可僅通過輸出響應進行結構模態(tài)識別。在眾多時、頻域識別方法中，隨機子空間法(stochastic subspace identification，SSI)屬于現(xiàn)代譜分析的范疇，為參數(shù)化的計算方法，憑借較強的魯棒性和有效性而被廣泛使用[5]。

基于統(tǒng)計概率意義的多維數(shù)據(jù)模態(tài)分析，SSI具有同時處理多維數(shù)據(jù)特點[6]。由于其直接利用測試得到的響應數(shù)據(jù)構建計算結構模態(tài)參數(shù)的矩陣，避免了傳統(tǒng)的模態(tài)識別方法中采用傅里葉變換造成的譜泄漏等問題。識別過程中根據(jù)算法不同可分為數(shù)據(jù)驅動隨機子空間(data-driven stochastic subspace identification，SSI-Data)及協(xié)方差驅動隨機子空間(covariance-driven stochastic subspace identification，SSI-Cov)。由于前者涉及投影矩陣的計算，計算效率較低，因此本文選擇SSI-Cov進行研究。

SSI-Cov 中涉及一些重要參數(shù)，如系統(tǒng)階數(shù)N、Hankel 矩陣中過去輸出子矩陣的行塊數(shù)g和未來輸出子矩陣行塊數(shù)h、Toeplitz 矩陣的行塊數(shù)i和列塊數(shù)j等[7]。其識別模態(tài)參數(shù)的精度不僅取決于環(huán)境因素的影響，還依賴于人為選擇參數(shù)的合理性[8]。合理的參數(shù)選擇是準確識別結構模態(tài)的前提[9]，而準確識別結構的模態(tài)對于結構的健康監(jiān)測及損傷評估至關重要。

因此，對相關參數(shù)進行敏感性分析以及提出建議取值對模態(tài)參數(shù)的準確識別具有重要意義。此外，目前關于利用SSI-Cov 對藏式古城墻進行模態(tài)識別的研究相對匱乏，并且用于SSI-Cov 的參數(shù)選擇研究更是鮮有報道。本文基于敏感性分析，結合一經典數(shù)值算例分析了系統(tǒng)階數(shù)N及Toeplitz 矩陣行塊數(shù)i對模態(tài)識別過程中穩(wěn)定圖及計算結果的影響規(guī)律。提出在利用SSI-Cov進行模態(tài)識別過程中，可引入奇異熵增量理論確定系統(tǒng)階數(shù)N，并給出i的建議取值范圍。最后根據(jù)藏式古城墻模態(tài)識別的應用，說明了本文所研究的參數(shù)優(yōu)化方法可準確識別結構的動力特性。

1 協(xié)方差隨機子空間算法

SSI-Cov 基于隨機狀態(tài)空間模型[6]，首先將響應數(shù)據(jù)表達為Hankel矩陣，然后通過計算響應數(shù)據(jù)的協(xié)方差序列組成Toeplitz 矩陣，最后通過對Toeplitz 矩陣進行奇異值分解和特征值分解得到系統(tǒng)矩陣，從而完成結構的模態(tài)參數(shù)識別。

Hankel 矩陣定義為：

對于離散系統(tǒng)，最終只需要求出系統(tǒng)矩陣A及輸出矩陣C即可完成模態(tài)參數(shù)的識別，其中C為 Γi的前l(fā)行。

模態(tài)參數(shù)識別過程中，穩(wěn)定圖法廣泛應用于真假模態(tài)的鑒別。由于實際工程結構的系統(tǒng)階數(shù)往往未知，因此通常假定系統(tǒng)階數(shù)為Nmin至Nmax。系統(tǒng)的特征值兩兩共軛，階數(shù)必須為偶數(shù)。通過將計算結果繪制在二維坐標圖上(橫軸為頻率、縱軸為系統(tǒng)階數(shù))，從而形成穩(wěn)定圖[14]。其中，對于相鄰系統(tǒng)階數(shù)為2n和2n+2下的識別結果，需要進行穩(wěn)定準則(式10(a)～式10(c))判斷，只有滿足穩(wěn)定準則的模態(tài)結果才繪制在穩(wěn)定圖上。

式中：H為Hermit 轉置；MAC為模態(tài)置信因子[11]。

2 數(shù)值模型

為了研究SSI-Cov 的關鍵參數(shù)對模態(tài)識別的影響，基于MATLAB語言設計程序，通過參考相關算例[15]建立一個5自由度質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的數(shù)值模型(如圖1所示)。

圖1 5自由度質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)模型Fig.1 A 5-DOFmass-spring-dashpot system

模型中每個單元質量、剛度、阻尼系數(shù)分別為：mn=50 kg，kn=2.9×107N/m，cn=1000(N·s)/m。通過特征值分析，模型前5階頻率、阻尼比以及振型系數(shù)理論值分別，如表1、表2所示。

表1 模型理論頻率和阻尼比Table 1 Theoretical values of model frequency and damping ratio

利用MATLAB對首個質量塊m1輸入高斯白噪聲激勵，采樣頻率700 Hz，采樣時間50 s，各通道采集的數(shù)據(jù)長度為35 000。提取各質量塊輸出信號如圖2所示。

表2 模型理論模態(tài)振型Table 2 Theoretical value of modal shape of the model

圖2 白噪聲下各質量塊輸出信號Fig.2 Output signal of each massblock under whitenoise

3 SSI-Cov 算法的模型修正及參數(shù)優(yōu)化

利用SSI-Cov 進行系統(tǒng)識別時，是基于構建的數(shù)學模型與測量數(shù)據(jù)的擬合，以提取未知的模型參數(shù)。通過對Toeplitz 矩陣T1|i進行奇異值分解以及對系統(tǒng)矩陣A進行特征值分解，從而完成未知模型參數(shù)的計算。

在利用SSI-Cov 進行模態(tài)識別涉及的參數(shù)中，j應趨于無窮大，然而由于測試數(shù)據(jù)長度不可能為無限，為充分利用所測試數(shù)據(jù)，設數(shù)據(jù)總長度為s，則可得：

在對li×li維的矩陣T1|i進行奇異值分解時可知i與N在算法上需要滿足以下關系：

由式(12)可知，當系統(tǒng)階數(shù)N確定時，i的選擇存在一個下限值。但實際應用中，當結構基頻f0相對于采樣頻率fs較低情況下，此時i又設置的較小時，會使得Hankel塊矩陣中的輸出協(xié)方差數(shù)據(jù)信息不全，從而導致部分模態(tài)信息的缺失。因此，Reynders[16]通過不確定性分析給出了i的建議值，令 β=fs/f0，則：

本文主要針對N、i這兩個自定義參數(shù)的選擇對計算精度的影響展開分析。由于在對Toeplitz 矩陣進行奇異值分解以及對系統(tǒng)矩陣進行特征值分解過程中涉及到逆問題的求解，故引入條件數(shù)κ來衡量數(shù)值誤差對識別精度的影響：

式 中，λ1、λN分 別為Toeplitz 矩陣T1|i(系統(tǒng) 矩陣A)中的第1個和第N個奇異值。

根據(jù)穩(wěn)定圖的工作原理，為了準確量化模態(tài)識別的穩(wěn)定性，通過計算識別結果中頻率(阻尼比)的總變異系數(shù)δF|D作為評價指標：

式中：n為目標識別模態(tài)的階數(shù)； σi、μi分別對應第i階模態(tài)在Nmax階下計算結果的標準差和均值。

3.1 系統(tǒng)階數(shù)N

本數(shù)值模型中，目標識別模態(tài)為系統(tǒng)的前5階，即n=5；理論系統(tǒng)階數(shù)為10。為分析參數(shù)N對識別結果的影響，結合式(13)暫取i=3β ≈60，j=s-2i+1=34881。

由于噪聲的影響不可避免，使得高階的原本等于零的奇異值不完全等于零，從而無法直接通過對Toeplitz 矩陣進行奇異值分解確定系統(tǒng)階數(shù)。在使用穩(wěn)定圖方法時，要先假設一個較大的系統(tǒng)階數(shù)N，N的選取是否合理，直接影響穩(wěn)定圖的效果：取值偏大，導致穩(wěn)定圖中出現(xiàn)較多虛假模態(tài)；取值較小，則發(fā)生系統(tǒng)真實模態(tài)遺漏。因此，設置最大系統(tǒng)階數(shù)為Nmax∈[6,42]，且公差為4的等差序列。

圖3～圖5分別給出了在不同系統(tǒng)階數(shù)下(N=10、26、42)識別結果的穩(wěn)定圖、條件數(shù)及相應的變異系數(shù)。其中，對于該數(shù)值算例，頻率識別精度相對較高，故僅針對阻尼比變異系數(shù)進行比較；另外，為了分析計算精度與變異系數(shù)之間的關系，同時在圖5中加入阻尼比總誤差，即所識別的各階阻尼比與理論值的絕對誤差的平均值，其中所識別的各階阻尼比是指穩(wěn)定圖各極軸中對應阻尼比的平均值。

圖3 不同系統(tǒng)階數(shù)下的穩(wěn)定圖Fig.3 Stability diagrams at different system orders

由圖3可知：隨著系統(tǒng)階數(shù)的增大，頻率穩(wěn)定極軸逐漸出現(xiàn)數(shù)學虛假模態(tài)的干擾。部分可能的模態(tài)與數(shù)學模態(tài)相關聯(lián)而圍繞在物理極點附近形成新的極軸，從而給各階模態(tài)的準確識別帶來困難。當N=10，即等于理論系統(tǒng)階數(shù)時，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的前5階模態(tài)均很好的識別，并且無數(shù)學模態(tài)出現(xiàn)。

圖4 條件數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的變化規(guī)律Fig.4 Variation law of condition number with system order

圖5 阻尼比識別結果變異系數(shù)及平均誤差Fig.5 Coefficient of variation and average error of damping ratio recognition results

條件數(shù)反映了逆問題求解過程中線性方程組的病態(tài)與否。當條件數(shù)越小，求解精度越高，響應數(shù)據(jù)的擾動對系統(tǒng)的擾動越小。圖4給出了Toeplitz 矩陣以及系統(tǒng)矩陣A的條件數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的變化規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)二者均隨N的增大而增大，整體呈正相關關系。

圖5根據(jù)式(15)計算了阻尼比在不同系統(tǒng)階數(shù)時的總體變異系數(shù)：當N＜26時，總變異系數(shù)及平均誤差均維持在相對較低的水平；當N＞26時，阻尼比變異系數(shù)急劇增大，平均誤差也越來越大。二者表現(xiàn)出一定的相關性，原因在于變異系數(shù)反映了不同系統(tǒng)階數(shù)下模態(tài)識別結果的穩(wěn)定性，當變異系數(shù)值較大時，往往對應于穩(wěn)定圖中出現(xiàn)較多的數(shù)學極點干擾，從而影響模態(tài)識別精度，造成較大誤差。另外，當N=6時，第4和第5階模態(tài)出現(xiàn)遺漏，原因在于系統(tǒng)階數(shù)太低(低于真實系統(tǒng)階數(shù))。

為了對系統(tǒng)階數(shù)進行準確識別，本文通過引入奇異熵增量理論來確定N。首先，奇異譜表示的是各個狀態(tài)變量在整個系統(tǒng)中所占能量的相對關系；而熵是一切事物狀態(tài)不確定性的度量，信息熵是考察信號包含信息量的有效指標之一[17-19]；因此，奇異熵對信號信噪比的變化反映非常敏感，可用于系統(tǒng)階數(shù)的識別。

假定系統(tǒng)有m個狀態(tài)，每個狀態(tài)存在的概率為pi，則該系統(tǒng)的熵E可表示為：

在無噪聲或高信噪比情況下，通過對Toeplitz矩陣進行奇異值分解得到其特征值對角矩陣為：

式中，k為奇異熵的階數(shù)，k≤N。ΔEi表示奇異熵在階數(shù)i處的增量，其表達式為：

當奇異熵增量降低到漸近值時，信號的有效特征信息量才算基本完整；此時，對于同一信號，不論其信噪比高低，對應的奇異譜階數(shù)完全相同?；谄娈愳剡@一特性，當奇異熵增量趨于穩(wěn)定時，所對應的奇異譜階數(shù)即可認為是系統(tǒng)階數(shù)。

隨著系統(tǒng)階數(shù)的增大，對于指定的一個系統(tǒng)，不同N值下的奇異熵增量計算結果相同。以N=10、26、42為例，截取計算結果的前30階進行繪圖，該系統(tǒng)奇異熵增量均如圖6所示。在實際工程應用中，通過對奇異熵計算一階靈敏度可以進一步直觀的觀察系統(tǒng)階數(shù)。由圖6可知，當N=10時，奇異熵增量的一階靈敏度降低為0，即該數(shù)值模型的系統(tǒng)階數(shù)為10，結果與理論值一致。

3.2 Toeplitz 矩陣行塊數(shù)i

圖6 奇異熵增量及其一階靈敏度Fig.6 Singular entropy increment and its first-order sensitivity

結合式(12)、式(13)可知，當系統(tǒng)階數(shù)N確定，i≥max(N/l,0.5β)。即便如此，對于參數(shù)i，僅可以得到其下限值，并沒有確保子空間模型和響應數(shù)據(jù)擬合更優(yōu)、穩(wěn)定圖更清晰的取值范圍，而i的取值對計算結果和穩(wěn)定圖的影響不可忽視[20]。因此，在數(shù)值模型和實際應用中，首先基于奇異熵理論確定系統(tǒng)階數(shù)N，然后通過分析i的取值對Toeplitz 矩陣T1|i(系統(tǒng)矩陣A)的條件數(shù)以及穩(wěn)定圖識別質量的影響，分析其最優(yōu)化取值區(qū)間。

根據(jù)數(shù)值算例，取N=10，i=[β:0.5β:5β]。圖7反映了不同i值對條件數(shù)的影響，即在β ～5β，Toeplitz 矩陣T1|i(系統(tǒng)矩陣A)的條件數(shù)對i的取值不敏感，整體波動較小。i=β 、 3β 、 5β時的穩(wěn)定圖結果如圖8所示。當i＞4β時，由于i的取值過大而導致第5階模態(tài)在穩(wěn)定圖上出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象(如圖8(c)所示)。由于該5自由度數(shù)值模型系統(tǒng)階數(shù)較小，僅為10階，所以在實際繪制穩(wěn)定圖時N的取值也可適當大于基于奇異熵識別的系統(tǒng)階數(shù)。

圖7 條件數(shù)隨i 值的變化規(guī)律Fig.7 Variation law of condition number with i value

圖8 不同i 值下的穩(wěn)定圖Fig.8 Stability diagramsat different valuesof i

圖9給出了阻尼比在不同i值下的變異系數(shù)及平均絕對誤差。由圖可知：識別的前5階目標阻尼比的變異系數(shù)在i=β～2β時逐漸增大，在i=4β～5β時逐漸減小，在i=2β～4β時呈現(xiàn)先減后增的趨勢。結合平均絕對誤差先減小后增大的規(guī)律可得：當i=2β～4β時，阻尼比變異系數(shù)和平均絕對誤差均相對較小。其中，i=3β時阻尼比的變異系數(shù)最小，為0.89%，前5階阻尼比平均絕對誤差為8.75%，前5階理論與識別的振型MAC值分別為1、1、0.994、0.996、0.993。因此，基于數(shù)值算例分析可得：當i=2β～4β時，模態(tài)識別的精度較高。

圖9 阻尼比識別結果的變異系數(shù)及平均誤差Fig.9 Coefficient of variation and average error of damping ratio recognition results

4 應用

4.1 現(xiàn)場測試

4.1.1結構概況

本文研究的藏式古城墻為西藏地區(qū)某典型古城墻。該城墻被門樓、塔樓分為5段。由于墻體周邊地面有起伏，從不同位置測量高度有差異，各段高度為6.0 m～6.9 m(不考慮女兒墻高度)。底部厚度為4.2 m～5.8 m，頂部為3.1 m～3.8 m。

古城墻原為夯土墻，夯土中摻入了卵礫石，后來先后在城墻內外立面各增加一層0.5 m 厚的石砌體。墻體采用收分設計，高大厚重，兩側的石砌體為方石疊壓片石的結構，沿石砌體墻面不同高度處還不規(guī)則的設置了透氣孔。根據(jù)上述建造工藝，從而形成了藏式傳統(tǒng)古城墻獨特的建筑風格。然而經歷數(shù)個世紀的自然災害洗禮，古城墻局部出現(xiàn)了較嚴重的病害，如東墻北段曾發(fā)生大面積坍塌，如圖10所示。

圖10 E 段墻發(fā)生坍塌Fig.10 Collapse of section E wall

4.1.2環(huán)境激勵測試方案

對于城墻結構，振動主要體現(xiàn)為平面外振動。為了獲取其平面外振動特性，從而了解各段墻體的模態(tài)信息，具體包括結構頻率、阻尼比、振型。根據(jù)結構特點以及測試條件限制，按照圖11所示的截面(A1～E2)分別對5段城墻進行加速度信號動力測試，截面選取原則為：1)對于較短的墻A、D，選擇跨中作為測試截面；2)對于較長的墻B、C、E，選擇近似三分點處；3)考慮墻體中部透氣孔分布的隨機性。

圖11 城墻測試截面示意圖/m Fig.11 Schematic diagram of the test section of the city wall

為避免對城墻結構造成影響和破壞，采用環(huán)境激勵法進行動力測試。測點布置原則為：1)結合城墻結構分布有透氣孔這一特點，各測試截面按照內側墻底、內側墻中、內側墻頂、外側墻頂、外側墻底分別布置5個測點(如圖12)；2)其中內側墻中測點優(yōu)先選在1/2高處，實際布置高度均予以測量；3)測點方向布置為朝墻體內側方向，即南墻傳感器方向均為由南向北，東(西)墻傳感器方向均為由東(西)向西(東)。各測點傳感器通過快干粉固定并調至水平。

圖12 墻體透氣孔分布及傳感器布置情況Fig.12 Distribution of air permeability holesin wallsand arrangement of sensors

測試設備如圖13所示：數(shù)據(jù)采集設備為北京東方所INV3062T 四通道采集儀，測試時最多需要3臺采集儀同時工作(對于A、D兩段墻為5通道，B、C、E三段墻為10通道)；傳感器為941B型超低頻加速度測振儀，內置前置放大器功能。采樣頻率為128 Hz，采樣時長為50 min，每個測點采集加速度數(shù)據(jù)總量為384000個。測試過程中，確保附近無其他干擾激勵源。

圖13 現(xiàn)場測試設備Fig.13 Field test equipment

4.2 模態(tài)識別與參數(shù)分析

4.2.1系統(tǒng)階數(shù)N的確定

本文以E段墻為例，進行其模態(tài)參數(shù)的識別。主要針對古城墻面外振動的前3階模態(tài)進行識別，即n=3。根據(jù)頻域譜分析可知，結構基頻約為6 Hz。為分析參數(shù)N對識別結果的影響，結合3.1節(jié)的分析結果先選定i=3β ≈66，j=s-2i+1=383869，設置最大系統(tǒng)階數(shù)為Nmax∈[18,58]，且公差為4的等差序列。

圖14給出了N=22、38、54時的穩(wěn)定圖識別結果?？梢钥闯觯弘S著系統(tǒng)階數(shù)的增大，SSI-Cov識別的穩(wěn)定圖中數(shù)學模態(tài)隨之而增多。對于識別的前3階目標模態(tài)，當N=22時物理極軸相對穩(wěn)定，干擾最??；N=38時，第3階模態(tài)附近開始出現(xiàn)數(shù)學模態(tài)的極點；N=54時，第1階和第3階模態(tài)周圍出現(xiàn)較多的數(shù)學模態(tài)形成的極軸。

圖15、圖16分別為不同系統(tǒng)階數(shù)下，條件數(shù)及變異系數(shù)變化規(guī)律：1)Toeplitz矩陣及系統(tǒng)矩陣A的條件數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的增大近似呈線性增大；2)識別結果中阻尼比的變異系數(shù)明顯比頻率大，且阻尼比變異系數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的變化波動較大，而頻率變異性很小。

根據(jù)3.1節(jié)奇異熵理論，識別藏式古城墻的E 段墻的系統(tǒng)階數(shù)：該結構奇異熵增量及其一階靈敏度如圖17所示，當N在22附近時，奇異熵增量一階靈敏度趨于0，因此識別出該系統(tǒng)階數(shù)為22。結合圖14(a)，同時也說明了當系統(tǒng)階數(shù)設置的越接近實際值，基于SSI-Cov 方法識別的穩(wěn)定圖越穩(wěn)定。

4.2.2 Toeplitz 矩陣行塊數(shù)i的選擇

已知藏式古城墻面外振動系統(tǒng)階數(shù)N=22，取i=[β:0.5β:5β]。圖18反映了不同i值對條件數(shù)的影響，與數(shù)值算例不同的是：在 β ～5β，Toeplitz矩陣T1|i(系統(tǒng)矩陣A)的條件數(shù)隨i的增大而減小，且減小速率逐漸變緩。頻率和阻尼比的變異系數(shù)在2β ＜i＜4β時變化趨勢相對平緩，隨后急劇增長(圖19)。i=β 、3 β 、5 β時的穩(wěn)定圖結果如圖20所示。當i=β時，第2階模態(tài)在穩(wěn)定圖上出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象(圖20(a))；當i=5β時，第2階模態(tài)周圍出現(xiàn)數(shù)學模態(tài)干擾。綜合來看，當i=2β～4β時，既能得到清晰的穩(wěn)定圖，又能滿足識別結果的數(shù)值穩(wěn)定性，i的建議取值范圍與算例結論一致。

圖14 不同系統(tǒng)階數(shù)下的穩(wěn)定圖Fig.14 Stability diagrams at different system orders

圖15 條件數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的變化規(guī)律Fig.15 Variation law of condition number with system order

圖16 頻率、阻尼比變異系數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的變化規(guī)律Fig.16 Variation law of variation coefficientsof frequency and damping ratio with different system orders

圖17 奇異熵增量及其一階靈敏度Fig.17 Singular entropy increment and itsfirst-order sensitivity

4.2.3模態(tài)識別結果

根據(jù)上述系統(tǒng)階數(shù)及Toeplitz 矩陣行塊數(shù)的選擇分析，再次驗證了基于奇異熵理論確定系統(tǒng)階數(shù)N，且i選擇為2β～4β時，可更好地識別結構的模態(tài)參數(shù)。文中針對藏式古城墻結構最終選擇N=22，i= 3β進行模態(tài)識別。表3給出了E段墻的前3階頻率和阻尼比信息。由于各段城墻兩端均連接著角樓或者門樓，故假定各段城墻兩端為固接。由于E段墻沿高度方向布置了上、中、下3處測點，沿長度方向布置了兩處截面，故僅將前兩階振型繪制如圖21所示。

圖18 條件數(shù)隨i 值的變化規(guī)律Fig.18 Variation law of condition number with i value

圖19 頻率、阻尼比變異系數(shù)隨i 值的變化規(guī)律Fig.19 Variation law of variation coefficient of frequency and damping ratio with i value

圖20 不同i 值下的穩(wěn)定圖Fig.20 Stability diagramsat different valuesof i

表3 E 段墻面外振動前3階模態(tài)參數(shù)Table 3 The first third-order modal parametersof external vibration of section Ewall

圖21 E 段墻面外振動模態(tài)識別結果Fig.21 Modal recognition results of out-of-plane vibration of section Ewall

根據(jù)圖21可知，E 段城墻面外振動的一階振型中兩截面振動方向相同，截面E1、E2均近似為彎曲型；二階振型中兩截面振動方向相反，截面E1、E2均為彎曲型，此時沿墻體縱向發(fā)生一定程度扭轉變形。

5 結論

本文通過對協(xié)方差驅動隨機子空間法中的幾個參數(shù)優(yōu)化進行敏感性分析，重點研究了系統(tǒng)階數(shù)N及Toeplitz 矩陣行塊數(shù)i對模態(tài)識別過程中穩(wěn)定圖及計算結果的影響規(guī)律。首先，結合Toeplitz矩陣和系統(tǒng)矩陣的條件數(shù)分析計算模態(tài)結果的精度；然后，基于模態(tài)參數(shù)識別結果的變異系數(shù)分析其與穩(wěn)定圖質量的關系。利用一經典數(shù)值算例(五自由度質量-彈簧-阻尼結構)進行了驗證，進而應用于藏式古城墻結構模態(tài)參數(shù)的現(xiàn)場實測。主要結論如下：

(1)Toeplitz 矩陣或系統(tǒng)矩陣A的條件數(shù)越小計算結果精度越高；識別頻率、阻尼比的變異系數(shù)越小，對應的模態(tài)穩(wěn)定圖質量越好。

(2)通過奇異熵增量理論可準確識別結構的系統(tǒng)階數(shù)N，奇異熵增量的一階靈敏度降至0時對應的階數(shù)即為系統(tǒng)階數(shù)。

(3)協(xié)方差驅動隨機子空間法中，Toeplitz 矩陣行塊數(shù)i的建議取值范圍為2β～4β ( β為采樣頻率與結構基頻的比值)。

(4)基于本文提出的參數(shù)優(yōu)化方法，利用協(xié)方差隨機子空間法能有效識別藏式古城墻的動力特性，包括頻率、振型和阻尼比：識別該結構的前3階頻率分別為5.93 Hz、7.80 Hz、11.15 Hz；前3階阻尼比分別為0.0238、0.0364、0.0479。